2020版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入滚动训练四 新人教A版选修2-2 7页

第三章 数系的扩充与复数的引入 滚动训练四(§3.1～§3.2)‎ 一、选择题 ‎1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是(　　)‎ A．－＋2i B．－－2i C.＋2i D.－2i 考点　‎ 题点　‎ 答案　B 解析　设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b>0，‎ ‎∵3＝，∴b＝2(舍负)，∴z＝－＋2i，‎ 则z的共轭复数是－－2i，故选B.‎ ‎2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 考点　复数的几何意义 题点　复数与点的对应关系 答案　B 解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．‎ ‎3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ 7‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　A 解析　当“a＝b＝‎1”‎时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，‎ 故“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；‎ 当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，‎ ‎“a＝b＝‎1”‎或“a＝b＝－‎1”‎，‎ 故“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；‎ 综上所述，“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．‎ ‎4．设复数z＝，则z·等于(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ 考点　复数四则运算的综合应用 题点　复数的混合运算 答案　C 解析　∵z＝＝ ‎＝－1＋i，‎ ‎∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.‎ ‎5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．i D．1‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　B 解析　∵z(i＋1)＝，‎ ‎∴z＝＝＝－1，‎ ‎∴z的虚部为0.‎ ‎6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于(　　)‎ 7‎ A．2 B．－2‎ C．±2 D．－ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　B 解析　由题意可得＝－＋i，‎ 即＝＝＋i＝－＋i，‎ ‎∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.‎ ‎7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则1＝2‎ B．若z1＝2，则1＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2‎ D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 考点　共轭复数的定义及应用 题点　与共轭复数有关的综合问题 答案　D 解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，‎ 所以1＝2为真；‎ 对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，‎ 所以1＝z2为真；‎ 对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，‎ 则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，‎ 所以z1·1＝z2·2为真；‎ 对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.‎ 二、填空题 ‎8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　－2i 7‎ 解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，‎ 所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.‎ ‎9．若复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.‎ 考点　复数的模的定义与应用 题点　利用定义求复数的模 答案　 解析　由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，‎ 即5|z|＝5，解得|z|＝.‎ ‎10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．‎ 考点　复数四则运算的综合应用 题点　与混合运算有关的几何意义 答案　一 解析　z2＝＝＝＝－i，z1＝i，‎ 则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.‎ ‎∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．‎ ‎11.已知复数z＝(‎2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则‎4a＋1－b的最小值为________．‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　利用乘除法求复数中的未知数 答案　2 解析　复数z＝(‎2a＋i)(1－bi)＝‎2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，‎ ‎∴‎2a＋b＝2，∴b＝2－‎2a.‎ 则‎4a＋1－b＝‎4a＋21－‎2a＝‎4a＋≥2＝2，‎ 当且仅当a＝，b＝时取等号．‎ 三、解答题 ‎12．计算：(1)；‎ 7‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 考点　复数四则运算的综合运算 题点　复数的混合运算 解　(1) ‎＝＝＝－1－3i.‎ ‎(2) ‎＝＝ ‎＝＝＋i.‎ ‎(3)＋ ‎＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝＝ ‎＝＝－－i.‎ ‎13．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)．‎ ‎(1)设复数z1＝，求|z1|；‎ ‎(2)设复数z2＝，且复数z2所对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．‎ 考点　复数的乘除法运算法则 题点　运算结果与点的对应关系 解　∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.‎ ·(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－‎3m)i，‎ 又∵·(3＋i)为纯虚数，‎ ‎∴解得m＝－3.‎ ‎∴z＝1－3i.‎ 7‎ ‎(1)z1＝＝－－i，‎ ‎∴|z1|＝＝.‎ ‎(2)∵z＝1－3i，‎ z2＝＝＝，‎ 又∵复数z2所对应的点在第四象限，‎ ‎∴解得 ‎∴－3