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【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）1【附详细答案和解析_可编辑】
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
1. 已知p：x3x；
②“|a|=1”是“a=1”的必要不充分条件；
③若命题p∨q是真命题，则¬p是真命题；
④函数y=2cos(2x+π3)+1的一个对称中心是(7π12,1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ）
5. 若关于x的不等式|x+1|<6-|x-m|的解集为⌀，则实数m的取值范围是________．
6. 设实数x>0，若x+i2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x=________.
7. 两条直线3x-4y-1=0与6x-8y+3=0间的距离是________．
8. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则xy= .
9. 函数f(x)=log3x121，则f-1(0)=________．
10. 如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB=60∘，边长为a．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ=________．
e
11. 若cos2α=2cos(α+π4)，α∈(0, π)，则sin2α=________，tanα=________．
12. 在(x-23x)6的二项展开式中，含x2项的系数等于________．
13. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)(b-c)=a(b-a)，则内角C等于________.
14. 设函数f(x)=3-2xx+1，g(x)=xex，若对任意x1∈(-∞,-1)，x2∈(-∞,0)，不等式m2f(x1)≤2eg(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．
15. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2, 3}，则k的最大值为________．
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16. 如图所示，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1,1,2，OA→与OC→的夹角为α，且tanα=7,OB→与OC→的夹角为45∘．若OC→=mOA→+nOB→m,n∈R，则m+n=________.
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2cosA=b3cosB=c6cosC，则cosAcosBcosC=________.
18. 已知a→，b→是两个相互垂直的单位向量，|c→|=13，c→⋅a→=3，c→⋅b→=4，则对于任意t1、t2∈R，当|c→-t1a→-t2b→|取最小值时，函数f(x)=t1sinx+t2cosx(0≤x≤π2)的值域是________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ）
19. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．
（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；
（2）求三棱锥B-D1AC的体积．
20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1, 0)，如图
(1)求菜地内的分界线C的方程；
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．
21. 已知双曲线C以F1(-2, 0)，F2(2, 0)为焦点，且过点P(7, 12)．
(1)求双曲线C与其渐近线的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且OA→⊥OB→（O为坐标原点），求直线l的方程．
22. 已知a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．
(1)当a=5时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
(3)设a>0，若对任意t∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
23. 设对于任意实数x、y，函数f(x)、g(x)满足f(x+1)=13f(x)，且f(0)=3，g(x+y)=g(x)+2y，g(5)=13，n∈N*．
(I)求数列{f(n)}、{g(n)}的通项公式；
(II)设cn=g[n2f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn；
(III)已知limn→ ∞2n+33n-1=0，设F(n)=Sn-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m3x，正确；
②|a|=1，则a=±1；a=1，则|a|=1，故“|a|=1”是“a=1”的必要不充分条件，正确；
③p∨q为真命题，则p真q假或p假q真，若p真q假，则¬p为假命题，错误；
④2x+π3=π2+kπ，即x=π12+kπ2，当k=1时，x=7π12，
故函数y=2cos(2x+π3)+1的一个对称中心是(7π12,1)，正确.
故正确的有3个.
故选C.
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ）
5.【答案】
(-∞, -7]∪[5, +∞)
【解答】
解：由于关于x的不等式|x+1|+|x-m|<6的解集为⌀，
而|x+1|+|x-m|表示数轴上的x对应点到-1、m对应点的距离之和，它的最小值为|m+1|，
故有|m+1|≥6，∴ m+1≥6，或bm+1≤-6，求得m≤-7，或m≥5，
故答案为：(-∞, -7]∪[5, +∞)．
6.【答案】
1
【解答】
解：∵ (x+i)2=x2-1+2xi是纯虚数，
∴ x2-1=0，2x≠0，解得x=±1.
又x>0，∴ x=1.
故答案为：1.
7.【答案】
12
【解答】
解：两条直线3x-4y-1=0与6x-8y+3=0间的距离是：|32+1|32+(-4)2=12．
故答案为：12．
8.【答案】
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29
【解答】
解：因为乙的中位数为21+232=22,
所以x=2.
又因为他们的平均数相同，
即18+22+293=21+23+29+10+y4，
所以 y=9，
故xy=29.
故答案为：29.
9.【答案】
9
【解答】
解：f(x)=log3x121=log3x-2，
由log3x-2=0，解得x=9．
则f-1(0)=9．
故答案为：9．
10.【答案】
45∘
【解答】
解：如图，取AD的中点G，连结PG、BG、BD，
∵ △PAD 是等边三角形， PG⊥AD．
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊂ 平面PAD，
∴ PG⊥平面ABCD，
∴ ∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ．
在△PBG中，PG⊥BG，BG=PG，
∴ ∠PBG=45∘，即θ=45∘，
故答案为：45∘．
11.【答案】
1,1
【解答】
解：若cos2α=2cos(α+π4)，
则cos2α-sin2α=2(cosαcosπ4-sinαsinπ4)，
∴ (cosα+sinα)(cosα-sinα)=2(22cosα-22sinα)，
当sinα=cosα时，α=π4，sinα+cosα=2；
当sinα≠cosα时，sinα+cosα=2；
对sinα+cosα=2两边平方，
得sin2α+cos2α+2sinαcosα=2，
化简得2sinαcosα=1，
即sin2α=1；
由2sinαcosα=1，
得2sinαcosαsin2α+cos2α=1，
即2tanαtan2α+1=1，
整理得tan2α-2tanα+1=0，
解得tanα=1.
故答案为：1；1.
12.【答案】
-160
【解答】
解：二项式(x-23x)6展开式的通项公式为Tr+1=(-2)rC6r⋅x6-4r3，
令6-4r3=2，解得r=3，
故(x-23x)6的二项展开式中，含x2
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项的系数等于-8×20=-160.
故答案为：-160．
13.【答案】
π3
【解答】
解：∵ 根据题意得b2-c2=ab-a2,
即b2+a2-c2=ab.
∵ cosC=a2+b2-c22ab，
∴ cosC=ab2ab=12，
∴ C=π3.
故答案为：π3.
14.【答案】
(-∞,-1]∪[1,+∞)
【解答】
解：f(x)=-2(x+1)+5x+1=-2+5x+1，
当x∈(-∞,-1)时，有f(x)<-2．
因为g(x)=xex，所以g'(x)=ex+xex=(1+x)ex．
分析可知g(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，
又g(-1)=-1e，
所以当x∈(-∞,0)时，g(x)∈[-1e,0)．
因为对任意x1∈(-∞,-1)，x2∈(-∞,0)，
不等式m2f(x1)≤2eg(x2)恒成立，
所以-2m2≤2e×(-1e)，
整理得m2-1≥0，解得m≥1或m≤-1．
故答案为：(-∞,-1]∪[1,+∞)．
15.【答案】
4
【解答】
解：依题意得，a1=S1∈{2,3}，Sn∈{2,3}且Sn+1∈{2,3}，
因此an+1=Sn+1-Sn∈{-1,0,1}(n∈N*)，
即数列{an}从第2项起的不同取值不超过3个，
进而可知数列{an}中的项的所有不同取值的个数k≤4，
且事实上，取数列{an}为2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯，
此时相应的k=4，Sn∈{2,3}．
因此k的最大值是4．
故答案为：4．
16.【答案】
3
【解答】
解法一：由题意
OC→⋅OA→=mOA→⋅OA→+nOB→⋅OA→OC→⋅OB→=mOA→⋅OB→+nOB→⋅OB→(*)
而由tanα=7，得sinα=752,cosα=152，
OA→⋅OB→=1×1×cosα+π4=cosα⋅π4⋅cosπ4-sinα⋅sinπ4=-35．
将(*)式化简为15=m-35n①1=-35m+n②
式①加式②，得m+n=3．故填3.
解法二（坐标法）：如图所示，以OA所在的直线为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得A1,0,C15,75,B-35,45，由OC→=mOA→+nOB→，得15,75=m1,0+n-35,45，
即15=m-35n75=45n，解得m=54n=74，
故m+n=3．故填3.
解法三（解三角形）：由tanα=7，可得sinα=7210，cosα=210，
如图所示，根据向量的分解，易得
ncos45∘+mcosα=2nsin45∘-msinα=0，即22n+210m=222n-7210m=0，即5n+m=105n-7m=0，
解得m=54,n=74，所以m+n=3．
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17.【答案】
110
【解答】
解：由正弦定理得a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
代入得tanA2=tanB3=tanC6，
tanB=32tanA，tanC=3tanA，①
tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=tan(π-C)=-tanC.②
由①②可知tanA=113，tanB=112，tanC=11，③
又∵ sinA2+cosA2=1，sinB2+cosB2=1，sinC2+cosC2=1，④
可由③④得cosA=3510，cosB=21515，cosC=36，
∴ cosAcosBcosC=3510×21515×36=110.
故答案为：110.
18.【答案】
[3, 5]
【解答】
解：|c→-t1a→-t2b→|2=c→2+(t1a→)2+(t2b→)2-2c→⋅a→t1-2c→⋅b→t2+2t1t2a→⋅b→
∵ a→，b→是两个相互垂直的单位向量，|c→|=13，c→⋅a→=3，c→⋅b→=4，
∴ |c→-t1a→-t2b→|2=169+t12+t22-6t1-8t2=(t1-3)2+(t2-4)2+144
由此可得，当且仅当t1=3，t2=4时，|c→-t1a→-t2b→|2最小值为144
∴ f(x)=3sinx+4cosx(0≤x≤π2)
∴ f(x)=5sin(x+α)，其中cosα=35，sinα=45
∵ 0≤x≤π2，∴ 3≤5sin(x+α)≤5，
∴ 函数的值域是[3, 5]
故答案为：[3, 5]
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ）
19.【答案】
∵ 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1 // BC1，
∴ ∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．
∵ AB=2，AD=1，A1A=1．
∴ 在等腰△ACD1中，AC=5，CD1=5，AD1=2
∴ cos∠CD1A=AD12+CD12-AC22AD1*CD1=2+5-52×2×5=1010，
∴ 异面直线BC1与CD1所成的角arccos1010．
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VB-D1AC=VD1-ABC
=13×S△ABC×DD1
=13×(12×1×2)×1=13．
【解答】
∵ 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1 // BC1，
∴ ∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．
∵ AB=2，AD=1，A1A=1．
∴ 在等腰△ACD1中，AC=5，CD1=5，AD1=2
∴ cos∠CD1A=AD12+CD12-AC22AD1*CD1=2+5-52×2×5=1010，
∴ 异面直线BC1与CD1所成的角arccos1010．
VB-D1AC=VD1-ABC
=13×S△ABC×DD1
=13×(12×1×2)×1=13．
20.【答案】
解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, 1)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
【解答】
解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, y0)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
21.【答案】
解：(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，半焦距为c，
则c=2，
2a=||PF1|-|PF2||
=|92+122-52+122|=2，a=1，
所以b2=c2-a2=3，
故双曲线C的方程为x2-y23=1．
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双曲线C的渐近线方程为y=±3x．
(2)设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程x2-y23=1，
可得2x2-2tx-t2-3=0(*)
Δ=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0，
若设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1，x2是方程(*)的两个根，
所以x1+x2=t,x1x2=-t2+32，
又由OA→⊥OB→，可知x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0，
可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0，
故-(t2+3)+t2+t2=0，解得t=±3，
所以直线l方程为y=x±3．
【解答】
解：(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，半焦距为c，
则c=2，
2a=||PF1|-|PF2||
=|92+122-52+122|=2，a=1，
所以b2=c2-a2=3，
故双曲线C的方程为x2-y23=1．
双曲线C的渐近线方程为y=±3x．
(2)设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程x2-y23=1，
可得2x2-2tx-t2-3=0(*)
Δ=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0，
若设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则x1，x2是方程(*)的两个根，
所以x1+x2=t,x1x2=-t2+32，
又由OA→⊥OB→，可知x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0，
可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0，
故-(t2+3)+t2+t2=0，解得t=±3，
所以直线l方程为y=x±3．
22.【答案】
解：(1)当a=5时，f(x)=log2(1x+5)，
由f(x)>0得log2(1x+5)>0，
即1x+5>1，则1x>-4，则1x+4=4x+1x>0，
则x>0或x<-14，
即不等式的解集为{x|x>0或x<-14}．
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0，
得log2(1x+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=0．
即log2(1x+a)=log2[(a-4)x+2a-5]，
即1x+a=(a-4)x+2a-5>0，①
则(a-4)x2+(a-5)x-1=0，
即(x+1)[(a-4)x-1]=0，②
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a-4，
若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1>0，即a>1，
若x=1a-4是方程①的解，则1x+a=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则10得log2(1x+5)>0，
即1x+5>1，则1x>-4，则1x+4=4x+1x>0，
则x>0或x<-14，
即不等式的解集为{x|x>0或x<-14}．
(2)由f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0，
得log2(1x+a)-log2[(a-4)x+2a-5]=0．
即log2(1x+a)=log2[(a-4)x+2a-5]，
即1x+a=(a-4)x+2a-5>0，①
则(a-4)x2+(a-5)x-1=0，
即(x+1)[(a-4)x-1]=0，②
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立，
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a-4，
若x=-1是方程①的解，则1x+a=a-1>0，即a>1，
若x=1a-4是方程①的解，则1x+a=2a-4>0，即a>2，
则要使方程①有且仅有一个解，则10
∴ F(n)为增函数，故F(n)min=F(1)=1．
∵ limn→∞2n+33n-1=0，∴ limn→∞F(n)=94，又2n+34⋅(13)n-1>0，F(n)<94．
∴ 1≤F(n)<94．
因此，当m<1，且M≥94时 m0
∴ F(n)为增函数，故F(n)min=F(1)=1．
∵ limn→∞2n+33n-1=0，∴ limn→∞F(n)=94，又2n+34⋅(13)n-1>0，F(n)<94．
∴ 1≤F(n)<94．
因此，当m<1，且M≥94时 m
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