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  • 2021-06-21 发布

2014年天津市高考数学试卷(文科)

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‎2014年天津市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)i是虚数单位,复数=(  )‎ A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i ‎2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.(5分)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为(  )‎ A.∃x0≤0,使得(x0+1)e≤1 B.∃x0>0,使得(x0+1)e≤1‎ C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1‎ ‎4.(5分)设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a ‎5.(5分)设{an}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  )‎ A.2 B.﹣2 C. D.﹣‎ ‎6.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎7.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠‎ BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:‎ ‎①BD平分∠CBF;‎ ‎②FB2=FD•FA;‎ ‎③AE•CE=BE•DE;‎ ‎④AF•BD=AB•BF.‎ 所有正确结论的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎8.(5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取  名学生.‎ ‎10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为  m3.‎ ‎11.(5分)阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为  .‎ ‎12.(5分)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是  .‎ ‎13.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF,若•=1,则λ的值为  .‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)‎ ‎(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;‎ ‎(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.‎ ‎16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,‎ ‎(Ⅰ)求cosA的值;‎ ‎(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.‎ ‎17.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,‎ ‎(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;‎ ‎(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.‎ ‎19.(14分)已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a的取值范围.‎ ‎20.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.‎ ‎(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;‎ ‎(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ ‎ ‎ ‎2014年天津市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=(  )‎ A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i ‎【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.‎ ‎【解答】解:复数==,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=﹣,‎ 平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.‎ 此时z的最小值为z=1+2×1=3,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•天津)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)ex>1,则¬p为(  )‎ A.∃x0≤0,使得(x0+1)e≤1 B.∃x0>0,使得(x0+1)e≤1‎ C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1‎ ‎【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定.‎ ‎【解答】解:根据全称命题的否定为特称命题可知,¬p为∃x0>0,使得(x0+1)e≤1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•天津)设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a ‎【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出,a,b,c的取值范围,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:log2π>1,logπ<0,0<π﹣2<1,‎ 即a>1,b<0,0<c<1,‎ ‎∴a>c>b,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•天津)设{an}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=(  )‎ A.2 B.﹣2 C. D.﹣‎ ‎【分析】由等差数列的前n项和求出S1,S2,S4,然后再由S1,S2,S4成等比数列列式求解a1.‎ ‎【解答】解:∵{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,‎ ‎∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6,‎ 由S1,S2,S4成等比数列,得:,‎ 即,解得:.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,‎ 令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,‎ ‎∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,‎ ‎∴=2,‎ ‎∵c2=a2+b2,‎ ‎∴a2=5,b2=20,‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:‎ ‎①BD平分∠CBF;‎ ‎②FB2=FD•FA;‎ ‎③AE•CE=BE•DE;‎ ‎④AF•BD=AB•BF.‎ 所有正确结论的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.‎ ‎【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,‎ ‎∴∠DBC=∠DAC.‎ ‎∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,‎ ‎∴∠FBD=∠BAF.‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线,‎ ‎∴∠BAF=∠DAC.‎ ‎∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.‎ 又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.‎ 由,FB2=FD•FA.即结论②成立.‎ 由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.‎ 正确结论有①②④.‎ 故答案为D ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为(  )‎ A. B. C.π D.2π ‎【分析】根据f(x)=2sin(ωx+),再根据曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,相邻交点距离的最小值为,正好等于f(x)的周期的倍,求得函数f(x)的周期T的值.‎ ‎【解答】解:∵已知函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+)(ω>0),x∈R,‎ 在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,正好等于f(x)的周期的倍,‎ 设函数f(x)的最小正周期为T,则=,∴T=π,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生.‎ ‎【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.‎ ‎【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为 ‎=,‎ 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为  m3.‎ ‎【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,‎ 其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,‎ ‎∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•天津)阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为 ﹣4 .‎ ‎【分析】写出前二次循环,满足判断框条件,输出结果.‎ ‎【解答】解:由框图知,第一次循环得到:S=﹣8,n=2;‎ 第二次循环得到:S=﹣4,n=1;退出循环,输出﹣4.‎ 故答案为:﹣4.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•天津)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是 (﹣∞,0) .‎ ‎【分析】先将f(x)化简,注意到x≠0,即f(x)=2lg|x|,再讨论其单调性,从而确定其减区间;也可以函数看成由复合而成,再分别讨论内层函数和外层函数的单调性,根据“同増异减”再来判断.‎ ‎【解答】解:方法一:y=lgx2=2lg|x|,‎ ‎∴当x>0时,f(x)=2lgx在(0,+∞)上是增函数;‎ 当x<0时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数.‎ ‎∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).‎ 故答案为:(﹣∞,0).‎ 方法二:原函数是由复合而成,‎ ‎∵t=x2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数;‎ 又y=lgt在其定义域上为增函数,‎ ‎∴f(x)=lgx2在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数,‎ ‎∴函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).‎ 故答案为:(﹣∞,0).‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF,若•=1,则λ的值为 2 .‎ ‎【分析】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵BC=3BE,DC=λDF,‎ ‎∴=,=,‎ ‎=+=+=+,=+=+=+,‎ ‎∵菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,‎ ‎∴||=||=2,•=2×2×cos120°=﹣2,‎ ‎∵•=1,‎ ‎∴(+)•(+)=++(1+)•=1,‎ 即×4+×4﹣2(1+)=1,‎ 整理得,‎ 解得λ=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=‎ ‎,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为 (1,2) .‎ ‎【分析】由y=f(x)﹣a|x|=0得f(x)=a|x|,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由y=f(x)﹣a|x|=0得f(x)=a|x|,‎ 作出函数y=f(x),y=a|x|的图象,‎ 当a≤0,不满足条件,‎ ‎∴a>0,‎ 当a≥2时,此时y=a|x|与f(x)有三个 交点,‎ 当a=1时,‎ 当x<0时,f(x)=﹣x2﹣5x﹣4,‎ 由f(x)=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x 得x2+4x+4=0,‎ 则判别式△=16﹣4×4=0,‎ 即此时直线y=﹣x与f(x)相切,‎ 此时y=a|x|与f(x)有五个交点,‎ ‎∴要使函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,‎ 则1<a<2,‎ 故答案为:(1,2)‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(13分)(2014•天津)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)‎ ‎(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;‎ ‎(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)用表中字母一一列举出所有可能的结果,共15个.‎ ‎(Ⅱ)用列举法求出事件M包含的结果有6个,而所有的结果共15个,由此求得事件M发生的概率.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有:(A,B)、(A,C)、(A,X)、(A,Y)、(A,Z)、‎ ‎(B,C)、(B,X)、(B,Y)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y)、(C,Z)、(X,Y)、‎ ‎(X,Z )、(Y,Z),共计15个结果.‎ ‎(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,‎ 则事件M包含的结果有:(A,Y)、(A,Z)、(B,X)、(B,Z)、(C,X)、(C,Y),共计6个结果,‎ 故事件M发生的概率为 =.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,‎ ‎(Ⅰ)求cosA的值;‎ ‎(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出a,利用余弦定理表示出cosA,将表示出的a,b代入计算,即可求出cosA的值;‎ ‎(Ⅱ)由cosA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)将sinB=sinC,利用正弦定理化简得:b=c,‎ 代入a﹣c=b,得:a﹣c=c,即a=2c,‎ ‎∴cosA===;‎ ‎(Ⅱ)∵cosA=,A为三角形内角,‎ ‎∴sinA==,‎ ‎∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣,sin2A=2sinAcosA=,‎ 则cos(2A﹣)=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2014•天津)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,‎ ‎(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;‎ ‎(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)要证明EF∥平面PAB,可以先证明平面EFH∥平面PAB,而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证;‎ ‎(Ⅱ)(i)要证明平面PBC⊥平面ABCD,可用面面垂直的判定定理,即只需证PB⊥平面ABCD即可;‎ ‎(ii)由(i)知,BD,BA,BP两两垂直,建立空间直角坐标系B﹣DAP,得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量,其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:连结AC,AC∩BD=H,‎ ‎∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,‎ ‎∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,‎ 又∵AB⊂平面PAB,EH⊄平面PAD,∴EH∥平面PAB.‎ 同理可证,FH∥平面PAB.‎ 又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,‎ ‎∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.‎ ‎∵BA=BD=,AD=2,PA=PD=,∴BE=1,PE=2.‎ 又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,‎ ‎∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=.‎ ‎∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,‎ ‎∴PB⊥平面ABD,‎ ‎∵PB⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;‎ ‎(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,‎ ‎∵BA=BD=,AD=2,∴BD⊥BA,‎ ‎∴BD,BA,BP两两垂直,‎ 以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP,‎ 则有A(0,,0),B(0,0,0),C(,﹣,0),D(,0,0),P(0,0,),‎ ‎∴=(,﹣,0),=(0,0,),‎ 设平面PBC的法向量为,‎ ‎∵,∴,令x=1,则y=1,z=0,‎ 故=(1,1,0),‎ ‎∵E,F分别是棱AD,PC的中点,‎ ‎∴E(,,0),F(,﹣,),‎ ‎∴=(0,,),‎ ‎∴sinθ====﹣,‎ 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)分别用a,b,c表示出|AB|和|F1F2|,根据已知建立等式求得a和c的关系,进而求得离心率e.‎ ‎(Ⅱ)根据(1)中a和c的关系,用c表示出椭圆的方程,设出P点的坐标,根据PB为直径,推断出BF1⊥PF1,进而知两直线斜率相乘得﹣1,进而求得sinθ和cosθ,表示出P点坐标,利用P,B求得圆心坐标,则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|,|OF2|,利用勾股定理建立等式求得c,则椭圆的方程可得.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)依题意可知=•2c,‎ ‎∵b2=a2﹣c2,‎ ‎∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2,‎ ‎∴a2=2c2,‎ ‎∴e==.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2=2c2,‎ ‎∴b2=a2﹣c2=c2,‎ ‎∴椭圆方程为+=1,B(0,c),F1(﹣c,0)‎ 设P点坐标(csinθ,ccosθ),以线段PB为直径的圆的圆心为O,‎ ‎∵PB为直径,‎ ‎∴BF1⊥PF1,‎ ‎∴kBF1•kPF1=•=﹣1,‎ 求得sinθ=﹣或0(舍去),‎ 由椭圆对称性可知,P在x轴下方和上方结果相同,只看在x轴上方时,‎ cosθ==,‎ ‎∴P坐标为(﹣c,c),‎ ‎∴圆心O的坐标为(﹣c,c),‎ ‎∴r=|OB|==c,|OF2|==c,‎ ‎∵r2+|MF2|2=|OF2|2,‎ ‎∴+8=c2,‎ ‎∴c2=3,‎ ‎∴a2=6,b2=3,‎ ‎∴椭圆的方程为+=1.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2014•天津)已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求导数,利用导数的正负,可得f(x)的单调区间,从而求出函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,分类讨论,即可求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax2=2x(1﹣ax),令f′(x)=0,解得x=0或x=.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ f′(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 递减 ‎0‎ 递增 递减 所以,f(x)的单调递减区间为:(﹣∞,0)和,单调递增区间为,‎ 当x=0时,有极小值f(0)=0,当x=时,有极大值f()=;‎ ‎(Ⅱ)由f(0)=f()=0及(Ⅰ)知,当x∈(0,)时,f(x)>0;当x∈(,+∞)时,f(x)<0.‎ 设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,等价于A⊆B,显然A≠∅‎ 下面分三种情况讨论:‎ ‎①当>2,即0<a<时,由f()=0可知,0∈A,而0∉B,∴A不是B的子集;‎ ‎②当1≤≤2,即时,f(2)≤0,且f(x)在(2,+∞)上单调递减,故A=(﹣∞,f(2)),∴A⊆(﹣∞,0);由f(1)≥0,有f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0),即(﹣∞,0)⊆B,∴A⊆B;‎ ‎③当<1,即a>时,有f(1)<0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,故B=(,0),A=(﹣∞,f(2)),∴A不是B的子集.‎ 综上,a的取值范围是[].‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.‎ ‎(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;‎ ‎(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.‎ ‎(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an﹣bn≤﹣1.‎ 由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1],‎ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,‎ M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.‎ 可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.‎ ‎(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,∴an﹣bn≤﹣1.‎ 可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++‎ ‎≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]‎ ‎=<0.‎ ‎∴s<t.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wdnah;maths;sxs123;刘长柏;王老师;caoqz;清风慕竹;任老师;sllwyn;szjzl;wsj1012;沂蒙松(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日