2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-解答题 1 42页

第 1 课时　 轨迹与方程问题 考向一　直接法求轨迹方程 【例 1 】 (2019 · 全国卷 Ⅱ) 已知点 A(-2,0),B(2,0), 动点 M(x,y ) 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 - ① . 记 M 的轨迹为曲线 C. (1) 求 C 的方程 , 并说明 C 是什么曲线 . (2) 过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点 , 点 P 在第一象限 ,PE⊥x 轴 , 垂足为 E, 连结 QE 并延长交 C 于点 G. （ ⅰ ） 证明： △PQG 是直角三角形 ； ② （ ⅱ ） 求 △PQG 面积的最大值 . ③ 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 利用斜率之间的关系建立等量关系式 ② 想到斜率之积为 -1, 则两直线垂直 ③ 利用均值不等式或函数单调性求最值 【解析 】 (1) 由题设得 , 化简得 (|x|≠2), 所以 C 为中心在坐标原点 , 焦点在 x 轴上的椭圆 , 不含左 右顶点 . (2)(ⅰ) 设直线 PQ 的斜率为 k, 则其方程为 y=kx(k >0). 由 得 x=± . 记 u= , 则 P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线 QG 的斜率 为 , 方程为 y= (x-u ). 由 得 (2+k 2 )x 2 -2uk 2 x+k 2 u 2 -8=0.① 设 G(x G ,y G ), 则 -u 和 x G 是方程 ① 的解 , 故 x G = 由此得 y G = . 从而直线 PG 的斜率为 所以 PQ⊥PG, 即 △PQG 是直角三角形 . (ⅱ) 由 (ⅰ) 得 |PQ|=2u ,|PG|= 所以 △PQG 的面积 S= 设 t=k+ , 则由 k>0 得 t≥2, 当且仅当 k=1 时取等号 . 因为 S= 在 [2,+∞) 单调递减 , 所以当 t=2, 即 k=1 时 ,S 取得最大值 , 最大值为 . 因此 ,△PQG 面积的最大值为 . 【拓展提升 】 直接法求轨迹方程的一般步骤 (1) 建立恰当的直角坐标系 ; (2) 设出所求曲线上点的坐标 , 把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程 ; (3) 化简整理这个方程 , 检验并说明所求的方程就是曲线的方程 . 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程 , 要注意翻译的等价性 . 通常将步骤简记为 :“ 建系、设点、列式、化简” . 【变式训练 】 (2019 · 郑州一模 ) 已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 l : x=2 的距离之比为 , 设动点 P 的轨迹为曲线 E, 过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点 , 直线 l :y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点 , 与线段 AB 相交于一 点 .( 与 A,B 不重合 ) (1) 求曲线 E 的方程 . (2) 当直线 l 与圆 x 2 +y 2 =1 相切时 , 四边形 ACBD 的面积是否有最大值 , 若有 , 求出其最大值 , 及对应的直线 l 的方程 ; 若没有 , 请说明理由 . 【解析 】 (1) 设点 P(x,y ), 由题意可得 , 整理可得 : +y 2 =1. 故曲线 E 的方程是 +y 2 =1. (2) 设 C(x 1 ,y 1 ),D(x 2 ,y 2 ), 由已知可得 :|AB|= , 当 m=0 时 , 不合题意 . 当 m≠0 时 , 由直线 l 与圆 x 2 +y 2 =1 相切 , 可得 : =1, 即 m 2 +1=n 2 , 联立 消去 y 得 (m 2 + )x 2 +2mnx+n 2 -1=0. Δ=4m 2 n 2 -4 (n 2 -1)=2m 2 >0, x 1 = 所以 ,x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = , |AB||x 2 -x 1 |= 当且仅当 2|m|= , 即 m=± 时等号成立 , 此时 n=± . 经检验可知 , 直线 y= x- 和直线 y=- x+ 符合题意 . 直线 y= x+ 和直线 y=- x- 不与 AB 线段相交 , 故舍去 . 考向二　定义法求轨迹方程 【例 2 】 (1) 已知圆 C 1 ： (x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 和圆 C 2 ： (x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ， 动圆 M 同时与圆 C 1 及圆 C 2 相外切 ① ， 求 动圆圆心 M 的轨迹方程 ② ． (2) 如图，已知 △ABC 的两顶点坐标 A( － 1 ， 0) ， B(1,0) ， 圆 E 是 △ABC 的内切圆 ③ ，在边 AC ， BC ， AB 上的切点分别为 P ， Q ， R ， |CP| ＝ 1( 从圆外一点到圆的两条切线段长相等 ) ，动点 C 的轨迹为曲线 M. 求曲线 M 的方程． 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① 想到两圆相外切的条件 ② 想到利用圆锥曲线的定义求方程 ③ 想到利用相切的性质及椭圆的定义求解 【解析 】 (1) 如图所示 , 设动圆 M 与圆 C 1 及圆 C 2 分别外切于点 A 和点 B, 则有 |MC 1 |-|AC 1 |=|MA|, |MC 2 |-|BC 2 |=|MB|. 又 |MA|=|MB|, 所以 |MC 2 |-|MC 1 | =|BC 2 |-|AC 1 |=3-1=2, 即动点 M 到两定点 C 2 ,C 1 的距离的差是常数 2, 且 2<|C 1 C 2 |=6,|MC 2 |>|MC 1 |, 故动圆圆心 M 的轨迹为以定点 C 2 ,C 1 为焦点的双曲线的左支 , 则 2a=2, 所以 a=1. 又 c=3, 则 b 2 =c 2 -a 2 =8. 设动圆圆心 M 的坐标为 (x,y ), 则动圆圆心 M 的轨迹方程 为 x 2 - =1(x≤-1). (2) 由题知 |CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|= 2|CP|+|AB|=4>|AB|, 所以曲线 M 是以 A,B 为焦点 , 长轴长为 4 的椭圆 ( 挖去与 x 轴的交点 ). 设曲线 M: =1(a>b>0,y≠0), 则 a 2 =4,b 2 =a 2 - =3, 所以曲线 M 的方程为 : =1(y≠0). 【拓展提升 】 定义法求轨迹方程的步骤 (1) 判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义 . (2) 设标准方程 , 求方程中的基本量 . (3) 求轨迹方程 . 【变式训练 】 (2016 · 全国卷 Ⅰ) 设圆 x 2 +y 2 +2x-15=0 的圆心为 A, 直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合 , l 交圆 A 于 C,D 两点 , 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1) 证明 |EA|+|EB| 为定值 , 并写出点 E 的轨迹方程 . (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 , 直线 l 交 C 1 于 M,N 两点 , 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点 , 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 【解析 】 (1) 圆 A 整理为 (x+1) 2 +y 2 =16, 点 A 坐标为 (-1,0), 如图 , 因为 BE∥AC, 则 ∠ACB=∠EBD, 由 |AC|=|AD|, 则 ∠ADC=∠ACD, 所以 ∠EBD=∠EDB, 则 |EB|=|ED|, 所以 |AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4. 所以 E 的轨迹为一个椭圆 , 方程为 =1(y≠0); (2)C 1 : =1; 设 l :x =my+1, 因为 PQ⊥ l , 设 PQ:y =-m(x-1), 联立 l 与椭圆 C 1 , 得 (3m 2 +4)y 2 +6my-9=0; 则 |MN|= |y M -y N | 圆心 A 到 PQ 距离 d= 所以 |PQ|= 所以 S MPNQ = |MN| · |PQ|= ∈[12,8 ). 考向三　相关点 ( 代入 ) 法求轨迹方程 【例 3 】 设 F(1,0) ， M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上， ① 且 ② ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的 轨迹方程． 【题眼直击 】 题眼 思维导引 ① M 点纵坐标为 0,P 点横坐标为 0 ② 通过向量的运算找到三点坐标之间的关系 【解析 】 设 M(x 0, 0),P(0,y 0 ),N(x,y), 因为 =(x 0 ,-y 0 ), =(1,-y 0 ), 所以 (x 0 ,-y 0 ) · (1,-y 0 )=0, 即 x 0 + =0. 由 得 (x-x 0 ,y)=2(-x 0 ,y 0 ), 所以 所以 -x+ =0, 即 y 2 =4x. 故所求的点 N 的轨迹方程是 y 2 =4x. 【拓展提升 】 相关点法求轨迹方程的步骤 (1) 与动点 N(x,y ) 相关的点 P(x 0 ,y 0 ) 在已知曲线上运动 . (2) 寻求关系式 x 0 =f(x,y),y 0 =g(x,y ). (3) 将 x 0 ,y 0 代入已知曲线方程 . (4) 整理关于 x,y 的关系式得 N 的轨迹方程 . 【变式训练 】 一种作图工具如图 1 所示 .O 是滑槽 AB 的中点 , 短杆 ON 可绕 O 转动 , 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接 ,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动 , 且 DN=ON=1,MN=3. 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时 , 带动 N 绕 O 转动一周 (D 不动时 ,N 也不动 ),M 处的笔尖画出的曲线记为 C. 以 O 为原点 ,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 . 求曲线 C 的方程 . 【解析 】 设点 D(t,0)(|t|≤2),N(x 0 ,y 0 ), M(x,y ), 依题意 , 所以 (t-x,-y)=2(x 0 -t,y 0 ), 且 即 且 t(t-2x 0 )=0. 由于当点 D 不动时 , 点 N 也不动 , 所以 t 不恒等于 0, 于是 t=2x 0 , 故 x 0 = ,y 0 =- , 代入 =1, 可得 =1. 即所求的曲线 C 的方程为 =1.