2020高中数学课时分层作业23 基本不等式新人教A版必修5 5页

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2021-06-21 发布

2020高中数学课时分层作业23 基本不等式新人教A版必修5

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课时分层作业(二十三)　基本不等式：≤ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．下列结论正确的是(　　)‎ ‎【导学号：91432353】‎ A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2‎ B．当x>0时，＋≥2‎ C．当x≥2时，x＋的最小值为2‎ D．当02x C.≤1 D．x＋≥2‎ C　[对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立，故选C.]‎ ‎3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　) ‎ ‎【导学号：91432354】‎ A.＋<1 B.＋≥1‎ C.＋<2 D.＋≥2‎ B　[因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.]‎ ‎4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)‎ - 5 -‎ A.> B.< C.＝ D.≤ A　[因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d 均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.]‎ ‎5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有(　　)‎ ‎【导学号：91432355】‎ A．最大值64 B．最小值 C．最小值 D．最小值64‎ D　[由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.]‎ 二、填空题 ‎6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．‎ ‎4　[∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b ‎＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.]‎ ‎7．已知00，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 　[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，‎ 所以有＝≤＝，即的最大值为，故 - 5 -‎ a≥.]‎ 三、解答题 ‎9．(1)已知x<3 ，求f(x)＝＋x的最大值；‎ ‎(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值.‎ ‎【导学号：91432357】‎ ‎[解]　(1)∵x<3，‎ ‎∴x－3<0，‎ ‎∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3‎ ‎＝－＋3≤－2＋3＝－1，‎ 当且仅当＝3－x，‎ 即x＝1时取等号，‎ ‎∴f(x)的最大值为－1.‎ ‎(2)∵x，y是正实数，‎ ‎∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．‎ 又x＋y＝4，‎ ‎∴＋≥1＋，‎ 故＋的最小值为1＋.‎ ‎10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？‎ ‎[解]　设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．‎ 因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．‎ 设汽车的年平均费用为y万元，则有 y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.‎ - 5 -‎ 当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．‎ 即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．若－40.‎ 故f(x)＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．]‎ ‎2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)‎ A．16 B．25‎ C．9 D．36‎ B　[(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]‎ ‎3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值为________. ‎ ‎【导学号：91432359】‎ ‎4　[由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x·8y＝2，‎ 即2x＋3y＝21，‎ ‎∴x＋3y＝1，‎ ‎∴＋＝(x＋3y)‎ ‎＝＋ ‎＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即x＝，y ‎＝时等号成立．]‎ ‎4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．‎ - 5 -‎ 　[∵x2＋y2＋xy＝1，‎ ‎∴(x＋y)2＝1＋xy.‎ ‎∵xy≤，‎ ‎∴(x＋y)2－1≤，‎ 整理求得－≤x＋y≤，‎ ‎∴x＋y的最大值是.]‎ ‎5．某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．‎ ‎(1)将2017年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；‎ ‎(2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？‎ ‎ [解]　(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，‎ 解得k＝2，∴x＝3－，‎ 又每件产品的销售价格为1.5×元，‎ ‎∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m ‎＝－＋29(m≥0)．‎ ‎(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3‎ 时等号成立，‎ ‎∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.‎ 故该厂家2017年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为 ‎21万元．‎ - 5 -‎

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