高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-7抛物线练习理北师大版 11页

- 1 - 10.7 抛物线 核心考点·精准研析 考点一　抛物线的定义及标准方程 1.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,定点 P(4,-2),在抛物线上找一点 M,使得|PM|+|MF|最小,则点 M 的坐标为 (　　) A.(2,-2)　 B.(1,2)　 C.(1,-2)　 D.(-1,2) 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 (　　) A. 　 B.2　 C. 　 D.3 3.(2020·保定模拟)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2),则 C 的方程为 (　　) A.y2=4x 或 y2=8x　 B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x　 D.y2=2x 或 y2=16x 4.设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,F 为焦点,若 B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________. 5.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线 l 过抛物线 C 的焦点 F,且与抛物线的对称轴垂 直,l 与 C 交于 A,B 两点,且|AB|=8,M 为抛物线 C 准线上一点,则△ABM 的面积为________. 【解析】1.选 C.过 P 作 PM 垂直于抛物线的准线,交抛物线于点 M,交准线于点 N,则 |PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点 M 纵坐标为-2,故横坐标为 1,所以点 M 的坐标为 (1,-2). 2.选 B.由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点(1,0)为 F,则动点 P 到 l2 的距离等于 |PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,所以最小 值是 =2. 3.选 C.由已知得抛物线的焦点 F , - 2 - 设点 M(x0,y0),则 = , = . 由已知得, · =0,即 -8y0+16=0, 因而 y0=4,M . 由|MF|=5,得 =5. 又 p>0,解得 p=2 或 p=8. 故 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x. 4.如图,过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|,则有 |PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为 4. 答案:4 5.不妨设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 则焦点 F ,A ,B , 将 A 代入抛物线方程, 可得 2p× =42,得 p=4, 则准线方程为 x=-2, 设 M(-2,t),则 S△ABM= |AB|×p=4×4=16. 答案:16 1.抛物线定义的应用 - 3 - 利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化. “看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径. 2.求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义,确定 p 的值(系数 p 是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准 方程有四种形式,要注意选择. (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在 x 轴上还是在 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于 p 的方程, 解出 p,从而写出抛物线的标准方程. ②当焦点位置不确定时,有两种方法解决: 方法一 分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在 x 轴上 的抛物线,为避免开口方向不确定可分为 y2=2px(p>0)和 y2=-2px(p>0) 两种情况求解 方法二 设成 y2=mx(m≠0),若 m>0,开口向右;若 m<0,开口向左;若 m 有两个解,则 抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在 y 轴上的抛物线可以设成 x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方 程 考点二　直线与抛物线的综合问题 【典例】1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点(点 A 在第一象限),若 直线 l 的倾斜角为 ,则 = (　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,弦 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5,则直线 l 的斜率 k 为 (　　) A.± 　 B.±1　 C.± D.± - 4 - 3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点 为 P. (1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程. (2)若 =3 ,求|AB|. 【解题导思】 序号 联想解题 1 一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定 义进行转化 2 当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法 3 当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结 论 【解析】1.选 A.过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 M,N,作 AE⊥BN,垂足为 E,设|AF|=m,|BF|=n,则由 抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m, 因为∠ABN=60°,于是 = ,解得 n=3m, 则 = = . 2.选 C.抛物线 C:y2=4x 的焦点 F(1,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 M(x0,y0),则 x0= ,y0= ,由弦 AB 的中点 M 到抛物 线 C 的准线的距离为 5,即 x0+ =5,则 x0=4,由 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则 - 5 - = = ,即 k= = ,则 = = ,即 y0=± ,所 以直线 l 的斜率 k= = =± . 3.设直线 l:y= x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得 F ,故|AF|+|BF|=x1+x2+ , 由题设可得 x1+x2= . 由 可得 9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则 x1+x2=- . 从而- = ,得 t=- . 所以 l 的方程为 y= x- . (2)由 =3 可得 y1=-3y2. 由 可得 y2-2y+2t=0. 所以 y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故 y2=-1,y1=3. 代入 C 的方程得 x1=3,x2= . - 6 - 故|AB|= . 1.直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组. (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决. 2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点 弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入” 等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解. 1.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,E 为其准线与 x 轴的交点,过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,M 为线段 AB 的中点,且|ME|= ,则|AB|= (　　) A.6　 B.3 　 C.8　 D.9 【解析】选 A.由 y2=4x 得焦点 F(1,0),E(-1,0),设直线 AB 的方程为 x=ty+1 并代入抛物线 y2=4x 得:y2-4ty-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4, 所以 x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以 M(2t2+1,2t), |ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即 4t4+12t2-7=0, 解得 t2= 或 t2=- (舍), 所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4× +2+2=6. 2.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离 为________. - 7 - 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即 x1+ +x2+ =5,则 x1+x2= ,所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 = . 答案: 3.(2020·铜川模拟)已知抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点为 F,且 F 到准线 l 的距离为 2,过点 的 直线 l′与抛物线交于 A,B 两点,与准线 l 交于点 R,若 =3,则 =________. 【解析】依题意得:C1:y2=4x,焦点 F ,不妨设点 B 在 x 轴的下方, =xB+1=3,所以 xB=2,yB=-2 . 则过点 的直线 l′:y= ,与 y2=4x 联立消去 x 得: y2- y-4 =0, 所以 yAyB=-4 ,yA= = ,xA= , = = = = = . 答案: 考点三　抛物线的性质及应用 命 题 精 解 1.考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思 想方法. 2.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值 - 8 - 读 问题. 3.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点. 学 霸 好 方 法 1.定义的应用:当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的 距离时,应立即考虑到利用定义转化. 2.交汇问题:与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题. 与抛物线有关的最值问题 【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线 C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为 2,直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作抛物线 C 的切线 l1,l2,且 l1 与 l2 交于点 M. (1)求 p 的值. (2)若 l1⊥l2,求△MAB 面积的最小值. 【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为 ,准线方程为 y=- , 焦点到准线的距离为 2,即 p=2. (2)抛物线的方程为 x2=4y,即 y= x2,所以 y′= x,设 A(x1,y1),B(x2,y2), l1:y- = (x-x1),l2:y- = (x-x2), 由于 l1⊥l2,所以 · =-1,即 x1x2=-4. 设直线 l 方程为 y=kx+m,与抛物线方程联立,得 所以 x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以 m=1,即 l:y=kx+1. 联立方程 得: 即 M(2k,-1). - 9 - M 点到直线 l 的距离 d= = , |AB|= =4(1+k2), 所以 S= ×4(1+k2)× =4(1+k2 ≥4, 当 k=0 时,△MAB 的面积取得最小值 4. 抛物线与向量的综合问题 【典例】已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点,l 是该抛物线的准线,过抛物线上一点 A 作准线的垂线 AB,垂足为 B,射 线 AF 交准线 l 于点 C,若 Rt△ABC 的“勾” =3、“股” =3 ,则抛物线方程为(　　) A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x 【解析】选 B.由题意可知,抛物线的图像如图: |AB|=3,|BC|=3 , 可得|AC|= =6, 所以∠CAB=60°,△ABF 是正三角形,并且 F 是 AC 的中点,又|AB|=3,则 p= , 所以抛物线方程为 y2=3x. 2.已知 M 是抛物线 x2=4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C:(x+1)2+(y-5)2=1 上,则|MA|+|MF|的最小值是 ________. 【解析】由已知,由点 M 向抛物线 x2=4y 的准线 l:y=-1 引垂线,垂足为 M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结 合图形知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心 C(-1,5)到 y=-1 的距离再减去圆 C 的半径,即等于 6-1=5,所以 |MA|+|MF|的最小值是 5. 答案:5 已知点 P(x,y)是抛物线 y2=4x 上任意一点,Q 是圆 C:(x+2)2+(y-4)2=1 上任意一点,则|PQ|+x 的最小值为 (　　) A.5　 B.4　 C.3　 D.2 【解析】选 C.由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线 l:x=-1,圆 C:(x+2)2 - 11 - +(y-4)2=1 的圆心 C(-2,4),半径 r=1,P 到直线 l:x=-1 的距离 d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点 P 到 y 轴 的距离为 x=d-1,结合图像(如图所示)可得当 C,P,F 三点共线时,|PQ|+d 取最小值,所以 (|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.