2020高中数学 第1章 导数及其应用 第3-4节 导数的应用学案 理 苏教版选修2-2 8页

第3—4节——导数的应用 一、学习目标：‎ ‎1. 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。‎ ‎2. 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。‎ 二、重点、难点 重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值；函数极值与最值的区别与联系。‎ 难点：利用导数解决函数问题时有关字母讨论的问题。‎ 三、考点分析：‎ ‎ 1. 近几年各地高考题一直保持对导数知识的考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题的主线，在学习中应以此为基础展开，利用问题链展示题目间的内在联系，总结解题的通法通解，如利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间知函数在区间上单调求参数若函数不单调如何求参数。‎ ‎ 2. 导数内容是新课标新加知识，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在学习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识。‎ ‎ 3. 要有意识地与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题。‎ 一、函数的单调性与导数：‎ ‎1. 设函数在区间内可导，如果，那么函数在区间上是单调递增函数；如果，那么函数在区间上是单调递减函数；如果，那么函数在这个区间内是常数函数。‎ ‎2. 用导数法确定函数的单调性的步骤是：‎ ‎（1）一般方法：‎ ‎①先求出定义域，再求出函数的导函数；‎ ‎②求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；‎ 求解不等式，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间。‎ ‎（2）利用数轴，采用“穿轴法”确定函数的单调区间：‎ ‎①确定的定义域；‎ 8‎ ‎②求的导数；‎ ‎③求出在内的所有实根，再把函数的间断点（即在定义域内的无定义点）和各实数根按照从小到大的顺序排列起来；‎ ‎④在数轴上把的定义域分成若干个小区间；‎ ‎⑤利用“穿轴法”观察在各小区间上的符号，从而判定在各个小区间上的增减性。‎ 二、函数的极值 ‎1. 函数极值的定义 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点。‎ 如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0）.就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值 ‎2. 判别f（x0）是极大、极小值的方法：‎ 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.‎ ‎3. 求可导函数f（x）的极值的步骤：‎ ‎（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）‎ ‎（2）求方程f′（x）＝0的根 ‎（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值 三、函数的最大值与最小值 ‎1. 函数的最大值与最小值：‎ 在闭区间上图象连续不断的函数在上必有最大值与最小值。‎ ‎2. 利用导数求函数的最值步骤：设函数在（a，b）内可导，在闭区间上图象连续不断，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎（1）求在内的极值；‎ ‎（2）将的各极值与、比较，得出函数在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。‎ 知识点一：导数与函数的单调性 例1 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ 8‎ 思路分析：由的图象可观察出在不同区间的符号，从而判断出在不同区间的单调性，因此可以根据的图象大致得到的图象。‎ 解题过程：如图，A、B、C三个图中两条曲线可分别作为和的图象，符合题意。对于D，若上一条曲线为的图象，则为增函数，不符合；若下一条曲线为的图象，则为减函数，也不符合。故选D。‎ 解题后反思：（1）本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系，通过对的图象提炼函数的信息，考查数形结合思想和识图、用图的能力，以及分析问题、解决问题的能力。‎ ‎（2）应用导数信息确定原函数的大致图象，是导数应用性问题的常见题型，关键是把握原函数图象在的图象与轴交点处的切线的斜率为，由在不同区间的符号能判断出原函数的单调区间。‎ 例2 已知向量若函数在区间上是增函数，求的取值范围。‎ 思路分析：已知在区间上单调递增，则在此区间上一定有恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可。‎ 解题过程：依定义，‎ 则.‎ 若在上是增函数，则在上恒成立。‎ 即在区间上恒成立。‎ 令函数，‎ 由于的图象的对称轴为，为开口向上的抛物线，故使在区间上恒成立，只须。‎ 而当时，在上满足，即在上是增函数。‎ 故的取值范围是。‎ 解题后反思：（1）本题考查了已知函数的单调区间，求参数的取值范围，平面向量运算、不等式在区间上恒成立的方法，考查了对知识的综合运用能力和迁移能力。‎ ‎（2）在已知函数是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令（）恒成立，应用不等式恒成立的理论知识解决参数的取值范围。然后检验参数的取值能否使恒等于，如果恒等于，则在该点处参数的值必须舍去。‎ 8‎ 知识点二：利用导数求函数的极值与最值 例3 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）‎ A. 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件 思路分析：由题意，先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出的最大值即为最大年利润的年产量。‎ 解题过程：，‎ 令解得（舍去）。‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 则当时，取得最大值，‎ 故选C。‎ 解题后反思：本题考查利用导数求最值问题及其在实际问题中的应用，运算能力是非常重要的。 ‎ 例4 已知函数其中。‎ ‎ （1）当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ ‎ （2）当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 思路分析：（1）把代入到中化简得到的解析式，求出，因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入中求出切线的斜率；‎ ‎（2）令＝0，求出的x的值为x＝－‎2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当＜时和②当＞时，讨论的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。‎ 解题过程：（1）当时，，，故。‎ 所以曲线在点处的切线的斜率为。‎ ‎（2）。‎ ‎ 令，解得或。由知，。‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎①＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在内是增函数，在内是减函数。‎ 函数在处取得极大值，且。‎ ‎ 函数在处取得极小值，且。‎ ‎②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ 8‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在内是增函数，在内是减函数。‎ 函数在处取得极大值，且。‎ 函数在处取得极小值，且。‎ 解题后反思：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。‎ 例5 已知a为实数，‎ ‎（1）若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若在（—∞，—2]和[2，＋∞）上都是递增的，求a的取值范围。‎ 思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f（x）在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有，从而得到关于a的不等式。‎ 解题过程：（1）由原式得 ‎ ∴。‎ 由得，此时有。‎ 由得或x＝－1，‎ 当上变化时，的变化如下表 ‎－‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎ ‎ ‎ 所以f（x）在[－2，2]上的最大值为最小值为。‎ ‎ （2）方法一：的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线，由条件得 即 ∴－2≤a≤2.‎ ‎ 所以a的取值范围为[－2，2].‎ 方法二：令即 由求根公式得：‎ ‎ 所以在和上非负。‎ ‎ 由题意可知，当x≤－2或x≥2时，≥0，‎ ‎ 从而x1≥－2，x2≤2，‎ ‎ 即 解不等式组得：－2≤a≤2。‎ 8‎ ‎∴a的取值范围是[－2，2]。‎ 解题后反思：（1）极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论。（2）在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f’（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f’（x）不恒为0，则由，x恒成立解出的参数的取值范围确定。‎ ‎（北京高考）已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。‎ 思路分析：（1）求导，对k分类讨论，解得出函数的单调区间；‎ ‎（2）不等式≤恒成立问题转换为最值问题。‎ 解答过程：‎ ‎（1），令，‎ 当时，的情况如下表：‎ 所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是，‎ 当时，与的情况如下表：‎ 所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。‎ ‎（2）当时，因为，所以不会有。‎ 当时，由（1）知在上的最大值是 所以等价于，解得。‎ 8‎ 故当时，的取值范围是[，0）。‎ 解题后反思：利用求导对含有参数的函数求最值的时候，应注意参数对最值的影响，一定要分类讨论，对于不等式恒成立问题，常转化为最值问题。‎ 已知f（x）＝ax3＋bx2＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f（1）＝－1。 ‎ ‎（1）试求常数a、b、c的值；‎ ‎（2）试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由。‎ 错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f′（±1）＝0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍。‎ 思路分析：考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x＝±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值。‎ 解：（1）f′（x）＝3ax2＋2bx＋c ‎∵x＝±1是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴x＝±1是方程f′（x）＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根。‎ 由根与系数的关系，得 ‎ 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③‎ 由①②③式解得a＝，‎ ‎（2）f（x）＝x3－x，‎ ‎∴f′（x）＝x2－＝（x－1）（x＋1）‎ 当x＜－1或x＞1时，f′（x）＞0‎ 当－1＜x＜1时，f′（x）＜0‎ ‎∴函数f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是增函数，在（－1，1）上是减函数。‎ ‎∴当x＝－1时，函数取得极大值f（－1）＝1，‎ 当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝－1。‎ 导数是高中数学中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们学习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识。‎ 所以在学 8‎ 习中要重点把握以下几点：一是导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题。三是应用导数解决实际问题。‎ 下节课老师将和同学们一起学习定积分的有关内容，请同学们先阅读课本，思考：定积分的主要思想是什么？如何求定积分？‎ 8‎