2020高中数学集合的含义 5页

第2课时　集合的表示 学习目标：1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．‎ ‎2．描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．‎ 思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？‎ ‎(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？‎ ‎[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.‎ ‎(2){x|x<5，x∈R}．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．(　　)‎ ‎(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.(　　)‎ ‎(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)‎ A．{(－2,2)}　　　　　　 B．{－2,2}‎ C．{－2} D．{2}‎ B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]‎ ‎3．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) ‎ ‎【导学号：37102022】‎ A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}‎ C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}‎ C　[该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]‎ ‎4．不等式4x－5<7的解集为________．‎ ‎{x|4x－5<7}　[用描述法可表示为{x|4x－5<7}．]‎ ‎ [合 作 探 究·攻 重 难]‎ 用列举法表示集合 ‎　用列举法表示下列给定的集合：‎ ‎(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.‎ ‎(2)小于8的质数组成的集合B.‎ - 5 -‎ ‎(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C.‎ ‎(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.‎ ‎[解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．‎ ‎(2)小于8的质数有2,3,5,7，‎ 所以B＝{2,3,5,7}．‎ ‎(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，.所以C＝.‎ ‎(4)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，‎ 所以D＝{(1,4)}．‎ ‎[规律方法]　用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. (3)用花括号括起来. 提醒：二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．用列举法表示下列集合：‎ ‎(1)方程组的解集；‎ ‎(2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}. ‎ ‎【导学号：37102023】‎ ‎[解]　(1)由解得 故该方程组的解集为{(1,1)}．‎ ‎(2)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，‎ 所以或或或 故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．‎ 用描述法表示集合 ‎　用描述法表示下列集合：‎ ‎(1)比1大又比10小的实数的集合；‎ ‎(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；‎ ‎(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．‎ ‎[解]　(1){x∈R|10}．‎ ‎(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．‎ ‎[规律方法]　‎ - 5 -‎ 描述法表示集合的2个步骤 ‎[跟踪训练]‎ ‎2.用描述法表示下列集合：‎ 图111‎ ‎(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；‎ ‎(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；‎ ‎(3)如图111中阴影部分的点(含边界)的集合；‎ ‎(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. ‎ ‎【导学号：37102024】‎ ‎[解]　(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．‎ ‎(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．‎ ‎(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，xy≥0}．‎ ‎(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．‎ 集合表示方法的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．下面三个集合：‎ ‎①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．‎ ‎(1)它们各自的含义是什么？‎ ‎(2)它们是不是相同的集合？‎ 提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；‎ 集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；‎ 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．‎ - 5 -‎ ‎(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．‎ ‎2．设集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}．‎ ‎(1)构成集合A的元素是什么？‎ ‎(2)方程ax2＋x＋1＝0是关于x的一元二次方程吗，为什么？‎ 提示：(1)构成集合A的元素是方程ax2＋x＋1＝0的根．‎ ‎(2)不一定．当a＝0时，方程是关于x的一元一次方程；当a≠0时，方程是关于x的一元二次方程．‎ ‎　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．‎ 思路探究： ‎[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；‎ ‎(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．‎ 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．‎ 母题探究：1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合．‎ ‎[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根．‎ 故Δ＝64－64k>0，即k<1.‎ 所以实数k组成的集合为{k|k<1}．‎ ‎2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．‎ ‎①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，合题意；‎ ‎②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≤0，即k≥1.‎ 综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．‎ ‎[规律方法]　1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.‎ ‎2.在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为(　　) ‎ ‎【导学号：37102025】‎ A．{0,1,2,3,4}　　　　　 B．{1,2,3,4}‎ C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}‎ - 5 -‎ B　[由x－3<2可知x<5，又x∈N*，故x可以为1,2,3,4，故选B.]‎ ‎2．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ B　[集合A中有两个元素：(1,2)，(3,4)．]‎ ‎3．如果A＝{x|x>－1}，那么(　　) ‎ ‎【导学号：37102026】‎ A．－2∈A B．{0}∈A C．－3∈A D．0∈A D　[∵0>－1，故0∈A，选D.]‎ ‎4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．‎ ‎{－1,4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，‎ ‎∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．]‎ ‎5．用适当的方法表示下列集合：‎ ‎(1)方程组的解集；‎ ‎(2)所有的正方形；‎ ‎(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合. ‎ ‎【导学号：37102027】‎ ‎[解]　(1)解方程组得 故解集为{(4，－2)}．‎ ‎(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．‎ ‎(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．‎ - 5 -‎