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  • 2021-06-21 发布

2020年高中数学第二章推理与证明2

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‎2.1.1‎‎ 合情推理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.下列推理是归纳推理的是(  )‎ A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=‎2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆+=1的面积S=πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:由归纳推理的定义知B是归纳推理,故应选B.‎ 答案:B ‎2.数列{an}:2,5,11,20,x,47,…中的x等于(  )‎ A.28 B.32‎ C.33 D.27‎ 解析:因为5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测x-20=3×4,47-x=3×5,推知x=32.故应选B.‎ 答案:B ‎3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是(  )‎ A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析:由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为36÷5=7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色.‎ 答案:A ‎4.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),‎ 记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= (  )‎ A.f(x) B.-f(x)‎ C.g(x) D.-g(x)‎ 解析:本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,∴g(-x)=-g(x),选D.‎ 答案:D ‎5.n个连续自然数按规律排列如下表:‎ ‎01234567891011…‎ 6‎ 根据规律,从2 010到2 012箭头的方向依次为(  )‎ A.↓→ B.→↑‎ C.↑→ D.→↓‎ 解析:观察题图的规律知:位置相同的数字都是以4为公差的等差数列,由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→,故应选C.‎ 答案:C ‎6.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr①,‎ ‎①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.‎ 对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量②,‎ 请你写出类似于①的式子:___________________________________________,‎ ‎②式可以用语言叙述为:_______________________________________________.‎ 解析:半径为R的球的体积V(R)=πR3,表面积S(R)=4πR2,则(πR3)′=4πR2.‎ 答案:(πR3)′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ‎7.观察下列等式:‎ ‎12=1;‎ ‎12-22=-3;‎ ‎12-22+32=6;‎ ‎12-22+32-42=-10;‎ ‎……‎ 照此规律,第n个等式可为________.‎ 解析:观察等号左边的规律发现,左边的项数依次加1,故第n个等式左边有n项,每项所含的底数的绝对值也增加1,依次为1,2,3,…,n,指数都是2,符号成正负交替出现,可以用(-1)n+1表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和,故等式的右边可以表示为(-1)n+1·,∴第n个式子可为12-22+32-42+…+(-1)n+1·n2=(-1)n+1·(n∈N*).‎ 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(n∈N*)‎ ‎8.设函数f(x)=(x>0),‎ 观察:f1(x)=f(x)=,‎ 6‎ f2(x)=f(f1(x))=,‎ f3(x)=f(f2(x))=,‎ f4(x)=f(f3(x))=,‎ ‎……‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.‎ 解析:根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8, 16,…可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=.‎ 答案: ‎9.证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论,‎ ‎2cos=,‎ ‎2cos= ,‎ ‎2cos= ,‎ ‎……‎ 证明:2cos=2·=,‎ ‎2cos=2=2= ,‎ ‎2cos=2=2 ‎= ‎…‎ 观察上述等式可以发现,第n个等式右端有n个根号,n个2,左端“角”的分母为22,23,24,…,故第n个等式的左端应为2cos,由此可归纳出一般性的结论为:2cos=‎ ‎10.点P在圆C:x2+y2=1上,经过点P的圆的切线方程为x+y=1,‎ 6‎ 又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交,点R在圆C的内部.直线x+y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗?‎ 解析:点P(a,b)在⊙C:x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与⊙C相切;点P在⊙C内时,直线ax+by=r2与⊙C相离;点P在⊙C外部时,直线ax+by=r2与⊙C相交.容易证明此结论是正确的.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图),‎ 试求第七个三角形数是(  )‎ A.27 B.28‎ C.29 D.30‎ 解析:观察归纳可知第n个三角形数共有点数:1+2+3+4+…+n=个,∴第七个三角形数为=28.‎ 答案:B ‎2.设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为r,四面体PABC的体积为V,则r=(  )‎ A. B. C. D. 解析:将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4,将三角形面积公式中系数,类比到三棱锥体积公式中系数,从而可知选C.‎ 证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V.‎ ‎∴V=S1r+S2r+S3r+S4r,‎ ‎∴r=.‎ 6‎ 答案:C ‎3.(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据:‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是________.‎ 解析:三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.‎ 答案:F+V-E=2‎ ‎4.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式________.‎ 解析:观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开方数的和等于20,不等式的右边都是2,因此对正实数m,n都成立的条件不等式是:若m,n∈R+,则当m+n=20时,有+<2.‎ 答案:若m,n∈R+,则当m+n=20时,有+<2 ‎5.在△ABC中,不等式++≥成立,在四边形ABCD中,不等式+++≥成立,在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立,猜想在n边形A‎1A2…An中,有怎样的不等式成立?‎ 解析:根据已知特殊的数值:、、,…,总结归纳出一般性的规律:(n≥3).‎ ‎∴在n边形A‎1A2…An中:++…+≥(n≥3).‎ ‎6.如图,设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.‎ ‎(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.‎ ‎(2)若∠F1MF2=60°,‎ ‎△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?‎ ‎(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.‎ 解析:(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,‎ 6‎ 设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2).‎ 由双曲线定义,有r1-r2=‎2a=4,两边平方得r+r-2r1·r2=16,‎ 即|F‎1F2|2-4S△F1MF2=16,‎ 也即52-16=4S△F1MF2,求得S△F1MF2=9.‎ ‎(2)若∠F1MF2=60°,在△MF‎1F2中,由余弦定理得|F‎1F2|2=r+r-2r1r2cos 60°,‎ ‎|F‎1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,所以r1r2=36.‎ 求得S△F1MF2=r1r2sin 60°=9.‎ 同理可求得若∠F1MF2=120°,‎ S△F1MF2=3.‎ ‎(3)由以上结果猜想,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.‎ 证明如下:‎ 令∠F1MF2=θ,则S△F1MF2=r1·r2sin θ.‎ 由双曲线定义及余弦定理,有 ‎②-①得r1·r2=,‎ 所以S△F1MF2= ‎=,‎ 因为0<θ<π,0<<,‎ 在(0,)内,tan 是增函数.‎ 因此当θ增大时,S△F1MF2=将减小.‎ 6‎