2014年四川省高考数学试卷（理科） 25页

‎2014年四川省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}‎ ‎2．（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）‎ A．30 B．20 C．15 D．10‎ ‎3．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．＞ B．＜ C．＞ D．＜‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　）‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎7．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）‎ A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1]‎ ‎9．（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：‎ ‎①f（﹣x）=﹣f（x）；‎ ‎②f（）=2f（x）‎ ‎③|f（x）|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ ‎10．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）复数=　　．‎ ‎12．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[‎ ‎﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　　．‎ ‎13．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　　m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）‎ ‎14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是　　．‎ ‎15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：‎ ‎①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；‎ ‎②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．‎ ‎④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．‎ 其中的真命题有　　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．‎ ‎17．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎18．（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．‎ ‎（1）证明：P是线段BC的中点；‎ ‎（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．‎ ‎19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．‎ ‎（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．‎ ‎①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎②当最小时，求点T的坐标．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年四川省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}‎ ‎【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．‎ ‎【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，‎ ‎∴A∩B={﹣1，0，1，2}．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）‎ A．30 B．20 C．15 D．10‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．‎ ‎【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，‎ 令r=2可得，T3=C62x2=15x2，‎ ‎∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，‎ 在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 ‎【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，‎ 即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．＞ B．＜ C．＞ D．＜‎ ‎【分析】利用特例法，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，‎ 则，，∴A、B不正确；‎ ‎，=﹣，‎ ‎∴C不正确，D正确．‎ 解法二：‎ ‎∵c＜d＜0，‎ ‎∴﹣c＞﹣d＞0，‎ ‎∵a＞b＞0，‎ ‎∴﹣ac＞﹣bd，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，‎ 画出可行域如图：‎ 当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　）‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 ‎【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．‎ ‎【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，‎ 根据加法原理可得，共有120+96=216种．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），‎ ‎∴=m+=（m+4，2m+2），‎ 又∵与的夹角等于与的夹角，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得m=2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）‎ A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1]‎ ‎【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．‎ 不妨取AB=2．‎ 在Rt△AOA1中，==．‎ sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，‎ ‎=1．‎ ‎∴sinα的取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：‎ ‎①f（﹣x）=﹣f（x）；‎ ‎②f（）=2f（x）‎ ‎③|f（x）|≥2|x|‎ 其中的所有正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），‎ ‎∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；‎ f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；‎ 当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））‎ ‎∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，‎ 又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；‎ 故正确的命题有①②③，‎ 故选：A ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△‎ AFO面积之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．‎ ‎【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB与x轴的交点为M（m，0），‎ 由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，‎ ‎∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，‎ 结合及，得，‎ ‎∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．‎ 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，‎ ‎∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ ‎∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎11．（5分）（2014•四川）复数=　﹣2i　．‎ ‎【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．‎ ‎【解答】解：复数===﹣2i，‎ 故答案为：﹣2i．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　1　．‎ ‎【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，‎ ‎∴=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于　60　m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）‎ ‎【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．‎ ‎【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，‎ 则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，‎ AB=，根据正弦定理，，‎ 得BC===60m．‎ 故答案为：60m．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是　5　．‎ ‎【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．‎ ‎【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），‎ 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），‎ 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，‎ 则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．‎ 故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）‎ 故答案为：5‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：‎ ‎①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；‎ ‎②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．‎ ‎④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．‎ 其中的真命题有　①③④　．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．‎ ‎【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；‎ ‎ （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．‎ ‎∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；‎ ‎ （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．‎ 则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；‎ ‎ （4）对于命题④，∵﹣≤≤，‎ 当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．‎ 故答案为①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+‎ ‎）cos2α，求cosα﹣sinα的值．‎ ‎【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．‎ ‎（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．‎ ‎（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，‎ ‎∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），‎ ‎∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）‎ 即 （sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），‎ 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，‎ 当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．‎ 当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．‎ 综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．‎ ‎（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．‎ ‎【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；‎ ‎（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．‎ ‎（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．‎ ‎【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．‎ 则P（X=﹣200）=，‎ P（X=10）==‎ P（X=20）==，‎ P（X=100）==，‎ 故分布列为：‎ ‎ X ‎﹣200‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎100 ‎ ‎ P 由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，‎ 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．‎ 由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．‎ 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．‎ ‎（1）证明：P是线段BC的中点；‎ ‎（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．‎ ‎【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，‎ ‎（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：‎ 平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2‎ 设O为BD的中点，连接OA，OC 于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点 ‎（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）‎ 于是，，‎ 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和 由，则，设z1=1，则 由，则，设z2=1，则 cos===‎ 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值 ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．‎ ‎（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）由于点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点 ‎（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到an，bn．再利用“错位相减法”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上，‎ ‎∴，‎ 又等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∴==2d，‎ ‎∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，‎ ‎∴=b8，‎ ‎∴=4=2d，解得d=2．‎ 又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．‎ ‎（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，‎ ‎∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，‎ 又，令y=0可得x=，‎ ‎∴，解得a2=2．‎ ‎∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，‎ ‎∴bn=2n．‎ ‎∴．‎ ‎∴Tn=+…++，‎ ‎∴2Tn=1+++…+，‎ 两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．‎ ‎①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ‎②当最小时，求点T的坐标．‎ ‎【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；‎ 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1．‎ ‎（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），‎ ‎①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．‎ 由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，‎ 所以，‎ 于是，从而，‎ 即，则直线ON的斜率，‎ 又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．‎ 从而，即kOT=kON，‎ 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．‎ ‎②由两点间距离公式得，‎ 由弦长公式得==，‎ 所以，‎ 令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），‎ 所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；‎ ‎（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；‎ ‎（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，‎ 又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，‎ ‎∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；‎ ‎②当，则1＜2a＜e，‎ ‎∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，‎ g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；‎ ‎③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，‎ ‎∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，‎ 综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；‎ ‎（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，‎ 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，‎ 由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．‎ 若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1‎ 令h（x）= （1＜x＜e）‎ 则=，∴．由＞0⇒x＜‎ ‎∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，‎ ‎==＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，‎ ‎∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，‎ 又，所以e﹣2＜a＜1，‎ 综上得：e﹣2＜a＜1．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；qiss；caoqz；清风慕竹；刘长柏；豫汝王世崇；沂蒙松；尹伟云；王老师；maths；szjzl；静定禅心（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日