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  • 2021-06-20 发布

2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设S={x|2x+1>0}‎,T={x|3x-5<0}‎,则S∩T=(‎ ‎‎)‎ A.‎⌀‎ B.‎{x|x<-‎1‎‎2‎}‎ C.‎{x|x>‎5‎‎3‎}‎ D.‎‎{x|-‎1‎‎2‎0‎‎ ‎表示的平面区域内的点是( )‎ A.‎(0, 2)‎ B.‎(-2, 0)‎ C.‎(0, -2)‎ D.‎‎(2, 0)‎ ‎7. 如图,正棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AA‎1‎=‎2AB,则异面直线A‎1‎B与AD‎1‎所成角的余弦值为( )‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎8. 设a>1‎,函数f(x)=logax在区间‎[a, 2a]‎上的最大值与最小值之差为‎1‎‎2‎,则a=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎4‎ ‎9. f(x)‎,g(x)‎是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x)‎,则“f(x)‎,g(x)‎均为偶函数”是“h(x)‎为偶函数”的( )‎ A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎10. 函数y=2cos‎2‎x的一个单调增区间是( )‎ A.‎(-π‎4‎,π‎4‎)‎ B.‎(0,π‎2‎)‎ C.‎(π‎4‎,‎3π‎4‎)‎ D.‎‎(π‎2‎,π)‎ ‎11. 曲线y=‎1‎‎3‎x‎3‎+x在点‎(1,‎4‎‎3‎)‎处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(        )‎ A.‎2‎‎9‎ B.‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎12. 抛物线y‎2‎=‎4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为‎3‎的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则‎△AKF的面积是( )‎ A.‎4‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎8‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13. 从自动打包机包装的食盐中,随机抽取‎20‎袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):‎ ‎492‎ ‎496‎ ‎494‎ ‎495‎ ‎498‎ ‎497‎ ‎501‎ ‎502‎ ‎504‎ ‎496‎ ‎497‎ ‎503‎ ‎506‎ ‎508‎ ‎507‎ ‎492‎ ‎496‎ ‎500‎ ‎501‎ ‎499‎ 根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在‎497.5g∼501.5g之间的概率约为________.‎ ‎14. 函数y=f(x)‎的图象与函数y=log‎3‎x(x>0)‎的图象关于直线y=x对称,则f(x)=‎________.‎ ‎15. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为‎2‎,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为________.‎ ‎16. 等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,已知S‎1‎,‎2‎S‎2‎,‎3‎S‎3‎成等差数列,则‎{an}‎的公比为 ‎ 6 / 6‎ ‎________.‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎17. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.‎ ‎(1)‎求B的大小;‎ ‎(2)‎若a=3‎‎3‎,c=5‎,求b.‎ ‎18. 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是‎0.6‎,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润‎200‎元;若顾客采用分期付款,商场获得利润‎250‎元.‎ ‎(1)求‎3‎位购买该商品的顾客中至少有‎1‎位采用一次性付款的概率;‎ ‎(2)求‎3‎位顾客每人购买‎1‎件该商品,商场获的利润不超过‎650‎元的概率.‎ ‎19. 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥‎底面ABCD,已知‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎,AB=2‎,BC=2‎‎2‎,SA=SB=‎‎3‎.‎ ‎(I)‎证明:SA⊥BC;‎ ‎(II)‎求直线SD与平面SBC所成角的大小.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎20. 设函数f(x)=2x‎3‎+3ax‎2‎+3bx+8c在x=1‎及x=2‎时取得极值.‎ ‎(1)‎求a,b的值;‎ ‎(2)‎若对任意的x∈[0, 3]‎,都有f(x)<‎c‎2‎成立,求c的取值范围.‎ ‎21. 设‎{an}‎是等差数列,‎{bn}‎是各项都为正数的等比数列,且a‎1‎‎=b‎1‎=1‎,a‎3‎‎+b‎5‎=21‎,a‎5‎‎+b‎3‎=13‎.‎ ‎(1)‎求‎{an}‎、‎{bn}‎的通项公式;‎ ‎(2)‎求数列‎{anbn}‎的前n项和Sn.‎ ‎22. 已知椭圆x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎的左右焦点分别为F‎1‎、F‎2‎,过F‎1‎的直线交椭圆于B、D两点,过F‎2‎的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P ‎(1)设P点的坐标为‎(x‎0‎, y‎0‎)‎,证明:x‎0‎‎2‎‎3‎‎+y‎0‎‎2‎‎2‎<1‎;‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.D ‎2.B ‎3.A ‎4.A ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.D ‎9.B ‎10.D ‎11.B ‎12.C 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.‎‎0.25‎ ‎14.‎‎3‎x‎(x∈R)‎ ‎15.‎‎4π‎3‎ ‎16.‎‎1‎‎3‎ 三、解答题(共6小题,满分80分)‎ ‎17.解:‎(1)‎由a=2bsinA,‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=‎‎1‎‎2‎,‎ 由‎△ABC为锐角三角形得B=‎π‎6‎.‎ ‎(2)‎根据余弦定理,得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=27+25-45=7‎.‎ 所以,b=‎‎7‎.‎ ‎18.解:(1)记A表示事件:“‎3‎位顾客中至少‎1‎位采用一次性付款”,‎ 则A‎¯‎表示事件:“‎3‎位顾客中无人采用一次性付款”.‎ P(A‎¯‎)=(1-0.6‎)‎‎3‎=0.064‎‎,P(A)=1-P(A‎¯‎)=1-0.064=0.936‎.‎ ‎(2)记B表示事件:“‎3‎位顾客每人购买‎1‎件该商品,商场获得利润不超过‎650‎元”.‎ B‎0‎表示事件:“购买该商品的‎3‎位顾客中无人采用分期付款”.‎ B‎1‎表示事件:“购买该商品的‎3‎位顾客中恰有‎1‎位采用分期付款”.‎ 则B=B‎0‎+‎B‎1‎.P(B‎0‎)=‎0.6‎‎3‎=0.216‎,‎ P(B‎1‎)=C‎3‎‎1‎×‎0.6‎‎2‎×0.4=0.432‎‎.‎ P(B)=P(B‎0‎+B‎1‎)=P(B‎0‎)+P(B‎1‎)=0.216+0.432=0.648‎‎.‎ ‎19.解法一:‎(1)‎作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,‎ 由侧面SBC⊥‎底面ABCD,得SO⊥‎底面ABCD.‎ 因为SA=SB,所以AO=BO,‎ 又‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎,故‎△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,‎ 由三垂线定理,得SA⊥BC.‎ ‎(II)‎由‎(I)‎知SA⊥BC,‎ 依题设AD // BC,‎ 故SA⊥AD,由AD=BC=2‎‎2‎,SA=‎‎3‎,SD=AD‎2‎+SA‎2‎=‎‎11‎.‎ 又AO=ABsin‎45‎‎∘‎=‎‎2‎,作DE⊥BC,垂足为E,‎ 则DE⊥‎平面SBC,连接SE.‎∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.‎sin∠ESD=EDSD=AOSD=‎2‎‎11‎=‎‎22‎‎11‎ 所以,直线SD与平面SBC所成的角为arcsin‎22‎‎11‎.‎ 解法二:‎ ‎(I)‎作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,‎ 由侧面SBC⊥‎底面ABCD,得SO⊥‎平面ABCD.‎ ‎ 6 / 6‎ 因为SA=SB,所以AO=BO.‎ 又‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎,‎△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.‎ 如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O-xyz,‎ 因为AO=BO=‎2‎‎2‎AB=‎‎2‎,SO=SB‎2‎-BO‎2‎=1‎,‎ 又BC=2‎‎2‎,所以A(‎2‎,0,0)‎,B(0,‎2‎,0)‎,C(0,-‎2‎,0)‎.S(0, 0, 1)‎,SA‎→‎‎=(‎2‎,0,-1)‎,CB‎→‎‎=(0,2‎2‎,0)‎,SA‎→‎‎⋅CB‎→‎=0‎,所以SA⊥BC.‎ ‎(II)SD‎→‎=SA‎→‎+AD‎→‎=SA‎→‎-CB‎→‎=(‎2‎,-2‎2‎,-1)‎‎,OA‎→‎‎=(‎2‎,0,0).‎OA‎→‎与SD‎→‎的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为OA‎→‎为平面SBC的法向量,所以α与β互余.cosα=‎|OA‎→‎|⋅|SD‎→‎|‎‎˙‎=‎‎22‎‎11‎,sinβ=‎‎22‎‎11‎,‎ 所以,直线SD与平面SBC所成的角为arcsin‎22‎‎11‎.‎ ‎20.解:‎(1)f‎'‎(x)=6x‎2‎+6ax+3b,‎ 因为函数f(x)‎在x=1‎及x=2‎时取得极值,‎ 则有f‎'‎‎(1)=0‎,f‎'‎‎(2)=0‎.‎ 即‎6+6a+3b=0,‎‎24+12a+3b=0,‎ 解得a=-3‎,b=4‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎可知,f(x)=2x‎3‎-9x‎2‎+12x+8c,f‎'‎‎(x)=6x‎2‎-18x+12=6(x-1)(x-2)‎.‎ 当x∈[0, 1)‎时,f‎'‎‎(x)>0‎;‎ 当x∈[1, 2]‎时,f‎'‎‎(x)<0‎;‎ 当x∈(2, 3]‎时,f‎'‎‎(x)>0‎.‎ 所以,当x=1‎时,f(x)‎取得极大值f(1)=5+8c,‎ 又f(0)=8c,f(3)=9+8c.‎ 则当x∈[0, 3]‎时,f(x)‎的最大值为f(3)=9+8c.‎ 因为对于任意的x∈[0, 3]‎,有f(x)<‎c‎2‎恒成立,‎ 所以‎9+8c<‎c‎2‎,‎ 解得c<-1‎或c>9‎,‎ 因此c的取值范围为‎(-∞, -1)∪(9, +∞)‎.‎ ‎21.解:‎(1)‎设‎{an}‎的公差为d,‎{bn}‎的公比为q,‎ 则依题意有q>0‎且‎1+2d+q‎4‎=21,‎‎1+4d+q‎2‎=13,‎ 解得d=2‎,q=2‎.‎ 所以an‎=1+(n-1)d=2n-1‎,bn‎=qn-1‎=‎‎2‎n-1‎.‎ ‎(2)‎由题意得,anbn‎=‎‎2n-1‎‎2‎n-1‎,‎ Sn‎=1+‎3‎‎2‎‎1‎+‎5‎‎2‎‎2‎+⋯+‎2n-3‎‎2‎n-2‎+‎‎2n-1‎‎2‎n-1‎‎,‎‎①‎ ‎1‎‎2‎Sn‎=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎+‎5‎‎2‎‎3‎+⋯+‎2n-3‎‎2‎n-1‎+‎‎2n-1‎‎2‎n‎,‎‎②‎ ‎①-②‎得‎1‎‎2‎Sn‎=1+2(‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+...+‎1‎‎2‎n-1‎)-‎‎2n-1‎‎2‎n,‎ 则Sn‎=2+2+‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+⋯+‎2‎‎2‎n-2‎-‎‎2n-1‎‎2‎n-1‎ ‎=2+2×(1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+⋯+‎1‎‎2‎n-2‎)-‎‎2n-1‎‎2‎n-1‎ ‎ 6 / 6‎ ‎=2+2×‎1-‎‎1‎‎2‎n-1‎‎1-‎‎1‎‎2‎-‎‎2n-1‎‎2‎n-1‎ ‎=6-‎‎2n+3‎‎2‎n-1‎‎.‎ ‎∴ Sn‎=6-‎‎2n+3‎‎2‎n-1‎.‎ ‎22.证明:(1)椭圆的半焦距c=‎3-2‎=1‎,‎ 由AC⊥BD知点P在以线段F‎1‎F‎2‎为直径的圆上,故x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎,‎ 所以,x‎0‎‎2‎‎3‎‎+y‎0‎‎2‎‎2‎≤x‎0‎‎2‎‎2‎+y‎0‎‎2‎‎2‎=‎1‎‎2‎<1‎.‎ ‎(2)(I)‎当BD的斜率k存在且k≠0‎时,BD的方程为y=k(x+1)‎,‎ 代入椭圆方程x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎,并化简得‎(3k‎2‎+2)x‎2‎+6k‎2‎x+3k‎2‎-6=0‎.‎ 设B(x‎1‎, y‎1‎)‎,D(x‎2‎, y‎2‎)‎,则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎6‎k‎2‎‎3k‎2‎+2‎,‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎3k‎2‎-6‎‎3k‎2‎+2‎ ‎|BD|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎|=‎(1+k‎2‎)⋅[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎‎4‎3‎(k‎2‎+1)‎‎3k‎2‎+2‎‎;‎ 因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为‎-‎‎1‎k,‎ 所以,‎|AC|=‎4‎3‎(‎1‎k‎2‎+1)‎‎3×‎1‎k‎2‎+2‎=‎‎4‎3‎(k‎2‎+1)‎‎2k‎2‎+3‎.‎ 四边形ABCD的面积S=‎1‎‎2‎⋅|BD||AC|=‎24(k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎‎(3k‎2‎+2)(2k‎2‎+3)‎≥‎24(k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎‎[‎‎(3k‎2‎+2)+(2k‎2‎+3)‎‎2‎‎]‎‎2‎=‎‎96‎‎25‎.‎ 当k‎2‎‎=1‎时,上式取等号.‎ ‎(2)当BD的斜率k=0‎或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4‎.‎ 综上,四边形ABCD的面积的最小值为‎96‎‎25‎.‎ ‎ 6 / 6‎