南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题01：基本初等函数 21页

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 21 页 专题 1：基本初等函数 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一：分段函数 ........................................................................................................................................... 2 类型二：求函数的解析式 ............................................................................................................................... 4 类型三：二次函数 ........................................................................................................................................... 6 类型四：指数函数与对数函数 ....................................................................................................................... 8 类型五：函数的零点问题 ..............................................................................................................................11 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 13 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 13 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 16 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 21 页 问题归类篇 类型一：分段函数 一、前测回顾 1．已知函数 f(x)＝  x＋1， x≥1， －x2＋4， x＜1 ，①若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的 值域为 ． 答案：①[－ 2，＋∞)；②[2，4]． 2．设函数 f(x)＝   2x 3 －1， x≥0， 1 x， x＜0 ，若 f(f(b))＝－2，求实数 b 的值． 答案：b＝3 4或－2． 二、方法联想 方法 1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)； 方法 2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题． 三、方法应用 例 1 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝  x＋a，－1≤x＜0，  2 5－x ，0≤x＜1， 其中 a∈R.若 f  －5 2 ＝f  9 2 ，则 f(5a)的值是________. 解析 由已知 f  －5 2 ＝f  －5 2＋2 ＝f  －1 2 ＝－1 2＋a， f  9 2 ＝f  9 2－4 ＝f  1 2 ＝ 2 5－1 2 ＝ 1 10. 又∵f  －5 2 ＝f  9 2 ， 则－1 2＋a＝ 1 10，∴a＝3 5， ∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋3 5＝－2 5. 答案 －2 5 例 2 已知函数 f (x)＝  x2－4，x≤0， ex－5，x>0. 若关于 x 的方程| f (x)|－ax－5＝0 恰有三个不同的实数解，则满足条件 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 21 页 的所有实数 a 的取值集合为________. 解析 关于 x 的方程| f (x)|－ax－5＝0 有三个不同的实数解，即函数 y＝| f (x)|与函数 y＝ax＋5(过定点(0， 5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示， ①当 a>0 时，y＝ax＋5 与 y＝4－x2(x<0)相切，即 x2＋ax＋1＝0，由 Δ＝a2－4＝0，a>0，得 a＝2，当 a＝2 时，符合题意； 当 y＝ax＋5 经过点(－2，0)时，a＝5 2也符合题意； ②当 a<0 时，y＝ax＋5 与 y＝5－ex(x>0)相切，设切点(x0，5－ex0)，x0>0，则切线方程为 y－(5－ex0)＝－ex0 (x－x0)，代入点(0，5)，解得 x0＝1，此时 a＝－e，符合题意； 当 y＝ax＋5 经过(ln 5，0)时，a＝－ 5 ln 5，也符合题意； ③当 a＝0 时，两函数的图象有两个交点，不符合题意. 综上所述，满足条件的所有实数 a 的取值集合为  －e，－ 5 ln 5，2，5 2 . 答案  －e，－ 5 ln 5，2，5 2 例 3 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝  x2，x∈D， x，x∉D， 其中集合 D＝    x x＝n－1 n ，n∈N* ，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是________. 解析 由于 f(x)∈[0，1)，则只需考虑 1≤x<10 的情况，在此范围内，x∈Q，且 x∉Z 时，设 x＝q p，p，q∈N*， p≥2 且 p，q 互质.若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0，1)，可设 lg x＝n m，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质.因此 10 n m＝ q p，10n＝ q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此 lg x∉Q，因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等，只考虑 lg x 与每个周期 x∉D 部分交点，画出函数草图如图. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 21 页 图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x∉D 部分，且 x＝1 处(lg x)′＝ 1 xln 10，因 1 ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为 8 个. 答案 8 四、归类巩固 *1．已知 f(x)＝  2x， x≤1， log2x＋1， x＞1 ，则 f[f(－1)]＝ ． 答案：0．(考查分段函数求值问题) *2．设函数 f(x)＝  1＋log2(2－x)，x＜1 2x－1，x≥1 ，则 f(－2)＋f(log212)＝ ． 答案：9 **3．设函数 f(x)＝   21－x，x≤1， 1－log2x，x＞1， 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________． 答案：[0，＋∞) **4．已知函数 f(x)＝  －x2＋2x，x≤0 ln(x＋1)，x＞0，若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是 ． 答案：[－2，0] ***5．已知函数 f(x)＝  |lnx|，x＞0 x2＋4x＋1，x≤0，若关于 x 的方程 f(x)2－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有 8 个不同的实数 根，则 b＋c 的取值范围是 ． 答案：(0，3) ***6 已知函数 f(x)＝|lnx|，g(x)＝  0，0＜x≤1 |x2－4|－2，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根的个数为________． 答案：4 类型二：求函数的解析式 一、前测回顾 1．已知 f[f(x)]＝9＋4x，且 f(x)是一次函数，则 f(x)＝ ．若 f(x2＋1)＝x2，则 f(x)＝ ． 答案：①2x＋3 或－2x－9；②．x－1(x≥1) 2．已知函数满足 2f(x)＋f(1 x)＝x，则 f(2)＝ ；f(x)＝ ． 答案：7 6，2 3x－ 1 3x 二、方法联想 方法 1：待定系数法； 方法 2：换元法、拼凑法； 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 21 页 方法 3：函数方程法． 三、方法应用 例 1 (1)已知 f 1－1 x ＝2x－1，则 f(x)＝________． (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 2f(x＋1)－f(x－1)＝2x＋1，则 f(x)＝________． (3)已知 f x＋1 x ＝x2＋1 x2，则 f(x)＝________． (4)已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则 f(x)＝________． 略解(1)用换元法，设 t＝1－1 x，求出 f(t)，即可求出 f(x)； (2)用待定系数法，设 f(x)＝ax＋b(a≠0)； (3)用配凑法，将 x2＋1 x2配成 x＋1 x 2 的形式； (4)用消去法，以－x 替换已知条件中的 x，得到另一个方程，解方程组可得 f(x)的解析式． 例 2 图中的图像所表示的函数解析式为___________． 略解：由图可知，当 0≤x≤1 时， y＝3x 2 ；当 1－1 时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增， 故 f(x)min＝f(t)＝t2＋2t＝8，解得 t＝2 或 t＝－4(舍去)． 综上可知，t 的值为－5 或 2. 例 2 已知函数 f(x)＝  x2＋ax，x≤1， ax2＋x，x>1 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是__________． 解：当函数 f(x)在(－∞，1]上单调递减时，－a 2≥1，即 a≤－2； 当函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减时，a<0 且－ 1 2a≤1，即 a≤－1 2. 易知 f(x)在 R 上连续，故 a≤－2. 四、归类巩固 *1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12， 则f(x)的解析式是____________． 答案：f(x)＝－2x2－4x＋8． *2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________． 答案：1． **3．若定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0，且有 f(1＋x)＝f(1－x)，直线 g(x)＝4(x－1)被 f(x)的图 像截得的线段长为 4 17，则函数 f(x)的解析式为__________． 解析：设 f(x)＝a(x－1)2(a＞0)． 由   y＝a(x－1)2， y＝4(x－1)， 得 ax2－(4＋2a)x＋a＋4＝0． 由韦达定理，得 x1＋x2＝4＋2a a ，x1·x2＝a＋4 a ． 由弦长公式，得 4 17＝ (1＋42)       4＋2a a 2－4·a＋4 a ． ∴a＝1．∴f(x)＝(x－1)2． 答案：f(x)＝(x－1)2． **4．已知函数 f(x)＝   x2＋4x，x≥0， 4x－x2，x＜0. 若 f(2－a2)＞f(a)，则实数 a 的取值范围是________． 答案：(－2，1) ． **5．方程 mx2－(m－1) x＋1＝0 在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则 m 的取值范围为__________． 解析：令 f(x)＝mx2－(m－1)x＋1， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 21 页 则 f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得   m＞0， Δ＝ m－ 2－4m＞0， 0＜m－1 2m ＜1， f( ) ＝2＞0. 解得 m＞3＋2 2． 答案：m＞3＋2 2． ***6．函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为___________． 答案：g(a)＝  2a＋5，a＜－2 3－a2 2 ，－2≤a≤2 5－2a，a＞2 ． 类型四：指数函数与对数函数 一、前测回顾 1．已知 2x2＋x≤1 4)x－2，则函数 y＝( 3)x2＋2x的值域为 ． 答案：[ 3 3 ，81] ． 2．设 loga 1 3＜2，则实数 a 的取值范围为 ． 答案：(0， 3 3 )∪(1，＋∞) ． 3．已知函数 y＝log0.5(x2－2x＋2)，则它的值域为 ． 答案：(－∞，0]． 二、方法联想 （1）指(对)数方程与不等式问题： 方法 1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题 要注意定义域及转化过程中的等价性． 方法 2：利用换元法，转化为代数方程或不等式． 变式：解不等式 lg2x－lgx2－3≥0． (答案：0＜x≤ 1 10或 x≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)． （2）与指(对)数函数有关的值域问题， 方法 1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法 2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求． （3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 21 页 三、方法应用 例 1 设函数 f(x)＝  3x－1，x<1， 2x，x≥1. 则满足 f(f(a))＝2f(a)的 a 的取值范围是________． [解析] 当 a<1 时，f(a)＝3a－1，若 f(f(a))＝2f(a)，则 f(a)≥1，即 3a－1≥1，∴2 3≤a<1； 当 a≥1 时，f(a)＝2a≥2，此时 f(f(a))＝2f(a)． 综上所述，a≥2 3. 例 2 已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________ . [答案] －3 2 [解析] 若 00，a≠1)在区间[－1，0]上为减函数，即  a－1＋b＝0， a0＋b＝－1，解得  a＝1 2， b＝－2； 若 a>1，则 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为增函数，即  a－1＋b＝－1， a0＋b＝0， 无解． ∴a＋b＝1 2－2＝－3 2. 例 3 已知函数 f(x)＝|loga|x－1||(a>1)．若 x12.由 f(x1)＝f(x2)，可得|loga|x1－1|| ＝|loga|x2－1||，即|loga(1－x1)|＝|loga(1－x2)|，此时 1－x1>1，0<1－x2<1，无论底数 a 为何值，loga(1－x1) 与 loga(1－x2)定异号，所以－loga(1－x1)＝loga(1－x2)，即(1－x1)(1－x2)＝1，所以 x1＋x2＝x1x2，即 1 x1 ＋1 x2 ＝ 1.同理可得1 x3 ＋1 x4 ＝1.所以1 x1 ＋1 x2 ＋1 x3 ＋1 x4 ＝2. 例 4 设函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中 a<1，若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0，则 a 的取值范围是 _____________． 分别研究函数 g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a.问题等价于存在唯一的整数 x0，使得函数 g(x)的图像在函数 y＝ax－a 的图像下方．分别画出上述两个函数的图像，通过对参数 a 的不同取值得出符合要求的 a 的取值 范围． [解析] 令 g(x)＝ex(2x－1)，则 g′(x)＝ex(2x＋1)，由 g′(x)>0 得 x>－1 2，由 g′(x)<0 得 x<－1 2，故函数 g(x) 在 －∞，－1 2 上单调递减，在 －1 2，＋∞ 上单调递增．又函数 g(x)在 x<1 2时，g(x)<0，在 x>1 2时，g(x)>0， 所以其大致图像如图所示． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 21 页 直线 y＝ax－a 过点(1，0)． 若 a≤0，则 f(x)<0 的整数解有无穷多个，因此只能 a>0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)<0，即存在唯一的整数 x0，使得点(x0，ax0－a)在点 (x0，g(x0))的上方，则 x0 只能是 0，故实数 a 应满足   f（－1）≥0， f（0）<0， f（1）≥0， 即   －3e－1＋2a≥0， －1＋a<0， e≥0， 解得 3 2e≤a<1. 故实数 a 的取值范围是 3 2e，1 . 四、归类巩固 *1．若点(a，9)在函数 y＝3x 的图像上，则 tanaπ 6 的值为_______． 答案： 3． *2．已知 a＝ 5－1 2 ，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(n)，则 m，n 的大小关系为__________． 答案：m＜n． **3．函数y＝ax－2－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________． 答案：(2，0) ． **4．解不等式 lg2x－lgx2－3≥0 的解集是_________． 答案：0＜x≤ 1 10或 x≥1000． **5．已知函数 f(x)＝ax＋logax(a＞0，且 a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为 loga2＋6，则 a 的值为 __________． 解析：由题可知函数 f(x)＝ax＋logax 在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为 f(1)＋f(2) ＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得 a2＋a－6＝0，解得 a＝2 或 a＝－3(舍去)，故 a＝2． 答案：a＝2． ***6．已知函数 f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若 f(x)＝0 有解，则实数 a 的取值范围是____________． 解析：方法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得 a－2x＝22－x，即 a－2x＝4 2x，令 t＝2x(t＞0)，则 t2－at ＋4＝0 在 t∈(0，＋∞)上有解，令 g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4＞0，故满足   a 2＞0， Δ＝a2－16≥0， 得 a≥4． 方法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得 a－2x＝22－x，a＝2x＋4 2x≥4． 答案：a≥4． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 21 页 类型五：函数的零点问题 一、前测回顾 1．函数 f(x)＝lgx－sinx 零点的个数为 ． 答案：3 ． 2．函数 f(x)＝2x＋x－4 零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则 k＝ ． 答案：1． 二、方法联想 零点存在定理：连续函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有 f(a)f(b)＜0，则 f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反 之不一定成立． 零点存在问题：①能解出 x＝x0；②x0∈A（定义域）；方法 2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是 参数，谁是自变量）；方法 3：数形结合法． 零点个数问题：方法 1：数型结合；方法 2：①解出 x＝xi(＝1，2，…，n)，②根据问题中零点有 k 个， 则选择 k 个 x∈A（定义域），n－k 个 x∈∕ A． 三、方法应用 例 1 函数 f(x)＝4cos2x 2·cos π 2－x －2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________． [解析]f(x)＝4cos2x 2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x· 2cos2x 2－1 －|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令 f(x)＝ 0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数 y＝sin 2x 与函数 y＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示． 观察图像可知，两个函数的图像有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点. 例 2 已知函数 f(x)＝|lgx|，若函数 g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ___________． [解析]在同一坐标系中分别作出函数 y＝f(x)，y＝ax 的图像(如图)． 函数 g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点等价 y＝f(x)，y＝ax 两个函数的图像在区间(0，4)上有 三个交点． 结合函数图像可知，只要直线 y＝ax 的斜率 a 介于直线 OA(A(4，2lg 2))与直线 OB(B 为切点)之间即可． 直线 OA 的斜率为lg 2 2 .当 x>1 时，f′(x)＝lg e x ， 设 B(x0，lg x0)，则直线 OB 的方程为 y－lg x0＝lg e x0 (x－x0)，该直线过坐标原点， 所以 0－lg x0＝lg e x0 ·(0－x0)，解得 x0＝e，即直线 OB 的斜率为lg e e ， 所以实数 a 的取值范围是lg 2 2 ，lg e e . 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 21 页 例 3 已知函数 f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－1 2(x≥1)，函数 h(x)＝  f（x），0≤x<1， g（x），x≥1. 若方程 h(x)－k＝0，k∈3 2， 2 有两个不同的实根 m，n(m>n≥0)，则 n·g(m)的取值范围为_________． [解析]函数 f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－1 2(x≥1)，作出函数 h(x)＝  f（x），0≤x<1， g（x），x≥1. 的图像(图略)． 若方程 h(x)－k＝0，k∈3 2，2 有两个不同的实根 m，n(m>n≥0)，则1 2≤n<1， g(m)＝f(n)＝n＋1，则3 2≤n＋1<2，所以3 4≤ng(m)<2. 四、归类巩固 *1．若一次函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点为 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零点是 ． 答案：0 和－1 2 ． *2．函数函数 f(x)＝log2(x+2)－x 有____________个零点． 答案：2． **3．已知函数 f(x)＝  0， x≤0， 2x， x＞0 则使函数 g(x)＝f(x)＋x－m 有零点的实数 m 的取值范围是 ． 答案：m≤0 或 m＞1． **4．已知三个函数 f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小 关系是__________． 解析：由于 f(－1)＝1 2－1＝－1 2＜0，f(0)＝1＞0， 故 f(x)＝2x＋x 的零点 a∈(－1，0)． 因为 g(2)＝0，故 g(x)的零点 b＝2； h 1 2 ＝－1＋1 2＝－1 2＜0，h(1)＝1＞0， 故 h(x)的零点 c∈ 1 2，1 ，因此 a＜c＜b． 答案：a＜c＜b． **5．若函数 x2－m x＋4(x＞0)存在零点，则实数的取值范围是__________． 答案：[2，＋∞)． ***6．已知函数 f(x)＝  kx＋2，x≤0 lnx，x＞0 (k∈R)，若函数 y＝|f(x)|＋k 有三个零点，则实数 k 的取值范围 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 21 页 是 ． 答案：k≤－2． 综合应用篇 一、例题分析 例 1 已知函数 f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且 a≠1)． （1）当 a＝2 时，求满足不等式 f(x)≤2 的实数 x 的取值范围； （2）当 a＞1 时，求函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值． 答案：（1）实数 x 的取值范围为[2，3)． （2）函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值为 loga49． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．解指(对)数不等式问题： 方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解． ②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域． 2．与指(对)数有关的函数值域： 方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理． ②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题． （2）方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化 为代数不等式，所以选择方法①． 对于问题 2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方 便，所以选择方法①． 指数函数、对数函数的单调性受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时， 首先要看底数的范围． 本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数 y＝f(x)＋f(－ x)的定义域． 例 2 已知函数 f(x)＝a－ 1 |x|． （1）求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； （2）若 f(x)＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数 a 的取值范围． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 21 页 解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数． （2）a 的取值范围为(－∞，3]． （3）a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)． 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法： 1．讨论函数的单调性问题： 方法:①利用函数的图象； ②复合函数的单调性； ③利用函数单调性的定义． ④利用导函数来求函数的单调区间． 2．不等式恒成立问题： 3．已知函数的值域，求参数的取值： (2)方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明， 所以选择方法③或④． 对于问题 2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求， 所以选择方法①． 例 3 已知函数 f(x)＝a·2 x＋b·3 x，其中常数 a，b 满足 ab≠0． （1）若 ab＞0，判断函数 f(x)的单调性，并证明； （2）若 ab＜0，求 f(x＋1)＞f(x)时 x 的取值范围． 解：（1）当 a＞0，b＞0 时，函数 f(x)在 R 上是增函数． 当 a＜0，b＜0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数． （2）当 a＜0，b＞0 时，x 的取值范围为(log1．5 － a 2b ，＋∞)； 当 a＞0，b＜0 时，x 的取值范围为(－∞，log1．5 － a 2b )． 解析：（1）当 a＞0，b＞0 时，任意 x1，x2∈R， x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝a（2x1－2x2）＋b（3x1－3x2） ∵2x1＜2x2，a＞0 a（2x1－2x2）＜0，同理 b（3x1－3x2）＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0∴函数 f(x)在 R 上是增函数 同理，当 a＜0，b＜0 时，函数 f(x)在 R 上是减函数． （2）f(x＋1)－f(x)＝a·2 x＋2b·3 x＞0 当 a＜0，b＞0 时，（3 2）x＞－ a 2b，则 x 的取值范围为(log1．5 － a 2b ，＋∞)； 当 a＞0，b＜0 时，（3 2）x＜－ a 2b，x 的取值范围为(－∞，log1.5 － a 2b )． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 21 页 〖教学建议〗 (1)主要问题归类与方法： 1．讨论函数的单调性问题： 方法:①利用函数的图象； ②复合函数的单调性； ③利用函数单调性的定义； ④利用导函数． 2．与指(对)数有关的解不等式问题： 方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式； ②用换元法，依次解几个代数不等式． (2)方法选择与优化建议： 对于问题 1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用 作证明，所以选择方法③或④． 对于问题 2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①． 本题的易错点是第二问中忽视字母 a 的符号对不等号的方向的影响． 本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母 a、b 同号或异号， 因此需要具体到 a、b 各自的符号． 例 4 已知 a，b 是实数，1 和－1 是函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设 h(x)＝f(f(x))－c，其中 c∈[－2，2]，求函数 y＝h(x)的零点个数． 解：（1）a＝0，b＝－3； （2）有 9 个零点． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．求函数的解析式问题: 方法：待定系数法，换元法，函数方程法 2．讨论函数的零点个数问题： 方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性 （2）方法选择与优化建议： 对于第 1 小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。 第 2 小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用 图象法来讨论。 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 21 页 用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和 曲线，②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画． 本题可以有两种考虑:一是直接画函数的 y＝f(f(x))和 y＝c，尽管 y＝f(f(x))是 9 次函数，其图像还是 能够画出来的，二是将问题分解成 ( ) ( )h x f t c和 t＝f(x)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问 题．本题采用第二种想法，会简单些。 二、反馈巩固 *1．已知函数 y＝f(x)是奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝lgx，则 f(f( 1 100))的值等于 ． 答案：lg2． (考查函数的奇偶性，对数运算) *2． 已知 f(x)＝  x2＋x（x≥0）， －x2＋x（x＜0），则不等式 f(x2－x＋1)＜12 的解集是________． 答案：(－1，2)． (考查分段函数及利用函数的单调性解不等式)． *3． 函数 y＝(1 3)x2+1 的值域为______________． 答案：(0，1 3]． (考查指数函数) *4． 函数 f(x)＝lnx＋2x－1 零点的个数为_______________． 答案：1． (考查函数的图象，数形结合的思想方法)． **5．已知实数 a≠0，函数 f(x)＝   2x＋a， x＜1， －x－2a，x≥1. 若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为________． 答案：－3 4． (考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想)． **6．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)＜c 的解集为(m，m ＋6)，则实数 c 的值为________． 答案：c＝9． (考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集)． ***7． 已知 f(x)＝  (3－2a)x－2a+2 ，x＜1， logax ， x≥1， 是(－∞，＋ ∞)上的增函数，那么 a 的取值范围是_________． 解析：  3－2a＞0， a＞1， （3－2a）－2a＋2≤ loga1 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 21 页 答案：[5 4，3 2)． （本题考查分段函数的单调性和一次函数与对数函数） ***8． 已知函数 f(x)＝   x＋1， x≤0， x2－2x＋1，x＞0. 若关于 x 的方程 f 2(x)－af(x)＝0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是 ； 答案 (0，1)． (考查函数的零点) ***9． 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范 围是 ； 答案    1,2 1 ． (考查方程解的问题) ***10． 已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)＜0 恒成立，则 x 的取值范围是 ________． 答案：(－2，2 3)． （考查函数的单调性，不等式恒成立） *11． 若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足 f(x＋1)－f(x)＝2x，且 f(0)＝1． (1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式 f(x)＞2x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围． 解 (1)由 f(0)＝1 得，c＝1， ∴f(x)＝ax2＋bx＋1． 又 f(x＋1)－f(x)＝2x ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即 2ax＋a＋b＝2x， ∴   2a＝2， a＋b＝0， ∴   a＝1 b＝－1 ．因此，f(x)＝x2－x＋1． (2)f(x)＞2x＋m 等价于 x2－x＋1＞2x＋m，即 x2－3x＋1－m＞0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立， 只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于 0 即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0 得，m＜－1． 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)． (考查二次函数的解析式，不等式恒成立) *12．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x＋2)＝－f(x)．当－1≤x≤≤1，f(x)＝x3． （1）求证：x＝1 是函数 y＝f(x)的一条对称轴； （2）当 x∈[1，5]时，求 f(x)的表达式． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 21 页 答案：（1）略；（2）f(x)的解析式为 f(x)＝  －(x－2)3， 1≤x≤3， (x－4)3， 3＜x≤5 (考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式)． **13．设函数 f(x)＝   x2＋bx＋c， x≤0， 2， x>0， 其中 b＞0，c∈R．当且仅当 x＝－2 时，函数 f(x)取得最小 值－2． （1）求函数 f(x)的表达式； （2）若方程 f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求 a 的取值集合． 答案：(1)f(x)＝   x2＋4x＋2，x≤0， 2，x＞0. (2)实数 a 取值的集合为 －1 4，2 ． (考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)． **14．已知函数 f(x)＝ax3－bx＋4，当 x＝2 时，函数 f(x)有极值－4 3． (1)求函数的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝k 有三个零点，求实数 k 的取值范围． 解析：由题意，可知 f′(x)＝3ax2－b． (1)于是   f ＝12a－b＝0， f ＝8a－2b＋4＝－4 3， 解得   a＝1 3， b＝4. 故所求的解析式为 f(x)＝1 3x3－4x＋4． (2)由(1)可知，f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝2，或 x＝－2． 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 28 3 单调递减 －4 3 单调递增 因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值28 3 ； 当 x＝2 时，f(x)有极小值－4 3． 所以函数的大致图像如图． 故实数 k 的取值范围是－4 3＜k＜28 3 ． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 19 页 共 21 页 (考查待定系数求解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法)． **15．已知 f(x)＝3x，并且 f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x 的定义域为[－1，1]． （1）求函数 g(x)的解析式； （2）判断 g(x)的单调性； （3）若方程 g(x)－m＝0 有解，求 m 的取值范围． 答案：（1）g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1]； （2）g(x)在[－1，1]上单调递减； （3）[－2，1 4]． 说明：（1）考查解指数方程； （2）考查函数的单调性； （3）考查方程有解的问题：①分离变量，求函数的值域；②数形结合，对应函数图象有公共点． 解析：①f(a＋2)＝18，得到 3a＋2＝18，∴3a＝2，∴g(x)＝2x－4x，x∈[－1，1] ②令 t＝2x，1 2≤t≤2，则 y＝t－t2，∴g(x)在[－1，1]上单调递减； ③方程 g(x)－m＝0 有解，则  y＝g(x)， y＝m 有交点 ∴1 2≤t≤2，则 y＝t－t2的范围是[－2，1 4]，所以 m∈[－2，1 4] ***16．设函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a＞0，a，c∈R)． (1)设 a＞c＞0．若 f(x)＞c2－2c＋a 对 x∈[1，＋∞)恒成立，求 c 的取值范围； (2)函数 f(x)在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？为什么？ (考查不等式恒成立，函数零点) 解 (1)因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴为 x＝a＋c 3a ，由条件 a＞c＞0，得 2a＞a ＋c， 故a＋c 3a ＜2a 3a＝2 3＜1， 即二次函数 f(x)的对称轴在区间[1，＋∞)的左边， 且抛物线开口向上，故 f(x)在[1，＋∞)内是增函数． 若 f(x)＞c2－2c＋a 对 x∈[1，＋∞)恒成立， 则 f(x)min＝f(1)＞c2－2c＋a， 即 a－c＞c2－2c＋a，得 c2－c＜0，所以 0＜c＜1． (2)①若 f(0)·f(1)＝c·( a－c)＜0， 则 c＜0，或 a＜c，二次函数 f(x)在(0，1)内只有一个零点． ②若 f(0)＝c＞0，f(1)＝a－c＞0，则 a＞c＞0． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 20 页 共 21 页 因为二次函数 f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c 的图象的对称轴是 x＝a＋c 3a ．而 f   a＋c 3a ＝－a2＋c2－ac 3a ＜0， 所以函数 f(x)在区间   0，a＋c 3a 和   a＋c 3a ，1 内各有一个零点，故函数 f(x)在区间(0，1)内有两个零点． ***17．已知 a∈R，函数 f(x)＝log2(1 x＋a)． （1）当 a＝5 时，解不等式 f(x)＞0； （2）若关于 x 的方程 f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围； （3）设 a＞0 0a  ，若对任意 t ∈[1 2，1]，函数 f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过 1， 求 a 的取值范围． 答案：（1）  1, 0,4x     （2）   1,2 3,4 （3） 2 ,3  说明：本题综合性较强，考察了对数不等式、二次函数求值域和方程有解问题。 解析： （1）由 2 1log 5 0x  ，得 1 51x ， 解得 ． （2）  1 4 2 5a a x ax      ，   24 5 1 0a x a x     ， 当 4a  时， 1x  ，经检验，满足题意． 当 3a  时， 12 1xx   ，经检验，满足题意． 当 3a  且 4a  时， 1 1 4x a  ， 2 1x  ， 12xx ． 1x 是原方程的解当且仅当 1 1 0ax ，即 2a  ； 2x 是原方程的解当且仅当 2 1 0ax ，即 1a  ． 于是满足题意的  1,2a ． 综上， a 的取值范围为 ． （3）当 120 xx时， 12 11aaxx   ， 22 12 11log logaaxx              ， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 21 页 共 21 页 所以  fx在 0, 上单调递减． 函数  fx在区间 ,1tt 上的最大值与最小值分别为  ft，  1ft ．     22 111 log log 11f t f t a att                 即  2 1 1 0at a t    ，对任意 1 ,12t  成立． 因为 0a  ，所以函数  2 11y at a t    在区间 1 ,12   上单调递增， 1 2t  时， y 有最小值 31 42a  ，由 31042a ，得 2 3a  ． 故 a 的取值范围为 2 ,3  ． (考查对数函数的图像和性质，函数零点)