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- 2021-06-15 发布
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课时分层作业(二十) 平面向量共线的坐标表示
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
B [只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a.]
2.若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x的值为( )
【导学号:84352236】
A. B.-
C.2 D.-2
A [由a∥b得-x2+2=0,
得x=±.
当x=-时,a与b方向相反.]
3.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则( )
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
D [由a∥b⇔x2=-9无实数解,故A不对;
又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9无实数解,故B不对;
因为ma+b=(mx-3,3m+x),
由(ma+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0,
即x2=-9无实数解,故C不对;
由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,
即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D正确.]
4.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有( )
A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0
C.2a-b=3 D.a-2b=0
5
C [=(1,a-3),=(2,b-3),
因为A,B,C共线,所以∥,
所以1×(b-3)-2(a-3)=0,
整理得2a-b=3.]
5.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,且a∥b,则锐角θ等于
( ) 【导学号:84352237】
A.30° B.45°
C.60° D.75°
B [由a∥b,可得(1-sin θ)(1+sin θ)-=0,即cos θ=±,而θ是锐角,故θ=45°.]
二、填空题
6.已知点A(1,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1),且与向量a=(1,λ)共线,则λ=________.
[由题意得,点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4),则=(4,6).
又与a=(1,λ)共线,
则4λ-6=0,解得λ=.]
7.若三点A(1,-3),B,C(x,1)共线,则x=________.
9 [∵=,=(x-1,4),∥,∴7×4-×(x-1)=0,∴x=9.]
8.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________.
【导学号:84352238】
或 [由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.
由⇒
又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,
所以B或.]
5
三、解答题
9.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)求a+3b的坐标.
(2)当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向?
【导学号:84352239】
[解] (1)因为a=(1,0),b=(2,1).
所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3).
(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3),
因为ka-b与a+3b平行,
所以3(k-2)+7=0,解得k=-,
所以ka-b=,a+3b=(7,3),
即k=-时,ka-b与a+3b平行,方向相反.
10.已知A(-1,0),B(3,-1),C(1,2),并且=,=,求证:∥.
[证明] 设E(x1,y1),F(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),
=(4,-1).因为=,
所以=,
所以(x1+1,y1)=,
故E.
因为=,
所以=,
所以(x2-3,y2+1)=,
故F.
所以=.
5
又因为4×-×(-1)=0,
所以∥.
[冲A挑战练]
1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=( )
【导学号:84352240】
A.2 B.3
C.±2 D.-2
D [由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).由ma+nb与a-2b共线,得=,所以=-2.]
2.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b,c-a),若p∥q,则角C为( )
A. B.
C. D.
C [因为p=(a+c,b),q=(b,c-a),且p∥q,所以(a+c)(c-a)-b·b=0,即c2=a2+b2,所以角C为.故选C.]
3.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为________.
m≠ [=-=(6,-3)-(3,-4)=(3,1),
=-=(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于点A,B,C能构成三角形,则与不共线,则3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠.]
4.已知两点P1(3,2),P2(-8,3),点P,且=λ,则λ=________,y=________.
[∵==,
==,
且=λ,
5
∴=λ,
∴解得]
5.如图2320所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
【导学号:84352241】
图2320
[解] ∵==(0,5)=,∴C.
∵==(4,3)=,
∴D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
=,=,
=.
∵∥,
∴-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20. ①
∵∥,
∴x-4=0,
即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,
故点M的坐标为.
5
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