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2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十二 一、选择题(36 分) 1．已知数列{xn}满足 xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2++xn，则下列结 论正确的是 (A)x100=−a，S100=2b−a (B)x100=−b，S100=2b−a (C)x100=−b，S100=b−a (D)x100=−a，S100=b−a 2．如图，正四面体 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，使得AE EB=CF FD=λ (0<λ<+ ∞)，记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角，βλ 表示 EF 与 BD 所成的角， 则 (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D) f(λ)在(0，+∞)为常数 3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4．在平面直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2 表示的曲线为椭圆，则 m 的 取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 5．设 f(x)=x2－πx，α = arcsin1 3 ，β=arctan5 4 ，γ=arcos(－1 3)，δ=arccot(－5 4)，则 (A)f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) (B) f(α)> f(δ)>f(β)>f(γ) (C) f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β) 6．如果空间三条直线 a，b，c 两两成异面直线，那么与 a，b，c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二．填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1．设 x，y 为实数，且满足{(x－1)3 + 1997(x－1) = －1， (y－1)3 + 1997(y－1) = 1． 则 x+y = . 2．过双曲线 x2－y2 2=1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若实数 λ 使得|AB| =λ 的直线 l 恰有 3 条，则 λ= . 3．已知复数 z 满足|2z + 1 z|=1，则 z 的幅角主值范围是 ． 4．已知三棱锥 S−ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2， 设 S 、 A 、 B 、 C 四 点 均 在 以 O 为 球 心 的 某 个 球 面 上 ， 则 点 O 到 平 面 ABC 的 距 离 E F B C D A 为 ． 5．设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一．若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也 停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 6．设 a =logz+log[x(yz)−1+1]，b =logx−1+log(xyz+1)，c =logy+log[(xyz)−1+1]，记 a，b，c 中 最大数为 M，则 M 的最小值为 ． 三、（20 分） 设 x≥y≥z≥ π 12 ，且 x+y+z =π 2 ，求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值． 四、(20 分) 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2(如图)，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上； (2)设 P(−1，−1)在 C2 上， Q、R 在 C1 上，求顶点 Q、R 的坐标． 五、(20 分) 设非零复数 a1，a2，a3，a4，a5 满足 { a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = a5 a4 ， a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 4(f(1,a1) + f(1,a2) + f(1,a3) + f(1,a4) + f(1,a5)) = S． 其中 S 为实数且|S|≤2． 求证：复数 a1，a2，a3，a4，a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上． y xO P(−1,−1) C1 C2 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十 二 参考答案 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1．已知数列{xn}满足 xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2++xn，则下列结 论正确的是 (A)x100=−a，S100=2b−a (B)x100=−b，S100=2b−a (C)x100=−b，S100=b−a (D)x100=−a，S100=b−a 解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循 环，xn+6=xn，于是 x100=x4=－a， 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2b－a．选 A． 2．如图，正四面体 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，使得 AE EB=CF FD=λ (0<λ<+∞)，记 f(λ)=α λ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角，βλ 表示 EF 与 BD 所成的 角，则 (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D) f(λ)在(0，+∞)为常数 解：作 EG∥AC 交 BC 于 G，连 GF，则AE EB=CG GB=CF FD ，故 GF∥BD．故∠GEF=αλ， ∠GFE=βλ，但 AC⊥BD，故∠EGF=90°．故 f(λ)为常数．选 D． 3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项的和为 972，则这样 的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 解：设首项为 a，公差为 d，项数为 n，则 na+1 2n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972， 即 n 为 2×972 的大于 3 的约数． ∴ ⑴ n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1 时 a<0．有一解； ⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2 时 n<3.．选 C 4．在平面直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2 表示的曲线为椭圆，则 m 的 取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线 x－2y+3=0 的距离的比： x2 + (y + 1)2 |x－2y + 3| 12 + (－2)2 = 5 m<1⇒m>5，选 D． E F B C D A 5．设 f(x)=x2－πx，α = arcsin1 3 ，β=arctan5 4 ，γ=arcos(－1 3)，δ=arccot(－5 4)，则 (A)f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ) (B) f(α)> f(δ)>f(β)>f(γ) (C) f(i)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β) 解：f(x)的对称轴为 x=π 2 ， 易得， 0<α<π 6<π 4<β<π 3<π 2<γ<2π 3 <3π 4 <δ<5π 6 ．选 B． 6．如果空间三条直线 a，b，c 两两成异面直线，那么与 a，b，c 都相交的 直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 解：在 a 、 b 、 c 上 取 三 条 线 段 AB 、 CC′ 、 A′D′ ， 作 一 个 平 行 六 面 体 ABCD—A′B′C′D′，在 c 上取线段 A′D′上一点 P，过 a、P 作 一个平面，与 DD′交 于 Q、与 CC′交于 R，则 QR∥a，于是 PR 不与 a 平行，但 PR 与 a 共面．故 PR 与 a 相交．由于可以取无穷多个点 P．故选 D． 二．填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1．设 x，y 为实数，且满足{(x－1)3 + 1997(x－1) = －1， (y－1)3 + 1997(y－1) = 1． 则 x+y = . 解：原方程组即{(x－1)3 + 1997(x－1) + 1 = 0， (1－y)3 + 1997(1－y) + 1 = 0． 取 f(t)=t3+1997t+1，f ′(t)=3t2+1987>0．故 f(t)单调增，现 x－1=1－y，x+y=2． 2．过双曲线 x2－y2 2=1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若实数 λ 使得|AB| =λ 的直线 l 恰有 3 条，则 λ= ． 解：右支内最短的焦点弦=2b2 a =4．又 2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2， 这样的弦由对称性有两条．故 λ=4 时 设 AB 的倾斜角为 θ，则右支内的焦点弦 λ= 2ab2 a2－c2cos2θ= 4 1－3cos2θ ≥4，当 θ=90°时， λ=4． 与左支相交时，θ=±arccos 2 3 时，λ=| 2ab2 a2－c2cos2θ|=| 4 1－3cos2θ|=4．故 λ=4． 3．已知复数 z 满足|2z + 1 z|=1，则 z 的幅角主值范围是 ． 解：|2z + 1 z|=1⇔4r4+(4cos2θ－1)r 2+1=0，这个等式成立等价于关于 x 的二次方程 4x2+(4cos2θ－1)x+1=0 有正根．△=(4cos2θ－1) 2－16≥0，由 x 1x2=1 4>0，故必须 x1+x2=－ 4cos2θ－1 4 >0． B‘ C’D’ A‘ B CD A S Q P R a c b ∴cos2θ≤－3 4 ．∴ (2k+1)π－arccos3 4 ≤2θ≤(2k+1)π+arccos3 4 ． ∴ kπ+π 2 －1 2arccos3 4 ≤θ≤kπ+π 2+1 2arccos3 4 ，(k=0，1) 4．已知三棱锥 S−ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2， 设 S 、A 、B 、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离 为 ． 解：SA=SB=SC=2，⇒S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H，∴ SH⊥平面 ABC． ∴ SH 上任意一点到 A、B、C 的距离相等． ∵ SH= 3，CH=1，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则 O 为 SABC 的外接球球心．SM=1，∴SO=2 3 3 ，∴ OH= 3 3 ，即为 O 与平面 ABC 的距离． 5．设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一．若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也 停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 解：青蛙跳 5 次，只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证)． 青蛙顺时针跳 1 次算+1，逆时针跳 1 次算－1，写 5 个“□1”，在□中填“+”号或 “－”号： □1□1□1□1□1 规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后 2 个□中继续填 写符号． 前三□同号的方法有 2 种；前三个□不同号的方法有 23－2=6 种，后两个□中填号的方 法有 22 种． ∴ 共有 2+6×4=26 种方法． 6．设 a =logz+log[x(yz)−1+1]，b =logx−1+log(xyz+1)，c =logy+log[(xyz)−1+1]，记 a，b，c 中 最大数为 M，则 M 的最小值为 ． 解：a=log(x y+z)，b=log(yz+1 x)，c=log( 1 yz+y)． ∴ a+c=log( 1 yz+1 x+yz+x)≥2log2．于是 a、c 中必有一个≥log2．即 M≥log2，于是 M 的最 小值≥log2． 但取 x=y=z=1，得 a=b=c=log2．即此时 M=log2．于是 M 的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2． 三、（本题满分 20 分） 设 x≥y≥z≥ π 12 ，且 x+y+z= π 2 ，求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值． 解：由于 x≥y≥z≥ π 12 ，故π 6 ≤x≤π 2 － π 12 ×2= π 3 ． ∴ cosx siny cosz=cosx×1 2[sin(y+z)+sin(y－z)]=1 2cos2x+1 2cosxsin(y－z)≥1 2cos2 π 3=1 8 ．即最小值． O M2 H S A B C2 1 2 (由于π 6 ≤x≤π 3 ，y≥z，故 cosxsin(y－z)≥0)，当 y=z= π 12 ，x= π 3 时，cosx siny cosz=1 8 ． ∵ cosx siny cosz=cosz×1 2[sin(x+y)－sin(x－y)]=1 2cos2z－1 2coszsin(x－y)． 由于 sin(x－y)≥0，cosz>0，故 cosx siny cosz≤1 2cos2z=1 2cos2 π 12=1 2(1+cos π 6)=2 + 8 ． 当 x= y=5π 12 ，z= π 12 时取得最大值． ∴ 最大值2 + 3 8 ，最小值1 8 ． 四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2(如图)，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上； (2)设 P(−1，−1)在 C2 上， Q、R 在 C1 上，求顶点 Q、R 的坐标． 解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上．此三点的坐标为 P(x1，1 x1)，Q(x2，1 x2)， R(x3，1 x3)．不妨设 01 x2>1 x3>0． kPQ=y2－y1 x2－x1=－ 1 x1x2 ；kQR=－ 1 x2x3 ； tan∠PQR= － 1 x1x2 + 1 x2x3 1 + 1 x1x3x22 <0，从而∠PQR 为钝角．即△PQR 不可能是正 三角形． ⑵ P(－1，－1)，设 Q(x2，1 x2)，点 P 在直线 y=x 上．以 P 为圆心，|PQ|为半径作圆，此 圆与双曲线第一象限内的另一交点 R 满足|PQ|=|PR|，由圆与双曲线都是 y=x 对称，知 Q 与 R 关于 y=x 对称．且在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数)．于是 R(1 x2 ， x2)． ∴ PQ 与 y=x 的夹角=30°，PQ 所在直线的倾斜角=75°．tan75°= 1 + 3 3 1－ 3 3 =2+ 3． PQ 所在直线方程为 y+1=(2+ 3)(x+1)，代入 xy=1，解得 Q(2－ 3，2+ 3)，于是 R(2+ 3， 2－ 3)． 五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1，a2，a3，a4，a5 满足 { a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = a5 a4 ， a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 4(f(1,a1) + f(1,a2) + f(1,a3) + f(1,a4) + f(1,a5)) = S． 其中 S 为实数且|S|≤2． 求证：复数 a1，a2，a3，a4，a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 证明：设a2 a1=a3 a2=a4 a3=a5 a4=q，则由下式得 a1(1+q+q2+q3+q4)= 4 a1q4(1+q+q2+q3+q4)． ∴ (a12q4－4) (1+q+q2+q3+q4)=0，故 a1q2=±2，或 1+q+q2+q3+q4=0． ⑴ 若 a1q2=±2，则得±2( 1 q2+1 q+1+q+q2)=S．⇒S=±2[(q+1 q)2+(q+1 q)－1]=±2[(q+1 q+1 2)2－5 4]． ∴ 由已知，有(q+1 q+1 2)2－5 4 ∈R，且|(q+1 q+1 2)2－5 4|≤1． 令 q+1 q+1 2=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．则 h2(cos2θ+isin2θ)－5 4 ∈R．⇒sin2θ=0． －1≤h2(cos2θ+isin2θ)－5 4≤1．⇒1 4≤h2(cos2θ+isin2θ)≤9 4 ，⇒cos2θ>0．⇒θ=kπ(k∈Z) ∴ q+1 q ∈R．再令 q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则 q+ 1 q=(r+1 r)cosα+i(r－1 r)sinα∈R．⇒sinα=0 或 r=1． 若 sinα=0，则 q=±r 为实数．此时 q+1 q ≥2 或 q+1 q ≤－2．此时 q+1 q+1 2 ≥5 2 ，或 q+1 q+1 2 ≤－ 3 2 ． 此时，由|(q+1 q+1 2)2－5 4|≤1，知 q=－1．此时，|ai|=2． 若 r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上． ⑵ 若 1+q+q2+q3+q4=0．则 q5－1=0，∴ |q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五 点在同一圆上． 综上可知，表示复数 a1，a2，a3，a4，a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．