1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛
物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为
cos1 e
ep
。
二、方法与例题
1.与定义有关的问题。
例 1 已知定点 A(2,1),F 是椭圆 11625
22
yx 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当
3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。
[解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c= 22 45 =3,
5
3
a
ce .椭圆左准线的方程为
3
25x ,又因为 116
1
25
4 ,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0),过 P 作 PQ
垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知
5
3
||
|| ePQ
PF ,则
3
5 |PF|=|PQ|。
所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+
3
5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM 左准线于 M)。
所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得
4
155x ,又 x<0,所以点 P 坐标为 )1,4
155(
例 2 已知 P, 'P 为双曲线 C: 12
2
2
2
b
y
a
x 右支上两点, 'PP 延长线交右准线于 K,PF1 延
长线交双曲线于 Q,(F1 为右焦点)。求证:∠ 'P F1K=∠KF1Q.
[证明] 记右准线为 l,作 PD l 于 D, lEP ' 于 E,因为 EP' //PD,则
|'|
|'|
||
||
EP
KP
PD
PK ,
又由定义
|'|
|'|
||
|| 11
EP
FPePD
PF ,所以
|'|
||
|'|
||
|'|
||
1
1
KP
PK
EP
PD
FP
PF ,由三角形外角平分线
定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ KFP 1' =∠KF1Q。
2.求轨迹问题。
例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。
[解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,
设椭圆方程: 2
2
2
2
b
y
a
x =1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 'F 。连结 'AF ,OP,
则 '2
1// AFOP
。所以|FP|+|PO|=
2
1 (|FA|+|A 'F |)=a.
所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c),将此椭圆按向量 m=(
2
c ,0)平
移,得到中心在原点的椭圆: 1
44
2
2
2
2
b
y
a
x 。由平移公式知,所求椭圆的方程为
.14)2(4
2
2
2
2
b
y
a
cx
[解法二] 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则
2,2
11 yycxx ,即 x1=2x+c, y1=2y. 又
因 为 点 A 在 椭 圆 12
2
2
2
b
y
a
x 上 , 所 以 .12
2
1
2
2
1
b
y
a
x 代 入 得 关 于 点 P 的 方 程 为
1424
2
2
2
2
b
y
a
cx
。它表示中心为
0,2
c ,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。
例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此
动圆圆心 P 的轨迹。
[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点,A,B,C,D 的坐标分别为 A(x-
2
a ,0), B(x+
2
a ,0), C(0, y-
2
b ),
D(0, y+
2
b ), 记 O 为 原 点 , 由 圆 幂 定 理 知 |OA|•|OB|=|OC|•|OD| , 用 坐 标 表 示 为
44
2
2
2
2 byax ,即 .4
22
22 bayx
当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x;
当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线;
当 a0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 x 轴,交双曲线于 B1,B2 两点,
B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。
[证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分
别为(-c, 0), (c,
a
b 2
), (c,
a
b 2
),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以
.cossin
sin,cossin2 0
ba
acabxba
abc
①
所以
2222
2
0 coscossinsin2
)sin(
baba
cbbacx
22222
2
sincossinsin
)sin(
cbaba
cbba
)sin)(sin()cossin(sin
)sin(2
bcbcbaa
cbba
。
由①得 ,)sin(cossin
0x
cbaba
代入上式得 ,
)sin(sin2
0
2
0
bcx
a
bacx
即
c
ax
2
(定值)。
注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。
例 7 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准
线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。
[ 证 明 ] 设
2
2
2
1
2
1 ,2,,2 yp
yByp
yA , 则
2,2 ypC , 焦 点 为
0,2
pF , 所 以
),2( 1
2
1 yp
yOA ,
2,2 ypOC , ),22( 1
2
1 yp
p
yFA ,
2
2
2 ,22 yp
p
yFB 。由于
FBFA// , 所 以
p
y
2
2
1 •y2-
222 1
2
2
2
pyp
yyp y1=0 , 即
22)( 21
21
p
p
yyyy =0 。 因 为
21 yy ,所以 022
21 p
p
yy 。所以 022 1
21
yp
p
yy ,即 022 12
2
1
ypyp
y 。所
以 OCOA// ,即直线 AC 经过原点。
例 8 椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 上有两点 A,B,满足 OA OB,O 为原点,求证: 22 ||
1
||
1
OBOA
为
定值。
[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=
2
,则点 A,B 的坐标分别为 A(r1cos
θ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由 A,B 在椭圆上有
.1cossin,1sincos
2
22
2
2
22
2
2
22
1
2
22
1
b
r
a
r
b
r
a
r
即 2
2
2
2
2
1
sincos1
bar
①
.cossin1
2
2
2
2
2
2 bar
②
①+②得 2222
11
||
1
||
1
baOBOA
(定值)。
4.最值问题。
例 9 设 A,B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点,且 OA OB(O 为原点),求|AB|的最大值与最
小值。
[解] 由题设 a=1,b=
3
3 ,记|OA|=r1,|OB|=r2, t
r
r
2
1 ,参考例 8 可得 2
2
2
1
11
rr
=4。设
m=|AB|2= )12(4
1)11)((4
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 ttrrrrrr ,
因为 2
22
22
22
2
2
2
2
1
sin1sincos1
ba
ba
abar
,且 a2>b2,所以 22
1
2
111
bra
,所以 b
≤r1≤a,同理 b≤r2≤a.所以
b
ata
b 。又函数 f(x)=x+
x
1 在
1,2
2
a
b 上单调递减,在
2
2
,1
b
a
上单调递增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当
a
bt 或
b
a 时,|AB|取最大
值
3
32 。
例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2
3 ,若圆 C: 22 )2
3(yx 1
上点与这椭圆上点的最大距离为 71 ,试求这个椭圆的方程。
[解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为
2
3,0 ,半径|CA|=1,因为
|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值
71 ,所以|BC|最大值为 .7
因为
2
3e ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t, t3 ,t,椭圆方程为
1
4 2
2
2
2
t
y
t
x , 并 设 点 B 坐 标 为 B(2tcos θ ,tsin θ ) , 则 |BC|2=(2tcos
θ)2+
2
2
3sin
t =3t2sin2θ-3tsinθ+
4
9 +4t2=-3(tsinθ+
2
1 )2+3+4t2.
若
2
1t ,则当 sinθ=-1 时,|BC|2 取最大值 t2+3t+ 74
9 ,与题设不符。
若 t>
2
1 ,则当 sinθ=
t2
1 时,|BC|2 取最大值 3+4t2,由 3+4t2=7 得 t=1.
所以椭圆方程为 14
2
2
yx 。
5.直线与二次曲线。
例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。
[解] 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点的条
件 是 存 在 一 对 点 P(x1,y1) , 'P (-y1,-x1) , 满 足 y1=a 12
1 x 且 -x1=a(-y1)2-1 , 相 减 得
x1+y1=a( 2
1
2
1 yx ),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+ .1
a
所以 .011
1
2
1
ayay 此方程有不等实根,所以 0)11(41
aa ,求得
4
3a ,
即为所求。
例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 14
2
2
yx 相交,(1)求 b 的范围;(2)当截得弦长最大时,
求 b 的值。
[解 ] 二方 程联立 得 17x2+16bx+4(b2-1)=0.由 Δ>0,得 17 h.
[证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h,AC 与 BD 间的距离为 d,作 AF BD 于点 F,CN BD
于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面 ACE,所
以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在ΔAEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高
FG=d,作 EM AF 于 M,则由 EC//平面 ABD 知,EM 为点 C 到面 ABD 的距离(因 EM 面 ABD),
于是 EM≥AH=h。在 RtΔEMF 与 RtΔAHF 中,由 EM≥AH 得 EF≥AF。又因为ΔAEH∽ΔFEG,所
以
EF
EFAF
EF
AE
FG
AH
d
h ≤2。所以 2d>h.
注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法,请读
者在解题中认真总结。
第十三章 排列组合与概率
一、基础知识
1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中
有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2
种不同的方法,……,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn
种不同的方法。
3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所
有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 m
nA 表示, m
nA =n(n-1)…
(n-m+1)=
)!(
!
mn
n
,其中 m,n∈N,m≤n,
注:一般地 0
nA =1,0!=1, n
nA =n!。
4.N 个不同元素的圆周排列数为
n
An
n =(n-1)!。
5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n
个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集
合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同
元素中取出 m 个元素的组合数,用 m
nC 表示:
.)!(!
!
!
)1()1(
mnm
n
m
mnnnC m
n
6.组合数的基本性质:(1) mn
n
m
n CC ;(2) 1
1
n
n
m
n
m
n CCC ;(3) k
n
k
n CCk
n
1
1 ;(4)
n
n
k
k
n
n
nnn CCCC 2
0
10
;( 5 ) 1
11
k
mk
k
mk
k
k
k
k CCCC ;( 6 )
kn
mn
m
k
k
n CCC
。
7.定理 1:不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解的个数为 1
1
n
rC 。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+…+xn=r
的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装
法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,…,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中
球的个数,i=1,2,…,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球
从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 1
1
n
rC 种。
故定理得证。
推论 1 不定方程 x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数为 .1
r
rnC
推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组
合,其组合数为 .1
m
mnC
8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b)n= nn
n
rrnr
n
n
n
n
n
n
n bCbaCbaCbaCaC 222110 .
其中第 r+1 项 Tr+1= r
n
rrnr
n CbaC , 叫二项式系数。
9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同
一试验时,事件 A 发生的频率
n
m 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件
A 发生的概率,记作 p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结
果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= .n
m
11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1,
A2,…,An 彼此互斥,那么 A1,A2,…,An 中至少有一个发生的概率为
p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立
事件为 A 。由定义知 p(A)+p( A )=1.
13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的
两个事件叫做相互独立事件。
14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生
的概率的积。即 p(A•B)=p(A)•p(B).若事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发
生的概率为 p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).
15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,
则称这 n 次试验是独立的.
16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试
验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= k
nC •pk(1-p)n-k.
17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变
量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量,ξ可以取的值有
0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值 xi(i=1,2,…)的概
率 p(ξ=xi)=pi,则称表
ξ x1 x2 x3 … xi …
p p1 p2 p3 … pi …
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列,称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或
平均值、均值、简称期望,称 Dξ=(x1-Eξ)2•p1+(x2-Eξ)2•p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方
差,简称方差。 D 叫随机变量ξ的标准差。
18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,这
个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ=k)= knkk
n qpC , ξ的分布列为
ξ 0 1 … xi … N
p n
n qpC 00 111 n
n qpC … knkk
n qpC … nn
n pC
此时称ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p).若ξ~B(n,p),则 Eξ=np,Dξ=npq,以上 q=1-p.
19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变
量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…),ξ的分布服从几
何分布,Eξ=
p
1 ,Dξ= 2p
q (q=1-p).
二、方法与例题
1.乘法原理。
例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方
式?
[解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有 2n-1 种选则;
这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选
择,……这样一直进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1= .)!(2
)!2(
n
n
n
2.加法原理。
例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?
[解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)有 2 个电阻断路,有
2
4C -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 3
4C =4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一共
有 1+5+4+1=11 种可能。
3.插空法。
例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种
不同的安排节目演出顺序的方式?
[解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 6
6A 种排法,再从演唱节目之间和前后一共 7 个位
置中选出 4 个安排舞蹈有 4
7A 种方法,故共有 4
7
6
6 AA =604800 种方式。
4.映射法。
例 4 如果从 1,2,…,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足:a2-a1≥3,a3-a2
≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种?
[解] 设 S={1,2,…,14}, 'S ={1,2,…,10};T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2
≥ 3}, 'T ={( '
3
'
2
'
1 ,, aaa ) ∈ '
3
'
2
'
1
'
3
'
2
'
1 ,',,|' aaaSaaaS }, 若 '),,( '
3
'
2
'
1 Taaa , 令
4,2, '
33
'
22
'
11 aaaaaa ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 'T 到 T 的映射,它显
然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令 4,2, '
33
'
22
'
11 aaaaaa ,则 '),,( '
3
'
2
'
1 Taaa ,
从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|= 3
10|'| CT =120,所以不同取法有 120 种。
5.贡献法。
例 5 已知集合 A={1,2,3,…,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。
[解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 29 个,所以 a 对 x 的贡献
为 29,又|A|=10。所以 x=10×29.
[另解] A 的 k 元子集共有 kC10 个,k=1,2,…,10,因此,A 的子集的元素个数之和为
)(10102 9
9
1
9
0
9
10
10
2
10
1
10 CCCCCC 10×29。
6.容斥原理。
例 6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次,
问:这样的 n 位数有多少个?
[解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3n,用 A1,A2,A3 分别表示不含 1,
不 含 2 , 不 含 3 的 由 1 , 2 , 3 组 成 的 n 位 数 的 集 合 , 则 |A1|=|A2|=|A3|=2n ,
|A1 A2|=|A2 A3|=|A1 A3|=1。|A1 A2 A3|=0。
所以由容斥原理|A1 A2 A3|= |||||| 321
3
1
AAAAAA
ji
ji
i
i
=3×2n-3.所以满
足条件的 n 位数有|I|-|A1 A2 A3|=3n-3×2n+3 个。
7.递推方法。
例 7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中,问:
能构造出多少个这样的 n 位数?
[解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n≥3 时:
1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第一个
数字是 1,那么第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里
数列{an}的特征方程为 x2=2x+2,它的两根为 x1=1+ 3 ,x2=1- 3 ,故 an=c1(1+ 3 )n+
c2(1+ 3 )n, 由 a1=3,a2=8 得
32
23,
32
32
21
cc , 所 以
].)31()31[(
34
1 22 nn
na
8.算两次。
例 8 m,n,r∈N+,证明: .022110
m
r
n
r
mn
r
mn
r
mn
r CCCCCCCCC mn
①
[证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 r
mnC 种;另一方面,从这 n+m 人中选
出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 kr
m
k
n CC 种,k=0,1,…,r。所以从这 n+m 人中选出 r 位的
方法有 0110
m
r
n
r
mn
r
mn CCCCCC 种。综合两个方面,即得①式。
9.母函数。
例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,…,10,另有大、小王各
一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的牌计
为 2k 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。
[解] 对于 n∈{1,2,…,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目,则 an 等于函数
f(x)=(1+ 02x )2•(1+ 12x )3•••• …•(1+ 102x )3 的展开式中 xn 的系数(约定|x|<1),由于
f(x)=
x1
1 [ (1+ 02x )(1+ 12x )• … •(1+ 102x )]3= )1()1)(1(
1 112
3 xxx
3
= )1()1)(1(
1 112
22 xxx
3。
而 0 ≤ 2004<211 , 所 以 an 等 于 22 )1)(1(
1
xx
的 展 开 式 中 xn 的 系 数 , 又 由 于
22 )1)(1(
1
xx
= 21
1
x • 2)1(
1
x
=(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以
x2k 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而,所求的“好牌”组的个
数为 a2004=10032=1006009.
10.组合数 k
nC 的性质。
例 10 证明: k
mC 12 是奇数(k≥1).
[ 证 明 ] k
mC 12 =
k
k
k
k mmmmmm 2
2
22
1
12
21
)112()22)(12(
令
i= it2 •pi(1≤i≤k),pi 为奇数,则
i
i
tm
i
t
i
tm
p
p
p
pm
i
i i
i
i 2
2
222 ,它的分子、分母均
为奇数,因 k
mC 12 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。
例 11 对 n≥2,证明: .42 2
nn
n
n C
[证明] 1)当 n=2 时,22< 2
4C =6<42;2)假设 n=k 时,有 2k< k
kC2 <4k,当 n=k+1 时,因为
.1
)12(2
!)!1(
)!12(2
)!1()!1(
)]!1(2[
2
1
)1(2
k
k
k
k Ck
k
kk
k
kk
kC
又
1
)12(22
k
k <4,所以 2k+1< 1
2
1
)1(22 442
kk
k
k
k
k
k CCC .
所以结论对一切 n≥2 成立。
11.二项式定理的应用。
例 12 若 n∈N, n≥2,求证: .3112
n
n
[ 证 明 ] 首 先 ,211111 2
210
n
n
nnnn
n
nCnCnCCn 其 次 因 为
)2(1
1
1
)1(
1
!
1
!
)1()1(1
kkkkkkkn
knnn
n
C kk
k
n
, 所 以
n
n
11
2+ .3131
1
1
3
1
2
1
2
1
1
1211
2
2
nnnnCnC n
n
nn 得证。
例 13 证明: ).(1
1
0
nmhCCC m
n
h
k
n
k
hm
kn
[证明] 首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中 hm
knC
是
(1+x)n-k 的展开式中 xm-h 的系数。 h
kC 是(1+y)k 的展开式中 yk 的系数。从而 hm
knC
• h
kC 就是
(1+x)n-k•(1+y)k 的展开式中 xm-hyh 的系数。
于是, h
k
n
k
hm
kn CC
0
就是
n
k
kkn yx
0
)1()1( 展开式中 xm-hyh 的系数。
另 一 方 面 ,
n
k
kkn yx
0
)1()1( =
yx
yCxC
yx
yx
n
k
kk
n
n
k
kk
nnn
1
0
1
1
0
111
)1()1(
)1()1( =
1
0
1
n
k
kk
n xC •
yx
yx kk
=
1
0
1
n
k
k
nC (xk-1+xk-2y+…+yk-1),上式中,xm-hyh 项的系数恰为 1
1
m
nC 。
所以 .1
1
0
m
n
n
k
h
k
hm
kn CCC
12.概率问题的解法。
例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品,采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品,
问:恰好有 k 件是次品的概率是多少?
[解] 把 k 件产品进行编号,有放回抽 n 次,把可能的重复排列作为基本事件,总数为(a+b)n
(即所有的可能结果)。设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品,则事件 A 所包
含的基本事件总数为 k
nC •akbn-k,故所求的概率为 p(A)= .
)( n
knkk
n
ba
baC
例 15 将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而且与正面朝上恰好两次的概
率相同,求恰好三次正面朝上的概率。
[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p,则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为
kk pC5 (1-p)5-k(k=0,1,2,…,5),由题设 41
5
322
5 )1()1( ppCppC ,且 0m 且 n∈N
时,恒有|un-A|<ε成立(A 为常数),则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为
)(lim),(lim xfxf xx
,另外 )(lim
0
xf
xx
=A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右
极限。类似地 )(lim
0
xf
xx
表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。
2.极限的四则运算:如果
0
lim
xx
f(x)=a,
0
lim
xx
g(x)=b,那么
0
lim
xx
[f(x)±g(x)]=a±b,
0
lim
xx
[f(x)•g(x)]=ab,
0
lim
xx
).0()(
)( bb
a
xg
xf
3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且
0
lim
xx
f(x)存在,并且
0
lim
xx
f(x)=f(x0),则称 f(x)
在 x=x0 处连续。
4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值
和最小值。
5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δx 时(Δx 充分
小),因变量 y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若
x
y
x
0
lim 存在,则称 f(x)在 x0
处可导,此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数(或变化率),记作 'f (x0)或 0' xxy 或
0xdx
dy ,
即
0
0
0
)()(lim)('
0 xx
xfxfxf
xx
。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。
若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:
f(x)在点 x0 处导数 'f (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6.几个常用函数的导数:(1) )'(c =0(c 为常数);(2) 1)'( a
a axx (a 为任意常数);(3)
;cos)'(sin xx (4) xx sin)'(cos ;(5) aaa xx ln)'( ;(6) xx ee )'( ; ( 7 )
)'(log xa xx alog1 ;(8) .1)'(ln xx
7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则
( 1 ) )(')(')]'()([ xvxuxvxu ;( 2 ) )(')()()(')]'()([ xvxuxvxuxvxu ;( 3 )
)(')]'([ xucxcu (c 为常数);(4)
)(
)(']')(
1[ 2 xu
xu
xu
;(5)
)(
)()(')(')(]')(
)([ 2 xu
xvxuxvxu
xu
xu 。
8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= (x),已知 (x)在 x 处可导,f(u)在对应的点
u(u= (x))处可导,则复合函数 y=f[ (x)]在点 x 处可导,且(f[ (x)])'= )(')]([' xxf .
9.导数与函数的性质:(1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续;(2)若对一切 x
∈(a,b)有 0)(' xf ,则 f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切 x∈(a,b)有 0)(' xf ,则
f(x)在(a,b)单调递减。
10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 .0)(' 0 xf
11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,(1)若当
x∈(x-δ,x0)时 0)(' xf ,当 x∈(x0,x0+δ)时 0)(' xf ,则 f(x)在 x0 处取得极小值;(2)
若当 x∈(x0-δ,x0)时 0)(' xf ,当 x∈(x0,x0+δ)时 0)(' xf ,则 f(x)在 x0 处取得极大
值。
12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在 x=x0 处二阶
可导,且 0)('',0)(' 00 xfxf 。(1)若 0)('' 0 xf ,则 f(x)在 x0 处取得极小值;(2)
若 0)('' 0 xf ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。
13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ
∈(a,b),使 .0)(' f
[证明] 若当 x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意 x∈(a,b), 0)(' xf .若当 x∈(a,b)时,
f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个
不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 0)(' cf ,
综上得证。
14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ∈(a,b),使
.)()()(' ab
afbff
[证明] 令 F(x)=f(x)- )()()( axab
afbf
,则 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且
F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ∈(a,b)使 )(' F =0,即 .)()()(' ab
afbff
15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数,(1)如果对任意 x∈
I, 0)('' xf ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的;(2)如果对任意 x∈I, 0)('' xf ,则 y=f(x)
在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。
16.琴生不等式:设α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。(1)若 f(x)是[a,b]上的凸函数,
则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法与例题
1.极限的求法。
例 1 求 下 列 极 限:( 1 )
222
21lim n
n
nnn ;( 2 ) )0(
1
lim
a
a
a
n
n
n
;( 3 )
nnnnn 222
1
2
1
1
1lim ;(4) ).1(lim nnnn
[解](1)
222
21lim n
n
nnn =
22
)1(lim n
nn
n 2
1
2
2
2
1lim
nn
;
(2)当 a>1 时, .1
11lim
1
11
1lim
1
lim
n
n
nnn
n
n
aa
a
a
当 00 且
2
1x )。
[解] (1) )'13()13cos(' xxy 3cos(3x+1).
(2) 2
22 )'()35()'35(' x
xxxxxxxxy
2
2 35
2
1310
x
xxxx
x
x
.
2
15 3x
(3) .2sin2)'2()2sin(2cos)'2(cos' 2cos2cos xexxxexey xx
(4)
1
11
1)'1(
1
1' 22
2
2 x
x
xx
xx
xx
y
.
1
1
2
x
(5) ))'21ln((]'[]')21[(' )21ln()21ln( xxeexy xxxxx
.21
2)21ln()21(
x
xxx x
5.用导数讨论函数的单调性。
例 6 设 a>0,求函数 f(x)= x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。
[解] )0(1
2
1)(' xaxx
xf ,因为 x>0,a>0,所以 0)(' xf x2+(2a-4)x+a2>0;
0)(' xf x2+(2a-4)x+a+<0.
(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 'f (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x2+(2a-4)x+a2>0,即 0)(' xf ,所以 f(x)在(0,1)内单调
递增,在(1,+∞)内递增,又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增;(3)当
00,解得 x<2-a- a12 或 x>2-a+ a12 ,因
此,f(x)在(0,2-a- a12 )内单调递增,在(2-a+ a12 ,+∞)内也单调递增,而当
2-a- a12 2x.
[ 证 明 ] 设 f(x)=sinx+tanx-2x , 则 )(' xf =cosx+sec2x-2 , 当 )2,0( x 时 ,
2
cos
2
cos
1cos2
cos
1cos 22
xx
x
x
x ( 因 为 0f(0)=0,即 sinx+tanx>2x.
7.利用导数讨论极值。
例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值,并指出这时 f(x)
在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。
[解] 因为 f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又 f(x)在 x1=1,x2=2 处取得极值,所以
0)2(')1(' ff ,又
x
axf )(' +2bx+1,所以
,0142
,012
ba
ba
解得
.6
1
,3
2
b
a
所以
x
xxxxxfxxxxf 3
)2)(1(13
1
3
2)(',6
1ln3
2)( 2 .
所以当 x∈(0,1)时, 0)(' xf ,所以 f(x)在(0,1]上递减;
当 x∈(1,2)时, 0)(' xf ,所以 f(x)在[1,2]上递增;
当 x∈(2,+∞)时, 0)(' xf ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。
综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。
例 9 设 x∈[0,π],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。
[解] 首先,当 x∈[0,π],y∈[0,1]时,
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x
x
x
y
y
xy
xy sin
)1(
12
)1(
)1sin(
2
=(1-y)2x
x
x
y
y
x
x
xy
xy sin
)1(
sin
)1(
)1sin(
2
2
,令 g(x)=
x
xsin ,
),2()tan(cos)(' 2
xx
xxxxg
当
2,0 x 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 0)(' xg ;
当
,2x 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 0)(' xg ;
又因为 g(x)在(0,π)上连续,所以 g(x)在(0,π)上单调递减。
又因为 0<(1-y)xg(x),即 0sin
)1(
)1sin(
x
x
xy
xy ,
又因为 0sin
)1( 2
2
x
x
y
y ,所以当 x∈(0,π),y∈(0,1)时,f(x,y)>0.
其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx≥0.
综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。
第十五章 复数
一、基础知识
1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除
等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通
常用 C 来表示。
2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈R),a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z).
z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那
么 z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合
之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,
y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又
对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外
设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则 a=rcosθ,b=rsin
θ,所以 z=r(cosθ+isinθ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ+isinθ),则θ称为 z
的辐角。若 0≤θ<2π,则θ称为 z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为 z 的模,也记作|z|,
由勾股定理知|z|= 22 ba .如果用 eiθ表示 cosθ+isinθ,则 z=reiθ,称为复数的指数形
式。
3.共轭与模,若 z=a+bi,(a,b∈R),则 z a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有:
(1) 2121 zzzz ;(2) 2121 zzzz ;(3) 2|| zzz ;(4)
2
1
2
1
z
z
z
z
;(5)
|||||| 2121 zzzz ;(6)
||
||||
2
1
2
1
z
z
z
z ;(7)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(8)
|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2;(9)若|z|=1,则
zz 1 。
4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运
算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形
和三角形法则;(3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2),则
z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若
2
1
2
1
2 ,0
r
r
z
zz [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],
用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ1+θ2), .)(
2
1
2
1 21 ie
r
r
z
z
5.棣莫弗定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6. 开 方 : 若 nw r(cos θ +isin θ ) , 则 )2sin2(cos n
kin
krw n ,
k=0,1,2,…,n-1。
7.单位根:若 wn=1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1=
nin
2sin2cos ,
则全部单位根可表示为 1, 1Z , 1
1
2
1 ,, nZZ .单位根的基本性质有(这里记 k
k ZZ 1 ,
k=1,2,…,n-1):(1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr;(2)对任意整
数 m,当 n≥2 时,有 m
n
mm ZZZ 1211 =
,|,
,|,0
mnn
mn
当
当
特别 1+Z1+Z2+…+Zn-1=0;(3)
xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- 2
1Z )…(x- 1
1
nZ ).
8.复数相等的充要条件:(1)两个复数实部和虚部分别对应相等;(2)两个复数的模和辐角
主值分别相等。
9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0).
10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。
11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)
是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。
12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0,当Δ=b2-4ac<0 时方程的根为
.22,1 a
ibx
二、方法与例题
1.模的应用。
例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有纯虚根。
[证明] 若 z 是方程的根,则(z+1)2n=-(z-1)2n,所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,
即(z+1)( z +1)=(z-1)( z -1),化简得 z+ z =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。
例 2 设 f(z)=z2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。
[解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|
≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。
所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。
所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0.
2.复数相等。
例 3 设λ∈R,若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0 有两个虚根,求λ满足的充要条件。
[解] 若方程有实根,则方程组
0
01
2
2
xx
xx 有实根,由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ
=-1,则方程 x2-x+1=0 中Δ<0 无实根,所以λ≠-1。所以 x=-1, λ=2.所以当λ≠2 时,方
程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。
3.三角形式的应用。
例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有
多少个?
[解] 由题设得
)2sin()2cos()2sin()2(cos)]2sin()2[cos( ninini n
,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。
4.二项式定理的应用。
例 5 计算:(1) 100
100
4
100
2
100
0
100 CCCC ;(2) 99
100
5
100
3
100
1
100 CCCC
[ 解 ] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250, 由 二 项 式 定 理 (1+i)100=
100100
100
9999
100
22
100
1
100
0
100 iCiCiCiCC = 100
100
4
100
2
100
0
100( CCCC )+(
99
100
5
100
3
100
1
100 CCCC )i,比较实部和虚部,得 100
100
4
100
2
100
0
100 CCCC =-250,
99
100
5
100
3
100
1
100 CCCC =0。
5.复数乘法的几何意义。
例 6 以定长线段 BC 为一边任作ΔABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰
直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证:MN 的中点为定点。
[证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐标系,确定复平面,则 B,
C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, azBAazCA 11 , ,由复数
乘法的几何意义得: )( 13 aziazCN ,① )( 12 aziazBM ,②由①+
②得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN 的中点为 P,对应的复数 z= aizz
2
32 ,为定值,
所以 MN 的中点 P 为定点。
例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB•AD+BC•AD≥AC•BD。
[证明] 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因
为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所 以 |A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D| ≥ |A-C|•|B-D|, “ = ” 成 立 当 且 仅 当
)()( DC
CBArgAD
ABArg
,即 )()( CD
CBArgAB
ADArg
=π,即 A,B,C,D 共圆时
成立。不等式得证。
6.复数与轨迹。
例 8 ΔABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心
轨迹。
[解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M
是三边垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方
程为|z-b|=|z-b-2|,所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得
).3
4(62 yx
所以ΔABC 的外心轨迹是轨物线。
7.复数与三角。
例 9 已知 cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0,求证:cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[证明] 令 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ,则
z1+z2+z3=0。所以 .0321321 zzzzzz 又因为|zi|=1,i=1,2,3.
所以 zi• iz =1,即 .1
i
i zz
由 z1+z2+z3=0 得 .0222 133221
2
3
2
2
2
1 zzzzzzxxx ①
又 .0)(111
321321
321
321132321
zzzzzz
zzz
zzzzzzzzz
所以 .02
3
2
2
2
1 zzz
所以 cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以 cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例 10 求和:S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[ 解 ] 令 w=cos200+isin200, 则 w18=1 , 令 P=sin200+2sin400+ … +18sin18 × 200, 则
S+iP=w+2w2+ … +18w18. ① 由 ① × w 得 w(S+iP)=w2+2w3+ … +17w18+18w19 , ② 由 ① - ② 得
(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19= 19
18
181
)1( ww
ww
,所以 S+iP=
iw
w
2
3
2
191
18 ,
所以 .2
9S
8.复数与多项式。
例 11 已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0).
求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[证明] 记 c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0),则方程 g(Z)-c0eiθ=0 为 n 次方
程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,…,zn,从而 g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)•…•(z-zn)c0,令 z=0
得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0,取模得|z1z2…zn|=1。所以 z1,z2,…,zn 中必有一个 zi 使得|zi|≤1,
从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn,所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.单位根的应用。
例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2…An 各个顶点的距离的平方和为定值。
[证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,顶点 A1 对应复
数设为 i
ne
2
,则顶点A2A3…An对应复数分别为ε2,ε3,…,εn.设点p 对应复数z,则|z|=1,
且=2n-
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
n
k
k zzzzzpA
111
2
1
2 )2())((||||
=2n- .22
1111
nzznzz
n
k
k
n
k
k
n
k
kn
k
k
命题得证。
10.复数与几何。
例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以 P 为直角
顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以 Q 为直角顶点
的等腰直角三角形。
[证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的复数,由题设及
复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA;取
i
iBCQ
1
,则 C-Q=i(B-Q),则ΔBCQ 为等腰直角
三角形;又由 C-Q=i(B-Q)得 )( Qi
AiQi
D ,即 A-Q=i(D-Q),所以ΔADQ 也为等腰直角
三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。
例 14 平面上给定ΔA1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,…,使得 pk+1 为绕中
心 Ak+1 顺时针旋转 1200 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,…,若 p1986=p0.证明:ΔA1A2A3 为等边三
角形。
[证明] 令 u= 3
i
e ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则
p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
① × u2+ ② × (-u) 得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为 与 p0 无 关 的 常 数 。 同 理 得
p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)
u,这说明ΔA1A2A3 为正三角形。
第十六章 平面几何
一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成)
梅涅劳斯定理 设 ',',' CBA 分别是ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 ',',' CBA
三点共线,则 .1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 .1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA 则 ',',' CBA 三点共线。
塞瓦定理 设 ',',' CBA 分别是ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 ',',' CCBBAA
三线平行或共点,则 .1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
塞瓦定理的逆定理 设 ',',' CBA 分别是ΔABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若
.1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA 则 ',',' CCBBAA 三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 ',',' CBA 分别是ΔABC 的三边 BC,CA,AB 所在直线上的点,则
',',' CCBBAA 平行或共点的充要条件是 .1'sin
'sin
'sin
'sin
'sin
'sin
BAB
CBB
CBC
ACC
ACA
BAA
广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB•CD+BC•AD≥AC•BD,当且仅当 A,B,C,D
四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设 P 为ΔABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有
AP2=AB2•
BC
PC +AC2•
BC
BP -BP•PC.
西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接
圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九
点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为
一条直线,这条直线称根轴)
欧拉定理 ΔABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 .2
1 GHOG
二、方法与例题
1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点
重合。
例 1 在ΔABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P,Q 为ΔABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=100,∠
PBQ=∠PCB=200,求证:A,P,Q 三点共线。
[证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1,直线 BP 交 AQ 于 P2,因为∠ACP=∠PCQ=100,所以
CQ
AC
QP
AP
1
,
①在ΔABP,ΔBPQ,ΔABC 中由正弦定理有
2
2
2 sinsin ABP
AP
BAP
AB
,②
QBP
BQQP
2
0
2
sin20sin
,③ .70sin30sin 00
ACAB ④
由②,③,④得
2
2
1
1
QP
AP
QP
AP 。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1,P2 重合,又 BP 与 CP
仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A,P,Q 共线。
2.面积法。
例 2 见图 16-1,◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证:
AP 为∠BPD 的平分线。
[证明] 设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则
,2
1,2
1
21 hDFShBES ADFABE
又因为
2
1ABES S◇ABCD=SΔADF,又 BE=DF。
所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。
3.几何变换。
例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦,
CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。
[证明] 由题设 OM AB。不妨设 BDAF 。作 D 关于直线 OM 的对称点 'D 。
连 结 FDDDMDPD ',',',' , 则 .'.' DMQPMDDMMD 要 证 PM=MQ , 只 需 证
MDQMPD ' ,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, 'D 共圆。
因为∠ 'PFD =1800- 'MDD =1800-∠ DMD' =1800-∠ 'PMD 。(因为 'DD OM。AB// 'DD )
所以 F,P,M, 'D 四点共圆。所以Δ MPD' ≌ΔMDQ。所以 MP=MQ。
例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的
相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。
[证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝
两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将
半径延长分别交大圆于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为
A1,B1,C1,则ΔABC 与ΔA1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。
4.三角法。
例 5 设 AD,BE 与 CF 为ΔABC 的内角平分线,D,E,F 在ΔABC 的边上,如果∠EDF=900,
求∠BAC 的所有可能的值。
[解] 见图 16-3,记∠ADE=α,∠EDC=β,
由题设∠FDA=
2
-α,∠BDF=
2
-β,
由正弦定理:
C
DECE
A
DEAE
sinsin,
2sinsin
,
得
2sin
sin
sin
sin
A
C
CE
AE
,
又由角平分线定理有
BC
AB
EC
AE ,又
A
BC
C
AB
sinsin
,所以
A
C
A
C
sin
sin
2sin
sin
sin
sin
,
化简得
2cos2sin
sin A
,同理
2cos2sin
sin A
ADF
BDF
,即 .2cos2cos
cos A
所以
cos
cos
sin
sin ,所以 sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.
又-π<β-α<π,所以β=α。所以
2
1
2cos A ,所以 A=
3
2 π。
5.向量法。
例 6 设 P 是ΔABC 所在平面上的一点,G 是ΔABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG.
[证明] 因为
GCGBGAPGGCPGGBPGGAPGPCPBPA 3 ,又 G 为Δ
ABC 重心,所以 .0 GCGBGA
(事实上设 AG 交 BC 于 E,则 GCGBGEAG 2 ,所以 0 GCGBGA )
所以 PGPCPBPA 3 ,所以 .||3|||||||| PGPCPBPAPCPBPA
又因为 PCPBPA ,, 不全共线,上式“=”不能成立,所以 PA+PB+PC>3PG。
6.解析法。
例 7 H 是ΔABC 的垂心,P 是任意一点,HL PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM PB,交 PB
于 M,交 CA 于 Y,HN PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z,求证:X,Y,Z 三点共线。
[解] 以 H 为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系,
用(xk,yk)表示点 k 对应的坐标,则直线 PA 的斜率为
AP
AP
xx
yy
,直线 HL 斜率为
PA
AP
yy
xx
,
直线 HL 的方程为 x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.
又直线 HA 的斜率为
A
A
x
y ,所以直线 BC 的斜率为
A
A
y
x ,直线 BC 的方程为 xxA+yyA=xAxB+yAyB,
②又点 C 在直线 BC 上,所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.
同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.
又因为 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满足①式和②式,所以点 X 坐标满足
xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点 Y 坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点 Z 坐标满足 xxP+yyP=xCxA+yCyA.
由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X,Y,Z 三点共线。
7.四点共圆。
例 8 见图 16-5,直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB 为圆的两条切线,A,B
为切点,求证:直线 AB 过定点。
[证明] 过 O 作 OC l 于 C,连结 OA,OB,BC,OP,设 OP 交 AB 于 M,则 OP AB,又因为
OA PA,OB PB,OC PC。
所以 A,B,C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O,A,P,C,B 五点共圆。
AB 与 OC 是此圆两条相交弦,设交点为 Q,
又因为 OP AB,OC CP,
所以 P,M,Q,C 四点共圆,所以 OM•OP=OQ•OC。
由射影定理 OA2=OM•OP,所以 OA2=OQ•OC,所以 OQ=
OC
OA2
(定值)。
所以 Q 为定点,即直线 AB 过定点。
第十七章 整数问题
一、常用定义定理
1.整除:设 a,b∈Z,a≠0,如果存在 q∈Z 使得 b=aq,那么称 b 可被 a 整除,记作 a|b,且
称 b 是 a 的倍数,a 是 b 的约数。b 不能被 a 整除,记作 a b.
2.带余数除法:设 a,b 是两个给定的整数,a≠0,那么,一定存在唯一一对整数 q 与 r,满
足 b=aq+r,0≤r<|a|,当 r=0 时 a|b。
3.辗转相除法:设 u0,u1 是给定的两个整数,u1≠0,u1 u0,由 2 可得下面 k+1 个等式:
u0=q0u1+u2,01 且 n 为整数,则 ka
k
aa pppn 21
21 ,其中 pj(j=1,2,…,k)是质数
(或称素数),且在不计次序的意义下,表示是唯一的。
6.同余:设 m≠0,若 m|(a-b),即 a-b=km,则称 a 与 b 模同 m 同余,记为 a≡b(modm),也
称 b 是 a 对模 m 的剩余。
7.完全剩余系:一组数 y1,y2,…,ys 满足:对任意整数 a 有且仅有一个 yj 是 a 对模 m 的剩余,
即 a≡yj(modm),则 y1,y2,…,ys 称为模 m 的完全剩余系。
8.Fermat 小定理:若 p 为素数,p>a,(a,p)=1,则 ap-1≡1(modp),且对任意整数 a,有 ap≡
a(modp).
9.若(a,m)=1,则 )(ma ≡1(modm), (m)称欧拉函数。
10.(欧拉函数值的计算公式)若 ka
k
aa pppm 21
21 ,则 (m)= .)11(
1
k
i ip
m
11.(孙子定理)设 m1,m2,…,mk 是 k 个两两互质的正整数,则同余组:
x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解,
x≡ '
1M M1b1+ '
2M M2b2+…+ '
kM Mkbk(modM),
其中 M=m1m2mk; iM =
im
M ,i=1,2,…,k; ii MM ' ≡1(modmi),i=1,2,…,k.
二、方法与例题
1.奇偶分析法。
例 1 有 n 个整数,它们的和为 0,乘积为 n,(n>1),求证:4|n。
[证明] 设这 n 个整数为 a1,a2,…,an,则 a1,a2,…,an=n, ①
a1+a2+…+an=0。 ②
首先 n 为偶数,否则 a1,a2,…,an 均为奇数,奇数个奇数的和应为奇数且不为 0,与②矛盾,
所以 n 为偶数。所以 a1,a2,…,an 中必有偶数,如果 a1,a2,…,an 中仅有一个偶数,则 a1,a2,…,an
中还有奇数个奇数,从而 a1+a2+…+an 也为奇数与②矛盾,所以 a1,a2,…,an 中必有至少 2 个
偶数。所以 4|n.
2.不等分析法。
例 2 试求所有的正整数 n,使方程 x3+y3+z3=nx2y2z2 有正整数解。
解 设 x,y,z 为其正整数解,不妨设 x≤y≤z,则由题设 z2|(x3+y3),所以 z2≤x3+y3,但 x3
≤xz2,y3≤yz2,因而 z=nx2y2- 2
33
z
yx ≥nx2y2-(x+y),故 x3+y3≥z2≥[nx2y2-(x+y)]2,所以 n2x4y4
≤ 2nx2y2(x+y)+x3+y3 , 所 以 nxy< 33
11112
nynxyx
。 若 x ≥ 2 , 则 4 ≤
nxy< 33
11112
nynxyx
≤3,矛盾。所以 x=1,所以 ny< 3
1122 nyny
,此式当且
仅当 y≤3 时成立。又 z2|(x3+y3),即 z2|(1+y3),所以只有 y=1,z=1 或 y=2,z=3,代入原方程
得 n=1 或 3。
3.无穷递降法。
例 3 确定并证明方程 a2+b2+c2=a2b2 的所有整数解。
解 首先(a,b,c)=(0,0,0)是方程的整数解,下证该方程只有这一组整数解。假设(a1,b1,c1)
是方程的另一组整数解,且 a1,b1,c1 不全为 0,不妨设 a1≥0,b1≥0,c1≥0 且 02
1
2
1
2
1 cba ,
由 2
1
2
1 ba ≡1 或 0(mod4)知 a1,b1,c1 都是偶数(否则 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 bacba (mod4)),从而
)2,2,2( 111 cba 是 方程 x2+y2+z2=2x2y2 的一组整数解,且不全为 0,同理可知
2,2,2
111 cba 也都
是偶数 )
2
,
2
,
2
( 2
1
2
1
2
1 cba 为方程 x2+y2+z2=24x2y2 的解。这一过程可以无限进行下去,另一方面
a1,b1,c1 为有限的整数,必存在 k∈N,使 2k>a1,2k>b1,2k>c1,从而 kkk
cba
2
,
2
,
2
111 不是整数,矛盾。
所以该方程仅有一组整数解(0,0,0).
4.特殊模法。
例 4 证明:存在无穷多个正整数,它们不能表示成少于 10 个奇数的平方和。
[证明] 考虑形如 n=72k+66,k∈N 的正整数,若 22
2
2
1 sxxxn ,其中 xi 为奇数,
i=1,2,…,s 且 1≤s≤9。因为 n≡2(mod8),又 2
ix ≡1(mod8),所以只有 s=2.所以 2
2
2
1 xxn ,
又因为 2
ix ≡2 或 0(mod3),且 3|n,所以 3|x1 且 3|x2,所以 9|n。但 n=72k+66≡3(mod9),
矛盾。所以 n 不能表示成少于 10 个奇数的平方和,且这样的 n 有无穷多个。
5.最小数原理。
例 5 证明:方程 x4+y4=z2 没有正整数解。
[证明] 假设原方程有一组正整数解(x0,y0,z0),并且 z0 是所有正整数解 z 中最小的。因此,
2
0
22
0
22
0 )()( zyx ,则 2
0x a2-b2, 2
0y =2ab,z0=a2+b2,其中(a,b)=1,a,b 一奇一偶。假设 a
为偶数,b 为奇数,那么 00
2
0 zx (mod4),而 3222
0 bax (mod4),矛盾,所以 a
为奇数,b 为偶数。于是,由 222
0 abx 得 x0=p2-q2,b=2pq,a=p2+q2(这里(p,q)=1,p>q>0,p,q
为一奇一偶)。从而推得 )(42 222
0 qppqaby ,因为 p,q,p2+q2 两两互质,因此它们必
须都是某整数的平方,即 p=r2,q=s2,p2+q2=t2,从而 r4+s4=t2,即(r,s,t)也是原方程的解,
且有 t1,n>1,因为
1
133
mn
nm 是整数,所以
1
1
1
)1()1( 33333
mn
m
mn
nmnm 也是整
数,所以 m,n 是对称的,不妨设 m≥n,
ⅰ)若 m=n,则
1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
nn
n
nnn
n
n 为整数,所以 n=2,m=2.
ⅱ)若 m>n,因为 n3+1≡1(modn),mn-1≡-1(modn),所以
1
13
mn
n ≡-1(modn).
所以存在 k∈N,使 kn-1=
1
13
mn
n ,又 kn-1= ,1
1
1
1
1
1
2
3
2
3
nn
n
n
mn
n
所以(k-1)n<1+
1
1
n
,所以 k=1,所以 n=1=
1
13
mn
n ,所以 .1
211
12
nnn
nm
所以 n-1=1 或 2,所以(m,n)=(5,3)或(5,2).
同理当 m1983(个)。这是因为 T 中的 k 位数的个数相当于用 0,
1 这两个数在 k-1 个位置上可重复的全排列数(首位必须是 1),即 2k-1,k=1,2,…,11.
(2)T 中最大的整数是 1+3+32+…+310=88573<105。
(3)T 中任意三个数不组成等差排列的三个连续项。否则,设 x,y,z∈T,x+z=2y,则 2y 必
只含 0 和 2,从而 x 和 z 必定位位相同,进而 x=y=z,这显然是矛盾的。
第十八章 组合
1.抽屉原理。
例 1 设整数 n≥4,a1,a2,…,an 是区间(0,2n)内 n 个不同的整数,证明:存在集合{a1,a2,…,an}
的一个子集,它的所有元素之和能被 2n 整除。
[ 证 明 ] ( 1 ) 若 n {a1,a2, … ,an}, 则 n 个 不 同 的 数 属 于 n-1 个 集 合 {1,2n-1} ,
{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数 ai,aj(i≠j)属于同一集合,从而
ai+aj=2n 被 2n 整除;
(2)若 n∈{a1,a2,…,an},不妨设 an=n,从 a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取 3 个数 ai, aj, ak(ai,0)不被 n 整
除,考虑 n 个数 a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。
ⅰ)若这 n 个数中有一个被 n 整除,设此数等于 kn,若 k 为偶数,则结论成立;若 k 为奇数,
则加上 an=n 知结论成立。
ⅱ)若这 n 个数中没有一个被 n 整除,则它们除以 n 的余数只能取 1,2,…,n-1 这 n-1 个值,
由抽屉原理知其中必有两个数除以 n 的余数相同,它们之差被 n 整除,而 a2-a1 不被 n 整除,
故这个差必为 ai, aj, ak-1 中若干个数之和,同ⅰ)可知结论成立。
2.极端原理。
例 2 在 n×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数,并且在某一行和某一列的交叉
点处如果写有 0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于 n。证明:表中所有数之和不小
于 2
2
1 n 。
[证明] 计算各行的和、各列的和,这 2n 个和中必有最小的,不妨设第 m 行的和最小,记
和为 k,则该行中至少有 n-k 个 0,这 n-k 个 0 所在的各列的和都不小于 n-k,从而这 n-k 列
的数的总和不小于(n-k)2,其余各列的数的总和不小于 k2,从而表中所有数的总和不小于
(n-k)2+k2≥ .2
1
2
)( 2
2
nkkn
3.不变量原理。
俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略。
例 3 设正整数 n 是奇数,在黑板上写下数 1,2,…,2n,然后取其中任意两个数 a,b,擦
去这两个数,并写上|a-b|。证明:最后留下的是一个奇数。
[证明] 设 S 是黑板上所有数的和,开始时和数是 S=1+2+…+2n=n(2n+1),这是一个奇数,
因为|a-b|与 a+b 有相同的奇偶性,故整个变化过程中 S 的奇偶性不变,故最后结果为奇数。
例 4 数 a1, a2,…,an 中每一个是 1 或-1,并且有 S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 证明:4|n.
[证明] 如果把 a1, a2,…,an 中任意一个 ai 换成-ai,因为有 4 个循环相邻的项都改变符号,S
模 4 并不改变,开始时 S=0,即 S≡0,即 S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个 ai 都变成 1,
而始终有 S≡0(mod4),从而有 n≡0(mod4),所以 4|n。
4.构造法。
例 5 是否存在一个无穷正整数数列 a1,