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- 2021-06-22 发布
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课时分层作业(二十五) 两角和与差的正弦、余弦公式
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.化简sin+sin=( )
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
B [sin+sin
=sin x+cos x+sin x-cos x
=sin x.]
2.cos-sin的值是( )
A. B.-
C.0 D.
A [cos-sin
=
=cos=cos(-4π)=.]
3.已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=( )
【导学号:84352312】
A. B.
C. D.
C [∵0<β<α<,
∴0<α-β<,
由cos α=得sin α=,
由cos(α-β)=得sin(α-β)=,
7
∴sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×
==,
∴β=.]
4.如图311,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED等于( )
图311
A. B.
C. D.
B [由题意知sin∠BEC=,
cos∠BEC=,
又∠CED=-∠BEC,
所以sin∠CED=sincos∠BEC-cossin∠BEC=×-×=.]
5.函数f(x)=sin x-cos的值域为( )
【导学号:84352313】
A.[-2,2] B.
C.[-1,1] D.
B [f(x)=sin x-cos
=sin x-cos x+sin x
=sin x-cos x
7
=sin,
所以函数f(x)的值域为[-,].
故选B.]
二、填空题
6.若cos α=-,sin β=-,α∈,β∈,则sin(α+β)的值为________.
[∵cos α=-,α∈,
∴sin α==.
∵sin β=-,β∈,
∴cos β==,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.]
7.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则角C等于________.
【导学号:84352314】
30° [已知两式两边分别平方相加,得
25+24(sin Acos B+cos Asin B)=37,
即25+24sin(A+B)=37,
∴sin C=sin(A+B)=,
∴C=30°或150°.
当C=150°时,A+B=30°,
此时3sin A+4cos B<3sin 30°+4cos 0°=与已知矛盾,∴C=30°.]
8.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=________.
- [f(x)==sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=.
由已知得sin(θ-φ)=1,∴cos(θ-φ)=0,
∴cos θ=cos[(θ-φ)+φ]=cos(θ-φ)cos φ-sin(θ-φ)sin φ=-sin φ
7
=-.]
三、解答题
9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
【导学号:84352315】
[解] ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-,又β是第三象限角,
∴cos β=-=-,
∴sin
=sin βcos+cos βsin
=×+×
=-.
10.若sin=,cos=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.
[解] ∵0<α<<β<,
∴<+α<π,-<-β<0.
又sin=,
cos=,
∴cos=-,
sin=-,
∴cos(α+β)=sin
7
=sin
=sincos-cossin
=×-×=-.
[冲A挑战练]
1.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
D [∵A+B+C=180°,∴cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A,sin(A+C)=sin(180°-B)=sin B,
由sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)
得sin Acos B-cos Asin B=1-2cos Asin B,
∴sin(A+B)=1,即sin C=1,
∴C=,即△ABC是直角三角形.]
2.已知sin+sin α=-,-<α<0,则cos等于( )
【导学号:84352316】
A.- B.-
C. D.
C [∵sin+sin α=sin α+cos α+sin α
==cos
=-,
∴cos=-,
∴cos=cos=-cos=-cos=.]
3.若tan α=2tan,则=________.
7
3 [==
==
==3.]
4.若cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=________.
[(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=2+2sin αsin β+2cos αcos β=2+2cos(α-β)=2+=.]
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)若ω和φ的值.
(2)若f=,求cos的值.
【导学号:84352317】
[解] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
由-≤φ<,得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由(1)得f
=sin=,
7
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos=
==.
因此cos=sin α
=sin
=sincos+cossin
=×+×=.
7
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