2013年辽宁省高考数学试卷（理科） 27页

‎2013年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）复数的模长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：‎ p1：数列{an}是递增数列；‎ p2：数列{nan}是递增数列；‎ p3：数列是递增数列；‎ p4：数列{an+3nd}是递增数列；‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4‎ ‎5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　）‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=‎ b，且a＞b，则∠B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）‎ A．b=a3 B．‎ C． D．‎ ‎10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　）‎ A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16‎ ‎12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　　．‎ ‎14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．‎ ‎16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）设向量，，．‎ ‎（1）若，求x的值；‎ ‎（2）设函数，求f（x）的最大值．‎ ‎18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．‎ ‎19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．‎ ‎（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求P的值；‎ ‎（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：‎ ‎（I）∠FEB=∠CEB；‎ ‎（II）EF2=AD•BC．‎ ‎23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．‎ ‎（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；‎ ‎（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎　‎ ‎2013年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．‎ ‎【解答】解：复数，‎ 所以===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．‎ ‎【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，‎ 解得：1＜x＜4，即A=（1，4），‎ ‎∵B=（﹣∞，2]，‎ ‎∴A∩B=（1，2]．‎ 故选D ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．‎ ‎【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，‎ 则与向量同方向的单位向量为 =，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：‎ p1：数列{an}是递增数列；‎ p2：数列{nan}是递增数列；‎ p3：数列是递增数列；‎ p4：数列{an+3nd}是递增数列；‎ 其中真命题是（　　）‎ A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4‎ ‎【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．‎ ‎【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．‎ 对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，‎ 故p2不正确，是假命题．‎ 对于数列，第n+1项与第n项的差等于 ﹣==，不一定是正实数，‎ 故p3不正确，是假命题．‎ 对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，‎ 故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　）‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．‎ ‎【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，‎ 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，‎ 每组数据的组距为20，‎ 则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，‎ 又∵低于60分的人数是15人，‎ 则该班的学生人数是=50．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．‎ ‎【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，‎ ‎∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，‎ 则∠B=．‎ 故选A ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•辽宁）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．‎ ‎【解答】解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，‎ 则：Tr+1=3n﹣r••xn﹣r•=3n﹣r••，‎ 令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，‎ ‎∴当r=2时，n最小，即nmin=5．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，‎ 执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．‎ ‎【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，‎ 判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；‎ 判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；‎ 判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；‎ 判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；‎ 判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；‎ 判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△‎ OAB为直角三角形，则必有（　　）‎ A．b=a3 B．‎ C． D．‎ ‎【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．‎ ‎①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；‎ ‎②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；‎ ‎③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．‎ 综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．‎ ‎【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，‎ 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，‎ 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，‎ 所以球的半径为：．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　）‎ A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16‎ ‎【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．‎ ‎【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．‎ ‎①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；‎ ‎②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；‎ ‎③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．‎ 综上可知：‎ ‎（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，‎ H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，‎ ‎（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；‎ ‎（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），‎ 故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，‎ ‎∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（　　）‎ A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 ‎【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）满足，‎ ‎∴‎ 令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，‎ F（2）=4•f（2）=．‎ 由，得f′（x）=，‎ 令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．‎ ‎∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，‎ ‎∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．‎ ‎∴φ（x）≥0．‎ 又x＞0，∴f′（x）≥0．‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）单调递增．‎ ‎∴f（x）既无极大值也无极小值．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　．‎ ‎【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．‎ ‎【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，‎ 圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，‎ 四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．‎ 故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，‎ 故答案为：16π﹣16．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　63　．‎ ‎【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．‎ ‎【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．‎ 因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，‎ 所以a1=1，a3=4．‎ 设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．‎ 则．‎ 故答案为63．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．‎ ‎【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'‎ ‎∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6‎ ‎∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，‎ ‎∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，‎ 可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8‎ 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7‎ ‎∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2‎ ‎∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5‎ 因此，椭圆C的离心率e==‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　10　．‎ ‎【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，‎ 平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；‎ 方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．‎ 从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①‎ ‎（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②‎ 若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：‎ ‎（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；‎ 若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10．‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．‎ ‎（1）若，求x的值；‎ ‎（2）设函数，求f（x）的最大值．‎ ‎【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．‎ ‎（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，‎ 由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．‎ ‎∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．‎ ‎（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．‎ ‎ x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥‎ 平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，‎ 由AB是圆的直径，得AC⊥BC．‎ 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．‎ 又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，‎ 所以BC⊥平面PAC．‎ 因为BC⊂平面PBC，‎ 所以平面PAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，‎ 因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，‎ 故CM⊥平面PAB．‎ 过M作MN⊥PB于N，连接NC．‎ 由三垂线定理得CN⊥PB．‎ 所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．‎ 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．‎ 在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．‎ 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．‎ 故MN=．‎ 又在Rt△CNM中，．故cos．‎ 所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．‎ ‎（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解 ‎（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 ‎【解答】解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”‎ 则=张同学至少取到的全为甲类题 ‎∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=‎ ‎（II）X的所有可能取值为0，1，2，3‎ P （X=0）==‎ P（X=1）==‎ P（X=2）=+=‎ P（X=3）==‎ X的分布列为 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX=‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．‎ ‎（Ⅰ）求P的值；‎ ‎（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．‎ ‎（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程 ‎【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，‎ 所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=﹣1，y==，点A的坐标为（﹣1，），‎ 故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+‎ 因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是 y0=﹣（2﹣）+=﹣①‎ ‎∴y0=﹣=﹣②‎ 解得p=2‎ ‎（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④‎ 切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，‎ 由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=‎ 因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦‎ 由③④⑦得x2=y，x≠0‎ 当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y 因此中点N的轨迹方程为x2=y ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；‎ ‎②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．‎ ‎（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=‎ ‎，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．‎ ‎【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，‎ 令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，则h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．‎ 当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，‎ ‎∴h（x）在[0，1）上是增函数，‎ ‎∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．‎ ‎②当x∈[0，1）时，⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，则u′（x）=ex﹣1．‎ 当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，‎ ‎∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，‎ ‎∴f（x）．‎ 综上可知：．‎ ‎（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=‎ ‎≥=．‎ 令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，‎ 令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．‎ 当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，‎ 可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，‎ ‎∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．‎ ‎∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．‎ 下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．‎ f（x）﹣g（x）≤==﹣x ‎．‎ 令v（x）==，则v′（x）=．‎ 当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，‎ ‎∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．‎ 当a＞﹣3时，a+3＞0．‎ ‎∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．‎ 即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．‎ 综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．‎ ‎　‎ 请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（10分）（2013•辽宁）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：‎ ‎（I）∠FEB=∠CEB；‎ ‎（II）EF2=AD•BC．‎ ‎【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证．‎ ‎（2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可．‎ ‎【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．‎ ‎∴∠EAB+∠EBA=90°．‎ ‎∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．‎ ‎∴∠FEB=∠EAB．‎ ‎∴∠CEB=∠EAB．‎ ‎（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，‎ 又∠CEB=∠FEB，EB公用．‎ ‎∴△CEB≌△FEB．‎ ‎∴CB=FB．‎ 同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．‎ 在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．‎ ‎∴EF2=AD•CB．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•辽宁）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．‎ ‎（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．‎ ‎【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；‎ ‎（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．‎ ‎【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，‎ 解得或，‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．‎ ‎（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，‎ 由参数方程可得y=x﹣+1，‎ ‎∴，‎ 解得a=﹣1，b=2．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；‎ ‎（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ ‎【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可．‎ ‎（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=．由|h（x）|≤2解得，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4，‎ 当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1；‎ 当2＜x＜4时，得2≥4，无解；‎ 当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5；‎ 故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．‎ ‎（2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=‎ ‎ 由|h（x）|≤2得，‎ 又已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，‎ 所以，‎ 故a=3．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sllwyn；caoqz；minqi5；wfy814；sxs123；沂蒙松；刘长柏；ywg2058；邢新丽；xintrl（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日