2020高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修1-2 9页

1 章末综合测评(二) 推理与证明 (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．根据偶函数定义可推得“函数 f(x)＝x2 在 R 上是偶函数”的推理过程是( ) A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．非以上答案 C [根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选 C.] 2．在△ABC 中，E、F 分别为 AB、AC 的中点，则有 EF∥BC，这个问题的大前提为( ) 【导学号：48662104】 A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF 为中位线 D．EF∥BC A [这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF∥BC.] 3．在△ABC 中，tan A·tanB＞1，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 A [∵tan A·tanB＞1，∴A，B 只能都是锐角， ∴tan A＞0，tanB＞0,1－tan A·tanB＜0. ∴tan (A＋B)＝ tan A＋tan B 1－tan A·tan B ＜0. ∴A＋B 是钝角．∴角 C 为锐角．故选 A.] 4．下列推理正确的是( ) A．把 a(b＋c)与 loga(x＋y)类比，则有 loga(x＋y)＝logax＋logay B．把 a(b＋c)与 sin (x＋y)类比，则有 sin (x＋y)＝sin x＋sin y C．把 a(b＋c)与 ax＋y 类比，则有 ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c 与(xy)z 类比，则有(xy)z＝x(yz) D [(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．] 5．已知 a＋b＋c＝0，则 ab＋bc＋ca 的值( ) 【导学号：48662105】 A．大于 0 B．小于 0 C．不小于 0 D．不大于 0 2 D [因为 a＋b＋c＝0， 所以 a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以 ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c2 2 ≤0.故选 D.] 6．对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b 与 b＝c 及 a＝c 中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 B [若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则 a＝b＝c，与“a，b，c 是不全相等的正数” 矛盾，故①正确．a＝b 与 b＝c 及 a＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b， c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．] 7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但 形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( ) 【导学号：48662106】 ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 C [类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．] 8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则 a10 ＋b10＝( ) A．28 B．76 C．123 D．199 C [利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7 ＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29 ＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．] 9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) 【导学号：48662107】 A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β C．cos (α＋β)＞sin α＋sin β D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β 3 D [因为α，β为锐角，所以 0＜α＜α＋β＜π，所以 cos α＞cos(α＋β)．又 cos β＞0，所以 cos α＋cos β＞cos(α＋β)．] 10．在等差数列{an}中，若 a10＝0，则有等式 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19 且 n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 b11＝1，则有( ) A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B [令 n＝10 时，验证即知选 B.] 11．将石子摆成如图 1 的梯形形状．称数列 5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的 构成，此数列的第 2 018 项与 5 的差，即 a2 018－5＝( ) 图 1 A．2023×2018 B．2023×2017 C．1012×2016 D．1012×2017 D [an－5 表示第 n 个梯形有 n－1 层点，最上面一层为 4 个，最下面一层为 n＋2 个． ∴an－5＝ n－1 n＋6 2 ，∴a2 018－5＝2 017×2 024 2 ＝2 017×1 012.] 12．如图 2 中(1)，在△ABC 中，AB⊥AC 于点 A，AD⊥BC 于点 D，则有 AB2＝BD·BC，类 似地有命题：如图(2)，在三棱锥 A－BCD 中，AD⊥面 ABC，若 A 在△BCD 内的射影为 O，则 S2 △ABC＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题( ) 【导学号：48662108】 图 2 A．是真命题 B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C．是假命题 D．增加条件“三棱锥 A－BCD 是正三棱锥”后才是真命题 A [由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC 分别 与题图(1)中的 AB，BD，BC 进行类比即可．严格推理如下：连结 DO 并延长交 BC 于点 E，连 4 结 AE(图略)，则 DE⊥BC，AE⊥BC.因为 AD⊥面 ABC，所以 AD⊥AE.又因为 AO⊥DE，所以 AE2 ＝EO·ED，所以 S2 △ABC＝(1 2 BC·EA)2＝1 2 (BC·EO)·1 2 (BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选 A.] 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 13．已知 x，y∈R，且 x＋y>2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假 设应为________． x，y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) [“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即 “x，y 均不大于 1”，亦即“x≤1 且 y≤1”．] 14．当 n＝1 时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当 n＝2 时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3， 当 n＝3 时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当 n∈N*时，你能得到的结论是________. 【导学号：48662109】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1 [根据题意，由于当 n＝1 时，有(a－b)(a ＋b)＝a2－b2，当 n＝2 时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当 n＝3 时，有(a－b)(a3＋a2b ＋ab2＋b3)＝a4－b4，当 n∈N*时，左边第二个因式可知为 an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对 应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.] 15．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上 的数字是________． 1 和 3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3. 若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡 片上的数字是 1 和 3，满足题意； 若丙的卡片上的数字是 1 和 3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是 2 和 3，则甲的卡 片上的数字是 1 和 2，不满足甲的说法． 故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，所以丙的卡片上必有数字 2.又丙的卡片 上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.] 16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个 的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2 4 .类比到空间，有两个棱 长为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ________. 【导学号：48662110】 5 a3 8 [解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a3 8 .] 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)用综合法或分析法证明： (1)如果 a，b>0，则 lg a＋b 2 ≥lg a＋lg b 2 ； (2) 6＋ 10>2 3＋2. [证明] (1)当 a，b>0 时，有a＋b 2 ≥ ab， ∴lg a＋b 2 ≥lg ab， ∴lg a＋b 2 ≥1 2 lg ab＝lg a＋lg b 2 . (2)要证 6＋ 10>2 3＋2， 只要证( 6＋ 10)2>(2 3＋2)2， 即 2 60>2 48，这是显然成立的， 所以，原不等式成立． 18．(本小题满分 12 分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于 360°. 证明：设四边形 ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90° ＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为 360°. (2)已知 2和 3都是无理数，试证： 2＋ 3也是无理数． 证明：依题设 2和 3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以 2＋ 3必是 无理数． (3)已知实数 m 满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于 x 的方程 x2＋2x＋5 －m2＝0 无实根． 证明：假设方程 x2＋2x＋5－m2＝0 有实根．由已知实数 m 满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0， 解得－2＜m＜－1 2 ，而关于 x 的方程 x2＋2x＋5－m2＝0 的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－21)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根. 【导学号：48662112】 [证明] (1)法一：任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设 x10，ax2－x1>1 且 ax1>0， ∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0， 又∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x2－2 x2＋1 －x1－2 x1＋1 ＝ x2－2 x1＋1 － x1－2 x2＋1 x1＋1 x2＋1 8 ＝ 3 x2－x1 x1＋1 x2＋1 >0， 于是 f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2 x2＋1 －x1－2 x1＋1 >0， 故函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 法二：f′(x)＝axln a＋x＋1－ x－2 x＋1 2 ＝axln a＋ 3 x＋1 2 ∵a>1，∴ln a>0，∴axln a＋ 3 x＋1 2>0， f′(x)>0 在(－1，＋∞)上恒成立， 即 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在 x0<0(x0≠－1)满足 f(x0)＝0， 则 ax0＝－x0－2 x0＋1 ，且 0b>0)与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 是 椭圆 C 上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N，求证：AN→·BM→为定 值 b2－a2. (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)与 x 轴交于 A、B 两点，点 P 是双曲线 C 上异于 A、B 的任意一点，直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N，求证：AN→·BM→为 定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程). 【导学号：48662113】 [解] (1)证明如下：设点 P(x0，y0)，(x0≠±a)． 依题意，得 A(－a,0)，B(a,0)， 所以直线 PA 的方程为 y＝ y0 x0＋a (x＋a)， 令 x＝0，得 yM＝ ay0 x0＋a .同理得 yN＝－ ay0 x0－a . 所以 yMyN＝ a2y2 0 a2－x2 0 . 又点 P(x0，y0)在椭圆上，所以x2 0 a2＋y2 0 b2＝1， 9 因此 y2 0＝b2 a2(a2－x2 0)． 所以 yMyN＝ a2y2 0 a2－x2 0 ＝b2. 因为AN → ＝{a，yN}，BM → ＝(－a，yM)， 所以AN → ·BM → ＝－a2＋yMyN＝b2－a2. (2)－(a2＋b2)．