【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6-4-1　平面几何中的向量方法 6-4 5页

‎6.4　平面向量的应用 ‎6.4.1　平面几何中的向量方法 ‎6.4.2　向量在物理中的应用举例 课后篇巩固提升 基础达标练 ‎1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(　　)‎ ‎　　 　　　　　　　　　　　　　　‎ A.- B. C.0 D.‎ 解析如图建立平面直角坐标系,‎ 则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).‎ 又∠BDC为的夹角,‎ ‎∴cos∠BDC=.‎ 答案B ‎2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为(　　)‎ A.40 N B.10 N C.20 N D. N 解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.‎ 答案B ‎3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　)‎ A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s 解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.‎ ‎∴|v|==2(m/s).‎ 答案B ‎4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则下列结论错误的是(　　)‎ A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心 B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点 C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心 D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点 解析由=0知,=-().设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.‎ 答案ABC ‎5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=　　　　　. ‎ 解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.‎ 答案 ‎6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于　　　　　. ‎ 解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.‎ 答案 ‎7.如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.‎ 证明　=()·()‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=-|2+|2.‎ 因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.‎ ‎8.某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.‎ 解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.‎ 如图,令=-v1,=-2v1,实际风速为v.‎ ‎∵,‎ ‎∴=v-v1.‎ 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.∵,∴=v-2v1.‎ 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速.‎ 由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,‎ ‎∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h.‎ ‎∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风.‎ 能力提升练 ‎1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为(　　)‎ A.- B. C.- D.‎ 解析因为3+4+5=0,‎ 所以3+4=-5,‎ 所以9+24+16=25.‎ 因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.‎ 代入原式得=0,‎ 所以=-(3+4)·()=-(3+4-3-4)=-.‎ 答案A ‎2.(2020武汉检测)O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若()·()=()·()=0,则O为△ABC的(　　)‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 解析因为()·()=0,‎ 则()·()=0,所以=0,‎ 所以||=||.‎ 同理可得||=||,即||=||=||,‎ 所以O为△ABC的外心.‎ 答案B ‎3.‎ ‎(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是(　　)‎ A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 解析设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ0<θ<,‎ 则|F|cos θ=|f|,∴|F|=.‎ ‎∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大.‎ ‎∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小.‎ 答案AC ‎4.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是　　　　　 km/h. ‎ 解析如图,‎ 用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.‎ 由图知,||=4,||=8,‎ 则∠AOB=60°.又|v2|=2,‎ ‎∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.‎ 即河水的流速是2 km/h.‎ 答案2‎ ‎5.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.‎ 证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,‎ 设A(0,2),C(2,0),‎ 则D(1,0),=(2,-2).‎ 设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.‎ 所以.又=(1,0),‎ 所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,‎ 又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.‎ ‎6.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?‎ 解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,‎ ‎∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2 s.‎ 素养培优练 如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.‎ 证明设=a,=b,=e,=c,=d,‎ 则a=e+c,b=e+d,‎ 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2‎ ‎=c2+2e·c-2e·d-d2.‎ 由已知可得a2-b2=c2-d2,‎ 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,‎ 所以e·(c-d)=0.因为=d-c,‎ 所以=e·(d-c)=0,‎ 所以,即AD⊥BC.‎