湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（1） 7页

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）‎ 姓名： 班级 ： 分数 ： ‎ 一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）‎ ‎1．已知复数满足，则 ．‎ ‎2．设，，则的值域为 ．‎ ‎3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是 ．‎ ‎4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则 ．‎ ‎5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为 ．‎ ‎6．设，且，，则符合条件的共有 组．（注：顺序不同视为不同组．）‎ ‎7．设，则的最小值为 ．‎ ‎8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是 ．‎ 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）‎ ‎9．设数列满足，，其中．‎ ‎（1）证明：对一切，有；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎ 10．求不定方程的正整数解的组数．‎ ‎11．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．‎ ‎(1)证明：直线AB恒过定点Q；‎ ‎12．设为正实数，且．证明：‎ ‎．‎ ‎ ‎ 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一）‎ 参考答案 一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）‎ ‎1．已知复数满足，则 0 ．‎ ‎2．设，，则的值域为．‎ ‎3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是．‎ ‎4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则．‎ ‎5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为．‎ ‎6．设，且，，则符合条件的共有 1600 组．（注：顺序不同视为不同组．）‎ ‎7．设，则的最小值为．‎ ‎8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是．‎ 二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）‎ ‎9．设数列满足，，其中．‎ ‎（1）证明：对一切，有；‎ ‎（2）证明：．‎ 证明 （1）在已知关系式中，令，可得；‎ 令，可得 ‎ ①‎ 令，可得 ‎ ②‎ 由①得，，，，‎ 代入②，化简得． ------------------------------------------7分 ‎（2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．‎ 于是．‎ 因为，所以 ‎．‎ ‎ ------------------------------14分 ‎10．求不定方程的正整数解的组数．‎ 解 令，，，则．‎ 先考虑不定方程满足的正整数解．‎ ‎，，．-----------------------5分 当时，有，此方程满足的正整数解为．‎ 当时，有，此方程满足的正整数解为．‎ 所以不定方程满足的正整数解为 ‎． ---------------------------------------10分 又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 ‎． -------------------------------15分 ‎11．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．‎ ‎(1)证明：直线AB恒过定点Q；‎ ‎(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．‎ 证明 (1)设，则．‎ 由得，所以．‎ 于是抛物线C在A点处的切线方程为，即．‎ ‎　　设，则有．‎ ‎　　设，同理有．‎ 所以AB的方程为，即，‎ 所以直线AB恒过定点． ------------------------------------------7分 ‎ (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得 ‎．‎ 设，，则 ‎ ①‎ 要证，只需证明，即 ‎ ②‎ 由①知，‎ ‎②式左边=‎ ‎．‎ 故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分 ‎12．设为正实数，且．证明：‎ ‎．‎ 证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 ‎ ① ---------------5分 事实上，‎ ‎ ②--------------10分 由柯西不等式知 ‎ ‎ ‎ ③--------------15分 又由知 ‎ ④‎ 由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分 ‎ ‎