2020届高考理科数学二轮专题复习课件：专题6 统计与概率2-6-解答题 1 29页

第 1 课时 　 离散型随机变量及其分布 考向一　超几何分布 【例 1 】 (2017· 山东高考 ) 在心理学研究中 , 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 , 具体方法如下 : 将参加试验的志愿者随机分成两组 , 一组接受甲种心理暗示 , 另一组接受乙种心理暗示 , 通过对比这两 组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 , 现有 6 名男志愿者 A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 ,A 6 和 4 名女志愿者 B 1 ,B 2 ,B 3 ,B 4 , 从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示 , 另 5 人接受乙种心理暗示 . (1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中 包含 A 1 但不包含 B 3 的概率 ① . (2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列 ② 与 数学期望 E(X) ③ . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到古典概型概率公式求解 ② 想到利用超几何分布求概率 ③ 想到利用数学期望公式求解 【解析】 (1) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但 不包含 B 3 的事件为 M, 则 P(M)= (2) 由题意知 X 可取的值为 :0,1,2,3,4, 则 P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= , 因此 X 的分布列为 X 的数学期望是 EX=0× +1× +2× +3× +4× =2. X 0 1 2 3 4 P 【拓展提升】 随机分布的概率与期望的求法 对于实际问题中的随机变量 X, 如果能够断定它服从超 几何分布 H(N,M,n), 则其概率可直接利用公式 P(X=k)= (k=0,1,…,m, 其中 m=min{M,n}, 且 n≤N,M≤N, n,M,N∈N * ). 【变式训练】 某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛 ,A 中学推荐了 3 名男生、 2 名女生 ,B 中学推荐了 3 名男生、 4 名女生 , 两校所推荐的学生一起参加集训 . 由于集训后队员水平相当 , 从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队 . (1) 求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率 . (2) 某场比赛前 , 从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛 . 设 X 表示参赛的男生人数 , 求 X 的分布列和数学期望 . 【解析】 (1) 设事件 M 表示“ A 中学至少有 1 名学生入选 代表队” , 则 P(M)=1- (2) 由题意 ,X=1,2,3, P(X=1)= ;P(X=2)= ; P(X=3)= , 因此 X 的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望 :E(X)=1× +2× +3× =2. 考向二　与独立重复试验有关的分布列 【例 2 】 (2019· 郴州一模 ) 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况 , 绘制了该厂日销售量的频率分布直方图 , 如图所示 : 将日销售量落入各组的频率视为概率 , 并假设每天的销售量相互独立 . 世纪金榜导学号 (1) 求未来 3 天内， 连续 2 天日销售量不低于 8 吨，另一天日销售量低于 8 吨的概率 ① . (2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数，求随机变量 X 的分布列 ② 、 数学期望与方差 ③ . 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到利用相互独立事件及互斥事件概率公式 ② 想到利用公式 (1-p) n-k 求解 ③ 利用期望与方差公式求解 【解析】 (1) 由频率分布直方图可知 , 日销售量不低于 8 吨的频率为 2×(0.125+0.075)=0.4, 记未来 3 天内 , 第 I 天日销售量不低于 8 吨为事件 A i (i=1,2,3), 则 P(A i ) =0.4, 未来 3 天内 , 连续 2 天日销售量不低于 8 吨 , 另一天 日销售量低于 8 吨包含两个互斥事件 A 1 A 2 和 A 2 A 3 , 则未来 3 天内 , 连续 2 天日销售量不低于 8 吨 , 另一天日销 售量低于 8 吨的概率 : P(A 1 A 2 ∪ A 2 A 3 )=P(A 1 A 2 )+P( A 2 A 3 ) =0.4×0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4×0.4=0.192. (2) 由 (1) 知 , 第 i 天日销售量不低于 8 吨的概率 P(A i ) =0.4. 依题意 ,X 的可能取值为 0,1,2,3, 且 X ～ B(3,0.4), P(X=0)=(1-0.4) 3 =0.216,P(X=1)= ×0.4×(1-0.4) 2 =0.432, P(X=2)= ×0.4 2 ×(1-0.4)=0.288, P(X=3)=0.4 3 =0.064, 所以 X 的分布列为 E(X)=3×0.4=1.2,D(X)=3×0.4×(1-0.4)=0.72. X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 【拓展提升】 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 (1)n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次可看作是 个互斥事件的和 . (2) 每一个事件都可看作是 k 个 A 事件与 n-k 个 事件同 时发生 , 只是发生的次序不同 , 其发生的概率都是 p k (1- p) n-k . (3)n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 p k (1-p) n-k . 【变式训练】 中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票 , 推出三种购票方式 : 窗口购票、电话购票、网上购票 , 旅客任选一种购票方式 . 若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票 , 并且这 3 名旅客选择购票的方式是相互独立的 . (1) 求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 . (2) 记这三名旅客购票方式的种数为 ξ, 求 ξ 的分布列和数学期望 . 【解析】 (1) 记“三名旅客中恰有两人选择网上购票” 为事件 A,“ 三名旅客都选择网上购票”为事件 B, 且 A,B 互斥 . 则 P(A)= ,P(B)= . 因此 , 三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 P=P(A)+P(B)= . (2) 由题意 ,ξ 的所有可能取值为 1,2,3, 则 P(ξ=1)= ;P(ξ=2)= ;P(ξ=3)= . 所以随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 P 故 ξ 的期望 E(ξ)=1× +2× +3× = .