高中数学必修1教案：第四章（第7课时）同角的三角函数基本关系式（1） 7页

课 题：44同角三角函数的基本关系式（一）‎ 教学目的：‎ ‎⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；‎ ‎2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；‎ ‎3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．‎ 教学重点：同角三角函数的基本关系 教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：     本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．‎ ‎ 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．‎ 如:由 得:,‎ 同样可以有: ，‎ ‎，等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．‎ 教材中的3个基本关系式，只有：sin2+cos2=1是绝对恒等式，即对于任意实数都成立,另外两个公式,仅当取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．‎ 这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中 时，式子两边都有意义；在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的．‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）‎ 则P与原点的距离 ‎2．任意角的三角函数的定义及其定义域 ‎ R ‎ ‎ ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 以上六种函数，统称为三角函数 ‎3 三角函数在各象限内的符号规律：‎ ‎ 第一象限全为正,二正三切四余弦 ‎ ‎4 终边相同的角的同一三角函数值相等 诱导公式一（其中）: 用弧度制可写成 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．‎ 二、讲解新课： ‎ ‎1．公式: ‎ ‎2．采用定义证明：‎ ‎ ‎ ‎3．推广：这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：‎ ‎ ‎ ‎ 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有： ‎ 这种关系称为倒数关系类似的倒数关系还有： ‎ ‎ 4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系 ‎ 5．注意：‎ ‎ 1°“同角”的概念与角的表达形式无关，‎ 如： ‎ ‎ 2°上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立 ‎ 3°据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号 ‎6．这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ‎①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)‎ ‎②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系) ‎③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系) 三、讲解范例：‎ 例1． 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．‎ ‎ 分析：由平方关系可求cos的值，由已知条件和cos的值可以求tan的值，进而用倒数关系求得cot的值．‎ 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角 例2．已知，求sin、tan的值．‎ 分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要对所在象限分类．‎ 当是第二象限角时，‎ 当是第三象限时 提问：不计算sin的值，能否算得tan的值？‎ 由于而在Ⅱ或III象限 例3．已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos．‎ 解：由 即 ‎ ‎ 而 ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．已知 ， 求的值．‎ 解法1：‎ ‎∵， ∴在Ⅰ、Ⅳ象限， ‎ 当α在Ⅰ象限时，‎ ‎∴‎ 当在Ⅳ象限时 ‎∴‎ 解法2：‎ 当在Ⅰ象限时，‎ 当在Ⅳ象限时 ‎ ‎ ‎2．已知，求的值 解∵ tan = 2 > 0，∴在Ⅰ、Ⅲ象限 ‎①当在Ⅰ象限时．‎ ‎ ‎ ‎　　　②当在Ⅲ象限时 ‎,‎ ‎ ‎ ‎ 注意：此题在求出cos的值以后，若直接用平方关系求sin的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性．本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin值，使得问题轻松获解．‎ ‎3．已知tan=－3，则sin= ，cot = ．‎ 思路分析：由tan＝－3＜0知，在第二或第四象限，‎ ‎∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略）‎ 由于这是一个填空题，‎ ‎∴可先将角视为锐角，求出sin和cot的值，然后具体的再看角所在象限得出sin、cot的符号．‎ 将视为锐角′，则有tan′=3，‎ ‎∴′= cot′=,‎ ‎∴在第Ⅱ或第Ⅳ象限．‎ ‎∴‎ 五、小结与总结 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ 思考题：1已知，求下列各式的值 ‎①sin3α＋cos3α ②sin4α＋cos4α ③sin6α＋cos6α 分析：由两边平方，整理得 然后将各式化成关于sinα＋cosα，sinαcosα的式子将上两式的值代入即可求得各式的值答案：① ② ③ 注意：sinα＋cosα、sinα·cosα称为关于角α的正弦和余弦的基本对称式，关于sinα、cosα的所有对称式都可以用基本对称式来表示 ‎ ‎2已知sinα·cosα＝，且，则cosα－sinα的值是多少?‎ 分析：由sinα·cosα＝得2sinαcosα＝‎ sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－‎ ‎（cosα－sinα）2＝‎ ‎∵，∴cosα＜sinα， 即cosα－sinα＜0 ‎∴cosα－sinα＝－ ‎