- 60.27 KB
- 2021-06-20 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1. 设S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则S∩T=( )
A.⌀ B.{x|x<-12} C.{x|x>53} D.{x|-120 表示的平面区域内的点是( )
A.(0, 2) B.(-2, 0) C.(0, -2) D.(2, 0)
7. 如图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.15 B.25 C.35 D.45
8. 设a>1,函数f(x)=logax在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为12,则a=( )
A.2 B.2 C.22 D.4
9. f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
10. 函数y=2cos2x的一个单调增区间是( )
A.(-π4,π4) B.(0,π2) C.(π4,3π4) D.(π2,π)
11. 曲线y=13x3+x在点(1,43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A.29 B.19 C.13 D.23
12. 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )
A.4 B.33 C.43 D.8
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13. 从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g∼501.5g之间的概率约为________.
14. 函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=________.
15. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2,点S、A、B、C、D都在同一个球面上,则该球的体积为________.
16. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为
6 / 6
________.
三、解答题(共6小题,满分80分)
17. 设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.
(1)求B的大小;
(2)若a=33,c=5,求b.
18. 某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(1)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(2)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获的利润不超过650元的概率.
19. 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45∘,AB=2,BC=22,SA=SB=3.
(I)证明:SA⊥BC;
(II)求直线SD与平面SBC所成角的大小.
6 / 6
20. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的x∈[0, 3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
21. 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
22. 已知椭圆x23+y22=1的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P
(1)设P点的坐标为(x0, y0),证明:x023+y022<1;
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
6 / 6
参考答案与试题解析
2007年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.D
2.B
3.A
4.A
5.C
6.C
7.D
8.D
9.B
10.D
11.B
12.C
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.0.25
14.3x(x∈R)
15.4π3
16.13
三、解答题(共6小题,满分80分)
17.解:(1)由a=2bsinA,
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=12,
由△ABC为锐角三角形得B=π6.
(2)根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=27+25-45=7.
所以,b=7.
18.解:(1)记A表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,
则A¯表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”.
P(A¯)=(1-0.6)3=0.064,P(A)=1-P(A¯)=1-0.064=0.936.
(2)记B表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.
B0表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.
B1表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.
则B=B0+B1.P(B0)=0.63=0.216,
P(B1)=C31×0.62×0.4=0.432.
P(B)=P(B0+B1)=P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648.
19.解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,
由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.
因为SA=SB,所以AO=BO,
又∠ABC=45∘,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,
由三垂线定理,得SA⊥BC.
(II)由(I)知SA⊥BC,
依题设AD // BC,
故SA⊥AD,由AD=BC=22,SA=3,SD=AD2+SA2=11.
又AO=ABsin45∘=2,作DE⊥BC,垂足为E,
则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.sin∠ESD=EDSD=AOSD=211=2211
所以,直线SD与平面SBC所成的角为arcsin2211.
解法二:
(I)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,
由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.
6 / 6
因为SA=SB,所以AO=BO.
又∠ABC=45∘,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.
如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O-xyz,
因为AO=BO=22AB=2,SO=SB2-BO2=1,
又BC=22,所以A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0).S(0, 0, 1),SA→=(2,0,-1),CB→=(0,22,0),SA→⋅CB→=0,所以SA⊥BC.
(II)SD→=SA→+AD→=SA→-CB→=(2,-22,-1),OA→=(2,0,0).OA→与SD→的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为OA→为平面SBC的法向量,所以α与β互余.cosα=|OA→|⋅|SD→|˙=2211,sinβ=2211,
所以,直线SD与平面SBC所成的角为arcsin2211.
20.解:(1)f'(x)=6x2+6ax+3b,
因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,
则有f'(1)=0,f'(2)=0.
即6+6a+3b=0,24+12a+3b=0,
解得a=-3,b=4.
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
当x∈[0, 1)时,f'(x)>0;
当x∈[1, 2]时,f'(x)<0;
当x∈(2, 3]时,f'(x)>0.
所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,
又f(0)=8c,f(3)=9+8c.
则当x∈[0, 3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
因为对于任意的x∈[0, 3],有f(x)<c2恒成立,
所以9+8c<c2,
解得c<-1或c>9,
因此c的取值范围为(-∞, -1)∪(9, +∞).
21.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则依题意有q>0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得d=2,q=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.
(2)由题意得,anbn=2n-12n-1,
Sn=1+321+522+⋯+2n-32n-2+2n-12n-1,①
12Sn=12+322+523+⋯+2n-32n-1+2n-12n,②
①-②得12Sn=1+2(12+122+...+12n-1)-2n-12n,
则Sn=2+2+22+222+⋯+22n-2-2n-12n-1
=2+2×(1+12+122+⋯+12n-2)-2n-12n-1
6 / 6
=2+2×1-12n-11-12-2n-12n-1
=6-2n+32n-1.
∴ Sn=6-2n+32n-1.
22.证明:(1)椭圆的半焦距c=3-2=1,
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,
所以,x023+y022≤x022+y022=12<1.
(2)(I)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程x23+y22=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.
设B(x1, y1),D(x2, y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2
|BD|=1+k2⋅|x1-x2|=(1+k2)⋅[(x1+x2)2-4x1x2]=43(k2+1)3k2+2;
因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-1k,
所以,|AC|=43(1k2+1)3×1k2+2=43(k2+1)2k2+3.
四边形ABCD的面积S=12⋅|BD||AC|=24(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)≥24(k2+1)2[(3k2+2)+(2k2+3)2]2=9625.
当k2=1时,上式取等号.
(2)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.
综上,四边形ABCD的面积的最小值为9625.
6 / 6
相关文档
- 2021高考数学人教版一轮复习多维层2021-06-2012页
- 专题2-3 导数及其应用-2017年高考2021-06-2017页
- 高中数学必修5第2章2_5_2同步训练2021-06-204页
- 专题20+不等式选讲-2017年高考数学2021-06-2013页
- 高考数学专题复习练习:4-6 专项基2021-06-208页
- 2020版高考数学大一轮复习(讲义·理2021-06-2018页
- 高考数学专题复习:专题一 考前题2021-06-2014页
- 高考数学考点13 定积分与微积分基2021-06-2015页
- 2020年高中数学第二章指数函数及其2021-06-206页
- 高中数学:新人教A版必修二 1_2空间2021-06-204页