2012年上海市高考数学试卷（理科） 24页

‎2012年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（56分）：‎ ‎1．（4分）计算：=　　（i为虚数单位）．‎ ‎2．（4分）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=　　．‎ ‎3．（4分）函数f（x）=的值域是　　．‎ ‎4．（4分）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为　　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎5．（4分）在的二项展开式中，常数项等于　　．‎ ‎6．（4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…+Vn）═　　．‎ ‎7．（4分）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是　　．‎ ‎8．（4分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为　　．‎ ‎9．（4分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=　　．‎ ‎10．（4分）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=　　．‎ ‎11．（4分）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎12．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A=‎ ‎，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是　　．‎ ‎13．（4分）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为　　．‎ ‎14．（4分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（20分）：‎ ‎15．（5分）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（　　）‎ A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1‎ ‎16．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎17．（5分）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（　　）‎ A．Dξ1＞Dξ2‎ B．Dξ1=Dξ2‎ C．Dξ1＜Dξ2‎ D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 ‎18．（5分）设an=sin，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100‎ 中，正数的个数是（　　）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：‎ ‎（1）三角形PCD的面积；‎ ‎（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．‎ ‎20．（14分）已知f（x）=lg（x+1）‎ ‎（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．‎ ‎21．（14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；‎ ‎③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ‎（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．‎ ‎（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；‎ ‎（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．‎ ‎23．（18分）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．‎ ‎（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；‎ ‎（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；‎ ‎（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．‎ ‎　‎ ‎2012年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（56分）：‎ ‎1．（4分）（2012•上海）计算：=　1﹣2i　（i为虚数单位）．‎ ‎【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案 ‎【解答】解：‎ 故答案为1﹣2i ‎　‎ ‎2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=　（﹣，3）　．‎ ‎【分析】由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案 ‎【解答】解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，‎ 所以A∩B=（﹣，3）‎ 故答案为（﹣，3）‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是　　．‎ ‎【分析】先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．‎ ‎【解答】解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x ‎∵﹣1≤sin2x≤1‎ ‎∴﹣≤﹣sin2x≤‎ 则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣‎ ‎∴函数f（x）=的值域是 故答案为：‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为　arctan2　（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量 ‎∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2‎ ‎∴α=arctan2‎ 故答案为：arctan2‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于　﹣160　．‎ ‎【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．‎ ‎【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3‎ 常数项为（﹣2）3=﹣160‎ 故答案为：﹣160‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则（V1+V2+…+Vn）═　　．‎ ‎【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求 ‎【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an 则 ‎∴=是以1为首项，以为公比的等比数列 则（V1+V2+…+vn）==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是　（﹣∞，1]　．‎ ‎【分析】由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围 ‎【解答】解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数 由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数 又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数 所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1‎ 故答案为（﹣∞，1]‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为　　．‎ ‎【分析】‎ 通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．‎ ‎【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，‎ 因为4π=πl2，所以l=2，‎ 半圆的弧长为2π，‎ 圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，‎ 所以圆锥的体积为：=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=　﹣1　．‎ ‎【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案 ‎【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，‎ 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3‎ 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=　　．‎ ‎【分析】取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．‎ ‎【解答】解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ 在三角形POM中，利用正弦定理可知：‎ 解得ρ=f（θ）=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球 三个同学共有3×3×3=27种 有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种 其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是　[2，5]　．‎ ‎【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．‎ ‎【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），‎ D（），设==λ，λ∈[0，1]，‎ M（2+），N（），‎ 所以=（2+）•（）‎ ‎=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，‎ 所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．‎ 故答案为：[2，5]．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为　　．‎ ‎【分析】根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．‎ ‎【解答】解：由题意可得，f（x）=，‎ ‎∴y=xf（x）=，‎ 设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，‎ 则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx ‎=10×+（﹣10）×+10×‎ ‎=﹣+5﹣‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是　　．‎ ‎【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．‎ 取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．‎ ‎【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，‎ 由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，‎ AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．‎ 取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，‎ 当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，‎ ‎∴AB=a，所以EB=，EF=，‎ 所以几何体的体积为：×=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、选择题（20分）：‎ ‎15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（　　）‎ A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1‎ ‎【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项 ‎【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0‎ ‎∴1+2i﹣2+b+bi+c=0‎ ‎∴，解得b=﹣2，c=3‎ 故选B ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 ‎【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，‎ 由正弦定理可得，a2+b2＜c2‎ 由余弦定理可得cosC=‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC是钝角三角形 故选C ‎　‎ ‎17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（　　）‎ A．Dξ1＞Dξ2‎ B．Dξ1=Dξ2‎ C．Dξ1＜Dξ2‎ D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 ‎【分析】根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：‎ ‎=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）= 且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，‎ 故选择A．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2012•上海）设an=sin，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（　　）‎ A．25 B．50 C．75 D．100‎ ‎【分析】由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断 ‎【解答】解：由于f（n）=sin的周期T=50‎ 由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0‎ 且sin，sin…但是f（n）=单调递减 a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24‎ ‎∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正 同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，‎ 故选D ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：‎ ‎（1）三角形PCD的面积；‎ ‎（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．‎ ‎【分析】（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；‎ ‎（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与 夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；‎ ‎[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．‎ ‎【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，‎ ‎∴CD⊥PA．‎ ‎∵矩形ABCD中，CD⊥AD，而PA、AD是平面PAD的交线．‎ ‎∴CD⊥平面PDA，‎ ‎∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．‎ ‎∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，‎ ‎∴PD==2．‎ ‎∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．‎ ‎（2）[解法一]‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．‎ ‎∴=（1，，1），=（0，2，0），‎ 设与夹角为θ，则cosθ===，‎ ‎∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．‎ ‎[解法二]‎ 取PB的中点F，连接AF、EF、AC，‎ ‎∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，‎ ‎∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．‎ ‎∵Rt△PAC中，PC==4．‎ ‎∴AE=PC=2，‎ ‎∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=‎ ‎∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）‎ ‎（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．‎ ‎【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；‎ ‎（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），‎ 要使函数有意义，则 由解得：﹣1＜x＜1．‎ 由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，‎ ‎∵x+1＞0，‎ ‎∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，‎ ‎∴．‎ 由，得：．‎ ‎（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，‎ ‎∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），‎ 由单调性可知y∈[0，lg2]，‎ 又∵x=3﹣10y，‎ ‎∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：‎ ‎①失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ‎②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；‎ ‎③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t ‎（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ ‎【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；‎ ‎ （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标xP=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3．…2分 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分 ‎（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．‎ 由vt=，整理得．…10分 因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．‎ 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分 ‎　‎ ‎22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．‎ ‎（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；‎ ‎（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；‎ ‎（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．‎ ‎（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．‎ ‎（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），‎ 渐近线方程为：y=±x．‎ 过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，‎ 所以，解得．‎ 所以所求三角形的面积为S=．‎ ‎（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，‎ 因直线PQ与已知圆相切，故，‎ 即b2=2，由，‎ 得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，‎ 又y1y2=（x1+b）（x2+b）．‎ 所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2‎ ‎=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2‎ ‎=b2﹣2=0．‎ 故PO⊥OQ．‎ ‎（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．‎ 当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），‎ 则直线OM的方程为y=，由 得，‎ 所以．‎ 同理，‎ 设O到直线MN的距离为d，‎ 因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，‎ 所以==3，‎ 即d=．‎ 综上，O到直线MN的距离是定值．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．‎ ‎（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；‎ ‎（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；‎ ‎（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．‎ ‎【分析】（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．‎ ‎（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．‎ ‎（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n；‎ ‎[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是xk=x1•（）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．‎ ‎【解答】解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，‎ 又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．‎ ‎（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．‎ 因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，‎ 假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．‎ 再取=（x1，xn）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+txn=0，‎ 所以s、t异号，其中一个为﹣1‎ ‎①若s=﹣1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；‎ ‎②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；‎ 说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．‎ ‎（3）[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n 记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n 先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．‎ 任取=（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有满足 当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．‎ 因为Ak+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1‎ 不妨设s1=﹣1，‎ 假设t1∈Ak+1，且t1∉Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．‎ 所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．‎ 再用数学归纳法，证明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n 当n=2时，结论显然成立； ‎ 假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，‎ 所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．‎ 取=（xk+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1‎ 若t=﹣1，则xk+1=，不可能 所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk 综上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n ‎[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于 记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称 注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数．‎ 所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．‎ 由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数 对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，‎ ‎＜＜＜…＜‎ ‎ …‎ 注意到＞＞＞…＞，所以==…=‎ 从而数列的通项公式是xk=x1•（）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；minqi5；吕静；qiss；wfy814；邢新丽；刘长柏；ywg2058；石玉台（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日