2020年高中数学第一章解三角形1 7页

第2课时 高度、角度问题 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的(　　)‎ A．北偏西35°　　　　　 B．北偏东55°‎ C．南偏西35° D．南偏西55°‎ 解析：如图可知，D项正确．‎ 答案：D ‎2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a km　　　　　　　 B.a km C.a km D. ‎2a km 解析：∵∠ACB＝120°， AC＝BC＝a，‎ ‎∴由余弦定理知 AB＝a.‎ 答案：B ‎3．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A，B间距离是‎35 m，则此电视塔的高度是(　　)‎ A．‎5 m B．‎‎10 m C. m D．‎‎35 m 解析：作出示意图，设塔高OC为h m.‎ 在△OAC中，OA＝＝h，‎ OB＝h.AB＝35，∠AOB＝150°，‎ 由余弦定理求得h＝5.‎ 答案：A ‎4.如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝‎100米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)‎ 7‎ A．‎100米　　　　　　　　 B．‎50 米 C．‎50‎米 D．50(＋1)米 解析：在△ACD中，CD＝‎100米，∠D＝30°，∠DAC＝∠ACB－∠D＝45°－30°＝15°，∴＝.‎ ‎∴AC＝＝＝.‎ 在△ABC中，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，AC＝米，∴AB＝ACsin 45°＝＝50(＋1)米．‎ 答案：D ‎5．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是(　　)‎ A．15海里/时 B．5海里/时 C．10海里/时 D．20海里/时 解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是10海里/时．‎ 答案：C ‎6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．‎ 解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得＝，则BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，‎ 所以AB＝BCtan 60°＝10.‎ 答案：10 ‎7.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角 7‎ β＝60°，已知甲楼高AB＝‎24米，则乙楼高CD＝________米．‎ 解析：ED＝AB＝‎24米，在△ACD中，∠CAD＝α＋β＝30°＋60°＝90°，AE⊥CD，DE＝‎24 米，‎ 则AD＝＝＝16(米)，‎ 则CD＝＝＝＝32 (米)．‎ 答案：32‎ ‎8．在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为‎10‎m，则旗杆的高度为________m.‎ 解析：如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝＝h.在△ABC中，AB＝‎10 m，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝30°，由正弦定理，得＝，故h＝‎30 m.‎ 答案：30‎ ‎9.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进‎100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝‎50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，求cos θ的值．‎ 解析：在△ABC中，由正弦定理可知，‎ BC＝＝＝50(－)．‎ 在△BCD中，sin∠BDC＝ 7‎ ‎＝＝－1.‎ 由题图，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.‎ ‎10．甲船在A处观测到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？‎ 解析：设AB＝10海里，两船在C处相遇，‎ ‎∠CAB＝θ，乙船行驶了x海里，则AC＝ x海里．‎ 由题意，知∠ABC＝180°－60°＝120°.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得 sin θ＝＝，‎ ‎∴θ＝30°或θ＝150°.‎ 由题意知θ＝30°.‎ ‎∴∠ACB＝180°－(∠ABC＋θ)＝180°－(120°＋30°)＝30°，‎ ‎∴BC＝AB＝‎10海里，60°－θ＝60°－30°＝30°.‎ 故甲船应沿北偏东30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了‎10海里．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．‎50 m B．‎‎100 m C．‎120 m D．‎‎150 m 解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是‎50 m.‎ 答案：A ‎2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是‎60 m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1)m　　　　 B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 7‎ 解析： ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，‎ ‎∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)，故选C.‎ 答案：C ‎3．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ 解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝‎100 m，所以AC＝‎100m.‎ 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，‎ 由正弦定理得，＝，因此AM＝‎100m.‎ 在Rt△MNA中，AM＝‎100 m，∠MAN＝60°，‎ 由＝sin 60°得MN＝100×＝150(m)．‎ 答案：150‎ ‎4．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝____________m.‎ 解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝45°，因为AB＝600，‎ 由正弦定理可得＝，即BC＝‎300m，‎ 在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝300.‎ 所以tan 30°＝＝，所以CD＝‎100m.‎ 答案：100 ‎5.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C 7‎ 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝‎60 m，求建筑物的高度．‎ 解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，‎ ‎∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，‎ 得cos∠PBA＝，①‎ cos∠PBC＝.②‎ ‎∵∠PBA＋∠PBC＝180°，‎ ‎∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③‎ 由①②③，解得h＝30(m)或h＝－30(m)(舍去)，即建筑物的高度为‎30 m.‎ ‎6．海岛O上有一座海拔‎1 km的小山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.‎ ‎(1)求该船的速度；‎ ‎(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？‎ 解析：(1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，‎ OB＝OAcot 60°＝，‎ OC＝OAcot 30°＝.‎ 在△BOC中，由余弦定理得 BC＝‎ ＝，‎ ‎∵由C到B用的时间为＝(h)，‎ ‎∴该船的速度为＝2(km/h)．‎ ‎(2)在△OBC中，由余弦定理，得 cos∠OBC＝＝，‎ ‎∴sin∠OBC＝＝，‎ 7‎ ‎∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)‎ ‎＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝，‎ 在△BEO中，由正弦定理得 OE＝＝.‎ BE＝＝，‎ ‎∴从B到E所需时间为＝(h)，即所需时间为5 min.‎ 即该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是‎1.5 km.‎ 7‎