2020版高中数学 模块精选综合测试2 新人教B版必修5 10页

模块精选综合测试(二)‎ ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.数列1,3,7,15，…的通项an可能是(　　)‎ A.2n B.2n＋1‎ C.2n－1 D.2n－1‎ ‎【解析】　取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.‎ ‎【答案】　C ‎2.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋‎2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)‎ A.(0,2) B.(－2,1)‎ C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－1,2)‎ ‎【解析】　∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，∴(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1.‎ ‎【答案】　B ‎3.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(　　)‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ‎【解析】　由题意得 由①＋②得a1＋an＝60，‎ ‎∴Sn＝＝＝390，∴n＝13.‎ ‎【答案】　A ‎4.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C.x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎【解析】　‎ 10‎ 选项 具体分析 结论 A lg≥lg＝lg x，当且仅当x2＝，即x＝时等号成立 不正确 B 当sin x<0时，不可能有sin x＋≥2‎ 不正确 C 由均值不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|‎ 正确 D 因为x2＋1≥1，所以≤1‎ 不正确 ‎【答案】　C ‎5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C.1 D. ‎【解析】　∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝.‎ ‎∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选 A.‎ ‎【答案】　A ‎6.等比数列{an}前n项的积为Tn，若a‎3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　)‎ A.T10 B.T13‎ C.T17 D.T25‎ ‎【解析】　由等比数列的性质得a‎3a6a18＝a‎6a10a11＝a‎8a9a10＝a，而T17＝a，故T17为常数.‎ ‎【答案】　C ‎7.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)‎ A.－3 B.1‎ C.－1 D.3‎ ‎【解析】　由题意：A＝{x|－11)的最小值是(　　)‎ A.2＋2 B.2－2‎ C.2 D.2‎ ‎【解析】　法一：∵x>1，‎ ‎∴x－1>0.‎ ‎∴y＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝x－1＋＋2‎ ‎≥2＋2.‎ 法二：设t＝x－1(t＞0)，‎ 则x＝t＋1，‎ ‎∴y＝＝ ‎＝t＋＋2‎ ‎≥2＋2，‎ 当且仅当t＝，即t＝，x＝－1时取等号.‎ ‎【答案】　A ‎12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)‎ A. B.－1‎ C.2 D.2－ ‎【解析】　由·＝，得accos B＝，‎ ‎∴2accos B＝1.‎ 又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，‎ ‎∴a2－b2＋c2＝1，∴tan B＝＝2－.‎ ‎【答案】　D 10‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 ‎2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______.‎ ‎【解析】　点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2).‎ 由题意知解得|b|；③a2；‎ ‎⑤a2>b2；⑥‎2a>2b.‎ 其中正确的不等式的序号为______.‎ ‎【解析】　∵<<0，‎ ‎∴b0，S13<0.‎ ‎(1)求公差d的取值范围；‎ ‎(2)问前几项的和最大，并说明理由.‎ ‎【解】　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，‎ ‎∵S12>0，S13<0，‎ ‎∴即 ‎∴－0，S13<0，‎ ‎∴ ‎∴∴a6>0，‎ 又由(1)知d<0.‎ ‎∴数列前6项为正，从第7项起为负.‎ ‎∴数列前6项和最大.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值.‎ ‎【解】　∵ ‎∴ ‎∵0≤α≤1,1≤β≤2，‎ 10‎ ‎∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.‎ ‎∴ 建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图所示.‎ 令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率.‎ 取B(－1,0)，C(－3,1)，则kAB＝，kAC＝，‎ ‎∴≤≤.‎ 故的最大值是，最小值是.‎ ‎19.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C＝0.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状.‎ ‎【解】　(1)∵(2b－c)cos A－acos C＝0，‎ 由余弦定理得(2b－c)·－a·＝0，‎ 整理得b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝，‎ ‎∵0<∠A<π，∴∠A＝.‎ ‎(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.‎ 当且仅当b＝c＝时取等号.‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A≤×3×＝.‎ 从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝.‎ ‎∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.‎ ‎【解】　(1)∵函数y＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立.‎ 10‎ ‎①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；‎ ‎②当a≠0时，则 解得0a，即0≤a<时，a0，a1＝1，a5＝3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【解】　(1)由a＝1，a＝9，得a－a＝4d，∴d＝2.‎ a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，‎ ‎∵an>0，∴an＝.‎ 数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)a＝(2n－1)，‎ 设Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，①‎ Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)· ，②‎ ‎①－②，得 Sn＝＋2－(2n－1)· 10‎ ‎＝＋2·－(2n－1)·，‎ 即Sn＝3－，‎ 即数列的前n项和为3－.‎ ‎22.(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛‎5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)‎ 图1‎ ‎【解】　轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，‎ 由此可见，BC＝4EB.‎ 设EB＝x，则BC＝4x，‎ 由已知得∠BAE＝30°，‎ 在△AEC中，由正弦定理得 ＝，‎ 即sin C＝＝＝，‎ 在△ABC中，由正弦定理得 ＝，‎ 即AB＝＝＝＝.‎ 在△ABE中，由余弦定理得 BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30°‎ ‎＝25＋－2×5××＝，‎ 10‎ 所以BE＝(千米).‎ 故轮船的速度为v＝÷＝(千米/时).‎ 10‎