2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第三节 空间直角坐标系2 空间两点间距离学案 苏教版 4页

直线的斜率与倾斜角 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 空间两点间距离 ‎1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法；‎ ‎2. 掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题。‎ 解答题 注意类比思想的运用，类比平面内两点距离公式和中点坐标公式推导和记忆空间中的两点距离公式和中点坐标公式。‎ 二、重难点提示 重点：空间两点间的距离公式的应用。‎ 难点：空间两点间距离公式的推导。‎ 考点一：空间中两点间的距离 ‎1. 空间中一点到原点的距离公式推导 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A（x，y，0）、B（0，y，z）、C（x，0，z），与坐标原点O的距离分别是OA＝、OB＝、OC＝。‎ 如图，在空间直角坐标系中，设点P（x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是M（x，y，0），PM＝|z|，OM＝。‎ ‎ ‎ 根据勾股定理，则点P（x，y，z）与坐标原点O的距离为OP＝＝。‎ ‎2. 空间中两点的距离公式推导 在空间中，设点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），在xOy平面上的射影分别为M、N。‎ 则M的坐标是M（x1，y1，0），N的坐标是N（x2，y2，0），MN＝。‎ ‎（1）若直线P1P2垂直于xOy平面，则点P1、P2之间的距离P1P2＝|z1－z2|。‎ 4‎ ‎（2）若直线P1P2平行于xOy平面，则点P1、P2之间的距离 P1P2＝MN＝。‎ ‎（3）若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，根据勾股定理，则点P1、P2的距离P1P2＝＝。‎ 综上：空间中任意两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）间的距离 P1P2＝。‎ ‎【核心归纳】空间中两点的距离公式的应用 ‎（1）求两点间的距离；（2）确定点的坐标；（3）证明三点共线问题；（4）最值问题。‎ 考点二：中点坐标公式 平面内两点的中点坐标公式，类似地也可以推广到空间，即对于点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2），则线段P1P2的中点P（x，y，z）的坐标为（，，）。‎ ‎【核心突破】‎ 点P（x，y，z）关于点M（，，）的对称点为。‎ ‎【随堂练习】‎ 以A（10，－1，6），B（4，1，9），C（2，4，3）三点为顶点的三角形是 三角形。‎ 答案：根据空间两点间距离公式，‎ 得AB＝＝7，‎ BC＝＝7，‎ AC＝＝。‎ 因为AB2＋BC2＝AC2，且AB＝BC，‎ 所以△ABC是等腰直角三角形。‎ 思路分析：用空间两点间距离公式求出AB 、BC、 AC的长度，从而根据三边关系判断形状。‎ 技巧点拨：‎ 判断三角形的形状一般要么从边的角度，要么从角的角度判断，本题求角困难，从边的角度求出三边长度，再利用边的关系判断三角形的形状。‎ 例题1 （证明三点共线）‎ 已知三点、、的坐标分别为、、，求证、、三点共线。‎ 思路分析：要证明、、三点共线，只需证明即可。‎ 答案：∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，故、、三点共线。‎ 4‎ 技巧点拨：用空间中两点距离公式求线段长度，从而证明三点共线除是证明空间中三点共线的方法之一。‎ 例题2 （确定点的坐标）‎ 在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1），B（1，0，－3）。在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。‎ 思路分析：先假设存在点，设出坐标，把等边三角形转化为方程，并求解。‎ 答案：假设在y轴上存在点M（0，y，0），使△MAB为等边三角形。‎ 设坐标原点为O，A、B都在平面xOz上，而y轴垂直于平面xOz，‎ 所以OA⊥OM，OB⊥OM，MA＝，MB＝，‎ 又因OA＝OB＝，所以y轴上的所有点都能使MA＝MB成立，‎ 所以只要再满足MA＝AB，就可以使△MAB为等边三角形。‎ 因为MA＝＝，AB＝2。‎ 所以＝2，解得y＝±。‎ 故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，‎ 此时点M的坐标为（0，，0）或（0，－，0）。‎ 技巧点拨：探索性问题一般都是假设存在，然后把条件转化，注意几何与代数的转化。‎ 利用坐标法求空间几何中的最值问题 ‎【满分训练】‎ 如图所示，已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0＜a＜）。‎ ‎（1）求MN的长；‎ ‎（2）当a为何值时，MN的长最小？‎ 思路分析：（1）在立体几何中，如果垂直关系较多，可以考虑建立空间直角坐标系来计算两点之间的距离。（2）由于本题中有互相垂直的三条线段，因此可以建立空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式表示出线段MN的长，借助函数知识解决。‎ 答案：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，‎ ‎∴BE⊥平面ABCD，∴AB、BC、BE两两垂直。‎ 4‎ 以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则M（a，0，1－a），N（a，a，0）。‎ ‎∴MN＝‎ ‎＝＝；‎ ‎（2）∵MN＝，‎ ‎∴当a＝时，MN的长最小，最小值为。‎ 技巧点拨：本题借助空间直角坐标系将问题转化为求二次函数最值问题，体现了坐标法的优越性。第（1）问也可用几何法求解，但不如解析法简便。‎ 4‎