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  • 2021-06-22 发布

2020高中数学 课时分层作业25 两角和与差的正弦、余弦公式 新人教A版必修4

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课时分层作业(二十五) 两角和与差的正弦、余弦公式 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.化简sin+sin=(  )‎ A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x B [sin+sin ‎=sin x+cos x+sin x-cos x ‎=sin x.]‎ ‎2.cos-sin的值是(  )‎ A. B.- C.0 D. A [cos-sin ‎= ‎=cos=cos(-4π)=.]‎ ‎3.已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=(  ) ‎ ‎【导学号:84352312】‎ A. B. C. D. C [∵0<β<α<,‎ ‎∴0<α-β<,‎ 由cos α=得sin α=,‎ 由cos(α-β)=得sin(α-β)=,‎ 7‎ ‎∴sin β=sin[α-(α-β)]‎ ‎=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)‎ ‎=×-× ‎==,‎ ‎∴β=.]‎ ‎4.如图311,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED等于(  )‎ 图311‎ A. B. C. D. B [由题意知sin∠BEC=,‎ cos∠BEC=,‎ 又∠CED=-∠BEC,‎ 所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=.]‎ ‎5.函数f(x)=sin x-cos的值域为(  )‎ ‎ 【导学号:84352313】‎ A.[-2,2] B. C.[-1,1] D. B [f(x)=sin x-cos ‎=sin x-cos x+sin x ‎=sin x-cos x 7‎ ‎=sin,‎ 所以函数f(x)的值域为[-,].‎ 故选B.]‎ 二、填空题 ‎6.若cos α=-,sin β=-,α∈,β∈,则sin(α+β)的值为________.‎  [∵cos α=-,α∈,‎ ‎∴sin α==.‎ ‎∵sin β=-,β∈,‎ ‎∴cos β==,‎ ‎∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ‎=×+×=.]‎ ‎7.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则角C等于________. ‎ ‎【导学号:84352314】‎ ‎30° [已知两式两边分别平方相加,得 ‎25+24(sin Acos B+cos Asin B)=37,‎ 即25+24sin(A+B)=37,‎ ‎∴sin C=sin(A+B)=,‎ ‎∴C=30°或150°.‎ 当C=150°时,A+B=30°,‎ 此时3sin A+4cos B<3sin 30°+4cos 0°=与已知矛盾,∴C=30°.]‎ ‎8.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.‎ ‎- [f(x)==sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=.‎ 由已知得sin(θ-φ)=1,∴cos(θ-φ)=0,‎ ‎∴cos θ=cos[(θ-φ)+φ]=cos(θ-φ)cos φ-sin(θ-φ)sin φ=-sin φ 7‎ ‎=-.]‎ 三、解答题 ‎9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值. ‎ ‎【导学号:84352315】‎ ‎[解] ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α ‎=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α ‎=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,‎ ‎∴sin β=-,又β是第三象限角,‎ ‎∴cos β=-=-,‎ ‎∴sin ‎=sin βcos+cos βsin ‎=×+× ‎=-.‎ ‎10.若sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.‎ ‎[解] ∵0<α<<β<,‎ ‎∴<+α<π,-<-β<0.‎ 又sin=,‎ cos=,‎ ‎∴cos=-,‎ sin=-,‎ ‎∴cos(α+β)=sin 7‎ ‎=sin ‎=sincos-cossin ‎=×-×=-.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是(  )‎ A.等边三角形      B.不含60°的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 D [∵A+B+C=180°,∴cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A,sin(A+C)=sin(180°-B)=sin B,‎ 由sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)‎ 得sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,‎ ‎∴sin(A+B)=1,即sin C=1,‎ ‎∴C=,即△ABC是直角三角形.]‎ ‎2.已知sin+sin α=-,-<α<0,则cos等于(  ) ‎ ‎【导学号:84352316】‎ A.- B.- C. D. C [∵sin+sin α=sin α+cos α+sin α ‎==cos ‎=-,‎ ‎∴cos=-,‎ ‎∴cos=cos=-cos=-cos=.]‎ ‎3.若tan α=2tan,则=________.‎ 7‎ ‎3 [== ‎== ‎==3.]‎ ‎4.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________.‎  [(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=2+2sin αsin β+2cos αcos β=2+2cos(α-β)=2+=.]‎ ‎5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)若ω和φ的值.‎ ‎(2)若f=,求cos的值. ‎ ‎【导学号:84352317】‎ ‎[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x=对称,‎ 所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….‎ 由-≤φ<,得k=0,‎ 所以φ=-=-.‎ ‎(2)由(1)得f ‎=sin=,‎ 7‎ 所以sin=.‎ 由<α<得0<α-<,‎ 所以cos= ‎==.‎ 因此cos=sin α ‎=sin ‎=sincos+cossin ‎ =×+×=.‎ 7‎