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- 2021-06-20 发布
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2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.若=(3,4),A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为( )
A.(1,3) B.(5,5)
C.(1,5) D.(5,4)
解析:设B(x,y),则有=(x-(-2),y-(-1))=(x+2,y+1)=(3,4),所以解得所以B(1,3).
答案:A
2.下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(-2,1)
B.e1=(4,6),e2=(6,9)
C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)
D.e1=(2,-3),e2=
解析:因为零向量与任意向量共线,故A错误.对于B,e1=2(2,3),e2=3(2,3),所以e1=e2,即e1与e2共线.对于D,e1=4=4e2,所以e1与e2共线.
答案:C
3.已知A,B,C三点在一条直线上,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )
A.-13 B.9
C.-9 D.13
解析:设C点坐标为(6,y),则=(-8,8),=(3,y+6),因为A,B,C三点共线,所以=,所以y=-9.
答案:C
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为( )
A.(1,-1) B. (-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
解析:由题知4a=(4,-12),
3b-2a=3(-2,4)-2(1,-3)=(-8,18),
5
4a+(3b-2a)=-c,
所以(4,-12)+(-8,18)=-c,
所以c=(4,-6).
答案:D
5.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行且方向相反的向量a可能是( )
A.a=(1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a= (-4,-8)
解析:∵=(1,2),∴a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4,∴D正确.
答案:D
6.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为________.
解析:设D(x,y),由=,
所以(x-5,y+1)=(2,-5),
所以x=7,y=-6.
答案:(7,-6)
7.已知A(1,2),B(4,5),若=2 ,则点P的坐标为________.
解析:设P(x,y),所以=(x-1,y-2),=(4-x,5-y),
又=2 ,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),
即所以
答案:(3,4)
8.已知a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,若u∥v,则x=________.
解析:∵a=(1,1),b=(x,1),∴u=(2x+1,3),v=(2-x,1).
u∥v⇒(2x+1)·1-3·(2-x)=0⇒x=1.
答案:1
9.已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;
(2)若=2,求点C的坐标.
解析:(1)由题意知,=-=(2,-2),=-=(a-1,b-1),若 A,B,C三点共线,则∥,即2(b-1)-(-2) (a-1)=0,故a+b=2.
5
(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=(4,-4),
∴,∴,即C(5,-3).
10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标.
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求y和λ的值.
解析:(1)设点B的坐标为(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3).
所以解得
所以点B(3,1),同理可得D(-4,-3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),x2==-,y2==-1,所以M.
(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
因为=λ,所以(1,1-y)=λ(-7,-4).
即得
[B组 能力提升]
1.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),若A,B,C三点共线,则k的值为( )
A.-2 B.11
C.-2或11 D.2或-11
解析:=-=(k,12)-(4,5)=(k-4,7),=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以(k-4)(12-k)-7(k-10)=0,
整理得k2-9k-22=0,
解得k=-2或11.
答案:C
2.已知向量集M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N=( )
5
A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,2)}
C.{(-2,-2)} D.∅
解析:由集合M∩N={a|a=(x,y),x,y∈R},对于M有=,对于N有=,
解得x=-2,y=-2.
答案:C
3.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.
解析:由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).
设B(x,y), 则=(x-1,y-2)=b.
由⇒①
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
∴λ=或λ=-,代入①式得
B点坐标为(0,)或(,0).
答案:(0,)或(,0)
4.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2+=(7,9),则向量=________.
解析:设=(m,n),则=(-n,m),所以2+=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得.因此,=.
答案:
5.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
解析:=(1,2),=(3,3),
=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).
(1)若P在x轴上,则有2+3t=0,t=-;
5
若P在y轴上,则有1+3t=0,t=-;
若P在第二象限,则有
解得-