高考数学专题复习教案： 几何证明选讲备考策略 3页

几何证明选讲备考策略 主标题：几何证明选讲备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：相似三角形的判定定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 热点一　相似三角形及射影定理 例1　如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，则AC∶BC的值为________．‎ 答案　3∶2‎ 解析　方法一　因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，‎ 所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.‎ 所以()2＝＝.‎ 又AD∶BD＝9∶4，‎ 所以AC∶BC＝3∶2.‎ 方法二　因为AD∶BD＝9∶4，‎ 所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋.‎ 又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，‎ 由射影定理，得CD2＝AD·BD，‎ 所以CD＝6k.‎ 由勾股定理，得AC＝3和BC＝2，‎ 所以AC∶BC＝3∶2.‎ ‎【备考策略】　含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．‎ 热点二　相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用 例2　如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，则tan∠ACD和sin P的值为________．‎ 答案　， 解析　连接OC，BC.因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.‎ 故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.‎ 由条件，得∠PCA＝∠PBC，‎ 又∠P＝∠P，‎ 所以△PCA∽△PBC.‎ 所以＝.‎ 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.‎ 又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.‎ 所以tan∠ACD＝tan B＝＝＝＝.‎ 因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°.‎ 又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.‎ 所以sin P＝＝＝.‎ ‎【备考策略】　(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．‎ ‎(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．‎ ‎ 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝____________.‎ 答案　2 解析　C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.‎ 热点三　圆的有关性质的综合应用 例3　如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.‎ 若△ABC的面积S＝AD·AE，则∠BAC的大小为________．‎ 答案　90°‎ 解析　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.‎ 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，‎ 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.所以＝，‎ 即AB·AC＝AD·AE.‎ 又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，‎ 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，‎ 则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，‎ 所以∠BAC＝90°.‎ ‎【备考策略】　高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．‎ 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为________．‎ 答案　8‎ 解析　易知△CDO∽△CED，‎ ‎∴＝，‎ 设圆O半径为R，则AD＝R，OD＝R，‎ ‎∴CD2＝R2－(R)2＝R2，‎ ‎∴CE＝＝R，EO＝R，故＝8.‎