高中人教a版数学必修4：第23课时 平面向量共线的坐标表示 word版含解析 3页

第 23 课时 平面向量共线的坐标表示 课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线． 识记强化 两向量平行的条件 (1)设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a∥b⇔a1b2－a2b1＝0. (2)设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)且(b1b2≠0)，则 a∥b⇔a1 b1 ＝a2 b2 ，即两条向量平行的条件是 相应坐标成比例． 课时作业 一、选择题 1．若三点 A(1,1)、B(2，－4)、C(x，－9)共线，则( ) A．x＝－1 B．x＝3 C．x＝9 2 D．x＝5 答案：B 解析：因为 A、B、C 三点共线，所以AB→与BC→共线． AB→＝(1，－5)，BC→＝(x－2，－5)，所以(x－2)· (－5)＋5＝0.所以 x＝3. 2．已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a＝(2，λ)，若 a∥AB→，则实数λ的值为( ) A．－2 3 B.3 2 C.2 3 D．－3 2 答案：C 解析：根据 A，B 两点的坐标，可得AB→＝(3,1)，∵a∥AB→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝2 3 ， 故选 C. 3．已知向量 a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数 x 的值为( ) A．－3 B．2 C．4 D．－6 答案：D 解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以 4(x＋3)－(x－6) ＝0，解得 x＝－6. 4．已知向量 a＝(x,5)，b＝(5，x)两向量方向相反，则 x＝( ) A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案：A 解析：由两向量共线可得 x2－25＝0∴x＝±5， 又两向量方向相反，∴x＝－5. 5．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若 ma＋4b 与 a－2b 共线，则 m 的值为( ) A.1 2 B．2 C．－1 2 D．－2 答案：D 解析：根据题意，得 ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为 ma＋4b 与 a－ 2b 共线，所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得 m＝－2. 6．已知 a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－1 4)且 a∥b，则锐角θ等于( ) A．45° B．30° C．60° D．30°或 60° 答案：A 解析：由向量共线条件得－2×(－1 4)－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即 cos2θ＝1 2.所以θ＝45°. 二、填空题 7．已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， 3)，若 a－2b 与 c 共线，则 k＝________. 答案：1 解析：a－2b＝( 3，3)，根据 a－2b 与 c 共线，得 3k＝ 3× 3，解得 k＝1. 8．已知向量 a＝(3x－1,4)与 b＝(1,2)共线，则实数 x 的值为________． 答案：1 解析：∵向量 a＝(3x－1,4)与 b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得 x＝1. 9．已知 a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，若 m∥n，则λ＝________. 答案：－1 2 解析：m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7,8)， 由(4＋λ，3－2λ)，k(7,8)，得λ＝－1 2. 三、解答题 10．设 A，B，C，D 为平面内的四点，且 A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若AB→＝CD→ ，求点 D 的坐标； (2)设向量 a＝AB→，b＝BC→，若 ka－b 与 a＋3b 平行，求实数 k 的值． 解：(1)设 D(x，y)． 由AB→＝CD→ ，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以 x－4＝1 y＋1＝－5 ，解得 x＝5 y＝－6 . 所以点 D 的坐标为(5，－6)． (2)因为 a＝AB→＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， b＝BC→＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以 ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由 ka－b 与 a＋3b 平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0， 所以 k＝－1 3. 11．平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求 3a＋b－2c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m、n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k. 解：(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， ∴3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)． (2)∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． ∴ －m＋4n＝3， 2m＋n＝2. 解得 m＝5 9 ， n＝8 9. (3)由 a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－16 13. 能力提升 12．已知向量 a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb 与 a－2b 共线，则λ μ 等于( ) A.1 2 B．2 C．－1 2 D．－2 答案：C 解析：易知 a，b 不共线，则有λ 1 ＝ μ －2 ，故λ μ ＝－1 2. 13．已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时， (1)点 P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)点 P 在第三象限内？ 解：设点 P 的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)． AB→＋λAC→ ＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1 ＋7λ)． ∵AP→＝AB→＋λAC→， ∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ x－2＝3＋5λ， y－3＝1＋7λ. ∴ x＝5＋5λ， y＝4＋7λ. ∴点 P 的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)． (1)若点 P 在第一、三象限的角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝1 2. (2)若点 P 在第三象限内，则 5＋5λ＜0， 4＋7λ＜0. ∴ λ＜－1， λ＜－4 7. ∴λ＜－1. 即当λ＜－1 时，点 P 在第三象限内．