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  • 2021-06-20 发布

高中数学必修1教案:第四章(第7课时)同角的三角函数基本关系式(1)

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课 题:44同角三角函数的基本关系式(一)‎ 教学目的:‎ ‎⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;‎ ‎2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;‎ ‎3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力.‎ 教学重点:同角三角函数的基本关系 教学难点:(1)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;(2)三角函数式的化简;(3)证明三角恒等式.‎ 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:     本节主要涉及到三个公式,均由三角函数定义推出.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去脉,并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧.要给学生提供展示自己思路的平台,营造自主探究解决问题的环境,把鼓励带进课堂,把方法带进课堂,充分发挥学生的主体作用.‎ ‎ 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式.其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系.‎ 如:由 得:,‎ 同样可以有: ,‎ ‎,等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换,培养学生的自主学习习惯.‎ 教材中的3个基本关系式,只有:sin2+cos2=1是绝对恒等式,即对于任意实数都成立,另外两个公式,仅当取使关系式的两边都有意义的值时才能成立.因此,在运用这些公式进行恒等变形时,角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的,在教学中可经常提醒学生注意这一点.‎ 这组公式的灵活运用是本节教学的难点.灵活运用的前提是熟练掌握公式.弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法.从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式,最后达到灵活运用,同时要明确它们成立的先决条件.教材中指出:“在第二个式子中 时,式子两边都有意义;在第三个式子中,α的终边不在坐标轴上,这时,式子两边都有意义,”并指出:“除特殊注明的情况外,也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.”这段话学生是不太容易理解的,教师应适当加以解释.首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围,并从中发现,两边的取值范围经常是不相同的,如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等,那么这个等式就是恒等式.因此,每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等,所以可以认为,这组公式的成立也是有条件的,公式后面括号里给出条件是不容忽视的.‎ 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)‎ 则P与原点的距离 ‎2.任意角的三角函数的定义及其定义域 ‎ R ‎ ‎ ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以上六种函数,统称为三角函数 ‎3 三角函数在各象限内的符号规律:‎ ‎ 第一象限全为正,二正三切四余弦 ‎ ‎4 终边相同的角的同一三角函数值相等 诱导公式一(其中): 用弧度制可写成 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0~2π间角的三角函数值问题.‎ 二、讲解新课: ‎ ‎1.公式: ‎ ‎2.采用定义证明:‎ ‎ ‎ ‎3.推广:这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有:‎ ‎ ‎ ‎ 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有: ‎ 这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有: ‎ ‎ 4.点题:三种关系,八个公式,称为同角三角函数的基本关系 ‎ 5.注意:‎ ‎ 1°“同角”的概念与角的表达形式无关,‎ 如: ‎ ‎ 2°上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立 ‎ 3°据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号 ‎6.这些关系式还可以如图样加强形象记忆: ‎①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)‎ ‎②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系) ‎③阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系) 三、讲解范例:‎ 例1. 已知,并且是第二象限角,求的其他三角函数值.‎ ‎ 分析:由平方关系可求cos的值,由已知条件和cos的值可以求tan的值,进而用倒数关系求得cot的值.‎ 解:∵sin2α+cos2α=1,是第二象限角 例2.已知,求sin、tan的值.‎ 分析:∵cosα<0  ∴是第二或第三象限角.因此要对所在象限分类.‎ 当是第二象限角时,‎ 当是第三象限时 提问:不计算sin的值,能否算得tan的值?‎ 由于而在Ⅱ或III象限 例3.已知tan为非零实数,用tan表示sin,cos.‎ 解:由 即 ‎ ‎ 而 ‎ 四、课堂练习:‎ ‎1.已知 , 求的值.‎ 解法1:‎ ‎∵, ∴在Ⅰ、Ⅳ象限, ‎ 当α在Ⅰ象限时,‎ ‎∴‎ 当在Ⅳ象限时 ‎∴‎ 解法2:‎ 当在Ⅰ象限时,‎ 当在Ⅳ象限时 ‎ ‎ ‎2.已知,求的值 解∵ tan = 2 > 0,∴在Ⅰ、Ⅲ象限 ‎①当在Ⅰ象限时.‎ ‎ ‎ ‎   ②当在Ⅲ象限时 ‎,‎ ‎ ‎ ‎ 注意:此题在求出cos的值以后,若直接用平方关系求sin的值,有符号判断问题,需要再分类,就出现二次分类增添了解决问题的复杂性.本题采用了商数关系,避开了引用平方关系求sin值,使得问题轻松获解.‎ ‎3.已知tan=-3,则sin= ,cot = .‎ 思路分析:由tan=-3<0知,在第二或第四象限,‎ ‎∴可分类后用同角三角函数基本关系求解.(略)‎ 由于这是一个填空题,‎ ‎∴可先将角视为锐角,求出sin和cot的值,然后具体的再看角所在象限得出sin、cot的符号.‎ 将视为锐角′,则有tan′=3,‎ ‎∴′= cot′=,‎ ‎∴在第Ⅱ或第Ⅳ象限.‎ ‎∴‎ 五、小结与总结 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时,应用平方关系确定符号是个难点,一般地说,这类计算题可分为以下三种情况:⑴已知象限,由象限定符号;⑵已知值,由值分情况讨论;⑶值是字母,开平方时,分情况讨论 六、课后作业:‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎ 思考题:1已知,求下列各式的值 ‎①sin3α+cos3α ②sin4α+cos4α ③sin6α+cos6α 分析:由两边平方,整理得 然后将各式化成关于sinα+cosα,sinαcosα的式子将上两式的值代入即可求得各式的值答案:① ② ③ 注意:sinα+cosα、sinα·cosα称为关于角α的正弦和余弦的基本对称式,关于sinα、cosα的所有对称式都可以用基本对称式来表示 ‎ ‎2已知sinα·cosα=,且,则cosα-sinα的值是多少?‎ 分析:由sinα·cosα=得2sinαcosα=‎ sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-‎ ‎(cosα-sinα)2=‎ ‎∵,∴cosα<sinα, 即cosα-sinα<0 ‎∴cosα-sinα=- ‎