2020高中数学 课时分层作业8 数列的通项与递推公式 新人教A版必修5 5页

课时分层作业(八)　数列的通项与递推公式 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)‎ A．an＋1＝an＋n，n∈N*‎ B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2‎ C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2‎ D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2‎ B　[由题可知an－an－1＝n(n≥2)．]‎ ‎2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　) ‎ ‎【导学号：91432130】‎ A．1　　　　　　　　 B. C. D. C　[a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.]‎ ‎3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)‎ A．an＝n B．an＝n＋1‎ C．an＝2n D．an＝2n－1‎ D　[由题a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]‎ ‎4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　) ‎ ‎【导学号：91432131】‎ A．103 B．108 C．103 D．108‎ D　[根据题意结合二次函数的性质可得，‎ an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋.‎ 所以n＝7时，an＝108为最大值．]‎ ‎5．已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，设Sn＝x1＋x2＋…＋xn，则下列结论正确的是(　　)‎ A．x100＝－a，S100＝2b－a - 5 -‎ B．x100＝－b，S100＝2b－a C．x100＝－b，S100＝b－a D．x100＝－a，S100＝b－a A　[x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，‎ ‎∴{xn}是周期数列，周期为6，‎ ‎∴x100＝x4＝－a，‎ ‎∵x1＋x2＋…＋x6＝0，‎ ‎∴S100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a.]‎ 二、填空题 ‎6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 018－a2 017＝________.‎ ‎【导学号：91432132】‎ ‎2 017　[由已知a2 018－a2 017－2 017＝0，‎ ‎∴a2 018－a2 017＝2 017.]‎ ‎7．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________．‎ ‎255　[因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，‎ a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.]‎ ‎8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.‎ ‎【导学号：91432133】‎ 　[由an＋1＝，得an＝1－，‎ ‎∵a8＝2，∴a7＝1－＝，‎ a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，‎ ‎∴{an}是以3为周期的数列，‎ ‎∴a1＝a7＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.‎ ‎[解]　将an＋1＝两边同时取倒数得：‎ ＝，‎ 则＝＋，‎ - 5 -‎ 即－＝，‎ ‎∴－＝，－＝，…，－＝，‎ 把以上这(n－1)个式子累加，‎ 得－＝.‎ ‎∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．‎ ‎10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，试求数列{an}的最大项. ‎ ‎【导学号：91432134】‎ ‎[解]　假设第n项an为最大项，则 即 解得即4≤n≤5，‎ 所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n，则当an取得最大值时，n等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．6或7 D．5或6‎ D　[由题意知 所以 解得所以n＝5或6.]‎ ‎2．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 014＋a2 015等于(　　)‎ ‎【导学号：91432135】‎ A．4 B. C. D. B　[a2＝f＝－1＝；‎ a3＝f＝－1＝；‎ - 5 -‎ a4＝f＝＋＝；‎ a5＝f＝2×－1＝；‎ a6＝f＝2×－1＝；‎ ‎…‎ ‎∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，‎ ‎∴a2 014＋a2 015＝a4＋a5＝.故选B.]‎ ‎3．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于________．‎ ‎9　[由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，‎ 得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an，‎ 两式相减，得 nan＋1－(n－1)an＝an.‎ ‎∴n≥3时，nan＋1＝nan，即 an＋1＝an.‎ 又a9＝8，∴a3＝8.‎ 又‎2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝‎2a3－a1＝9.]‎ ‎4．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项.‎ ‎【导学号：91432136】‎ ‎640　[由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]‎ ‎5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….‎ ‎∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，‎ ‎∴an＋1