2014年江西省高考数学试卷（文科） 23页

‎2014年江西省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）‎ ‎3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．1 D．‎ ‎6．（5分）下列叙述中正确的是（　　）‎ A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”‎ C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β ‎7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 ‎8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是　　．‎ ‎12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　　．‎ ‎13．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　　．‎ ‎14．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　　．‎ ‎15．（5分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．‎ ‎（1）求a，θ的值；‎ ‎（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，‎ ‎（1）求证：A1C⊥CC1；‎ ‎（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．‎ ‎20．（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．‎ ‎（1）证明：动点D在定直线上；‎ ‎（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．‎ ‎21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．‎ ‎（1）求p（100）；‎ ‎（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；‎ ‎（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．‎ ‎　‎ ‎2014年江西省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．（5分）（2014•江西）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，‎ ‎∴|z|==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•江西）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）‎ ‎【分析】根据补集的定义求得∁RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁RB）．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤﹣1，或 x＞5}，‎ 则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•江西）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案 ‎【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36‎ 事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种 故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【分析】根据条件代入计算即可．‎ ‎【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，‎ ‎∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）‎ A．﹣ B． C．1 D．‎ ‎【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵3a=2b，∴b=，‎ 根据正弦定理可得===，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•江西）下列叙述中正确的是（　　）‎ A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”‎ B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”‎ C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”‎ D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β ‎【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．‎ ‎【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：‎ ‎①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；‎ ‎②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．‎ ‎∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；‎ B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，‎ ‎∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．‎ 反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．‎ ‎∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；‎ C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，‎ 命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；‎ D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥‎ β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．‎ 故答案为：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）‎ 表1‎ ‎ 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表2‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表3‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ 表4‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 ‎【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：表1：X2=≈0.009；‎ 表2：X2=≈1.769；‎ 表3：X2=≈1.3；‎ 表4：X2=≈23.48，‎ ‎∴阅读量与性别有关联的可能性最大，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）‎ A．7 B．9 C．10 D．11‎ ‎【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，‎ ‎∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，‎ ‎∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•江西）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，‎ 令x=a，则y=b，即A（a，b），‎ ‎∵右焦点F（4，0），|FA|=4，‎ ‎∴（a﹣4）2+b2=16，‎ ‎∵a2+b2=16，‎ ‎∴a=2，b=2，‎ ‎∴双曲线C的方程为﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•江西）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，求出函数ax2﹣x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．‎ ‎【解答】解：当a=0时，函数y=ax2﹣x+的图象是第二，四象限的角平分线，‎ 而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；‎ 当a≠0时，函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=，‎ 由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得：y′=3a2x2﹣4ax+1，‎ 令y′=0，则x1=，x2=，‎ 即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的两个极值点，‎ 对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，‎ 故A、C符合要求，B不符合，‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是　（e，e）　．‎ ‎【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），‎ 函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，‎ 直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，‎ ‎∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，‎ ‎∴f′（x）=1+lnx=2，‎ 即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，‎ 故点P的坐标是（e，e），‎ 故答案为：（e，e）．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　3　．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．‎ ‎【解答】解：=9=9，‎ ‎∴||=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•江西）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　（﹣1，﹣）　．‎ ‎【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，‎ ‎∴，即，解得：，‎ 综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•江西）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　　．‎ ‎【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，‎ ‎∴D为BF1的中点，‎ 又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．‎ ‎∴|AF1|=2|AF2|．‎ 设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，‎ ‎∴e=====．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•江西）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为　[0，2]　．‎ ‎【分析】根据绝对值的意义，|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，从而求得x+y的范围．‎ ‎【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；‎ ‎|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；‎ 故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．‎ 再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得 只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，‎ 此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．‎ ‎（1）求a，θ的值；‎ ‎（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．‎ ‎【分析】（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．‎ ‎（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，‎ ‎∵θ∈（0，π）．‎ ‎∴sinθ≠0，‎ ‎∴a+1=0，即a=﹣1‎ ‎∵f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（0）=（a+2）cosθ=0，‎ ‎∴cosθ=0，θ=．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，‎ ‎∴f（）=﹣sinα=﹣，‎ ‎∴sinα=，‎ ‎∵α∈（，π），‎ ‎∴cosα==﹣，‎ ‎∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2014•江西）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；‎ ‎（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可．‎ ‎【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*．‎ ‎∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）‎ 当n=1时，a1=S1==1．‎ 因此当n=1时，（*）也成立．‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2．‎ ‎（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ 则，‎ ‎∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），‎ 化为m=3n2﹣4n+2，‎ ‎∵n＞1，‎ ‎∴m=3n2﹣4n+2=＞1，‎ 因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．‎ ‎【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．‎ ‎【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（x）=（4x2+4ax+a2），‎ ‎∴f（x）=（4x2﹣16x+16），‎ ‎∴f′（x）=（8x﹣16）+（4x2﹣16x+16）=2（）=，‎ ‎∵f′（x）＞0，x≥0，‎ ‎∴5x2﹣12x+4＞0，‎ 解得，0≤x＜，或x＞2，‎ ‎∴当a=﹣4时，f（x）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；‎ ‎（2）∵f（x）=（4x2+4ax+a2），‎ ‎∴；‎ 令f′（x）=0．解得，‎ 当f′（x）＞0时，x∈（0，）或，此时f（x）单调递增，‎ 当f′（x）＜0时，x∈（），此时f（x）单调递减，‎ ‎①当≥4，即a≤﹣40，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去 ‎②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去 ‎③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（x）在区间[1，4]为减函数，由f（4）=8，解得a=﹣10，‎ ‎④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，‎ ‎⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．‎ 综上所述，a=﹣10．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•江西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，‎ ‎（1）求证：A1C⊥CC1；‎ ‎（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．‎ ‎【分析】（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1C⊥CC1；‎ ‎（2）作AO⊥B 于O，连结A1O，说明∠AA1O=90°，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，‎ ‎∴A1A∥CC1∥BB1，‎ ‎∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，‎ ‎∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，‎ ‎∵BC∩BA1=B，‎ ‎∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C ‎∴A1C⊥CC1；‎ ‎（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，‎ ‎∴AO=，‎ 设A1A=h，A1O==，‎ ‎∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，‎ 当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，‎ 最大值为：．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•江西）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．‎ ‎（1）证明：动点D在定直线上；‎ ‎（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．‎ ‎【分析】（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，由直线AO的方程y=‎ x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D的坐标为，利用x1x2=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2（x≠0）上；‎ ‎（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，由△=0化简整理得b=﹣a2，故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．‎ ‎【解答】（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x2﹣4kx﹣8=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，‎ 直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2．‎ 解得交点D的坐标为．‎ 注意到x1x2=﹣8及=4y1，则有y===﹣2，‎ 因此D点在定直线y=﹣2（x≠0）上．‎ ‎（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b=0，‎ 由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=﹣a2．‎ 故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．‎ 分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），‎ 则|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8，‎ 即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•江西）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．‎ ‎（1）求p（100）；‎ ‎（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；‎ ‎（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；‎ ‎（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；‎ ‎（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，‎ 其中数字0的个数为11，‎ 则恰好取到0的概率为P（100）=；‎ ‎（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，‎ 当10≤n≤‎ ‎99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，‎ 当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，‎ 当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，‎ F（n）=；‎ ‎（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，‎ 当n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N*）时，g（n）=k：‎ 当n=100时，g（n）=11，‎ 即g（n）=，同理有f（n）=，‎ 由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，‎ 所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；‎ 当n=9时，P（9）=0，‎ 当n=90时，P（90）==，‎ 当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，p（n）===，‎ 由y=关于k单调递增，故当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，‎ 又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；清风慕竹；whgcn；maths；王老师；刘长柏；豫汝王世崇；wdnah；wsj1012；沂蒙松；qiss；wfy814；danbo7801（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日