高中数学第7章（第13课时）简单的线性规划3 5页

课 题 ： 7.4简单的线性规划（三）‎ 教学目的：‎ ‎1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题 ‎2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点 教学重点：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解 ‎ 教学难点：最优解是整数解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）‎ 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）‎ ‎2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:‎ 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.‎ 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解(一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 ‎ ‎3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：‎ ‎（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;‎ ‎（2）设t=0，画出直线;‎ ‎（3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解;‎ ‎（4）最后求得目标函数的最大值及最小值 二、讲解新课：‎ ‎1. 第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？‎ 例1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？‎ 分析：将已知数据列成下表：‎ ‎ 产品 消耗量 资源 甲产品（1 t）‎ 乙产品(1 t)‎ 资源限额（t）‎ A种矿石（t）‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎300‎ B种矿石(t)‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎200‎ 煤(t)‎ ‎4‎ ‎9‎ ‎360‎ 利润（元）‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎ 解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，‎ 那么 目标函数为：z=600x+1000y.‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.‎ 作直线:600x+1000y=0,‎ 即直线l:3x+5y=0,‎ 把直线向右上方平移至1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.‎ 解方程组 得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.‎ 答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大 ‎2．第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.‎ 例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：‎ 规格类型 钢板类型 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 第二种钢板 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？‎ 解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，根据题意可得：‎ 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域：‎ 目标函数为z=x+y，‎ 作出在一组平行直线x+y=t（t为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x+3y=37和直线2x+y=15的交点A（），直线方程为x+y= ‎ 由于都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y必须满足x，y∈Z，所以，可行域内点()不是最优解 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：‎ 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：‎ ‎（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；‎ ‎（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；‎ ‎（3）在可行域内求目标函数的最优解 三、课堂练习：‎ 课本练习2：‎ 解：将已知数据列为下表：‎ ‎ 产品 消耗量 资源 甲产品（1 杯）‎ 乙产品(1杯)‎ 资源限额（g）‎ 奶粉（g）‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎3600‎ 咖啡(g)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2000‎ 糖(g)‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎3000‎ 利润（元）‎ ‎0.7‎ ‎1.2‎ 设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯.则，‎ 作出可行域：‎ 目标函数为：z=0.7x+1.2y ‎ 作直线l:0.7x+1.2y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点C，且与原点距离最大，此时z=0.7x+1.2y取最大值 解方程组 得点C的坐标为（200，240）‎ 所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大 四、小结 ：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：‎ 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 ‎ 五、课后作业：‎ ‎1‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？‎ 解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，则约束条件为：‎ 线性目标函数为z=7x+12y.‎ 可行域如图所示：‎ 由图可知当过点（）时，z最大.‎ zmax=780（万元）‎ 答：最大产值为780万元 ‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎ ‎