2020高中数学 第一章 三角函数 1 7页

第1课时　任意角的三角函数的定义 学习目标：1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．‎ ‎2．任意角的三角函数的定义 ‎(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：‎ 图121‎ ‎(2)结论 ‎①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；‎ ‎②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；‎ ‎③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．‎ ‎(3)总结 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．‎ ‎3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α ‎4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 ‎(1)图示：‎ 7‎ 图122‎ ‎(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．‎ ‎5．诱导公式一 ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)sin α表示sin与α的乘积．(　　)‎ ‎(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)‎ ‎(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)‎ ‎(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．‎ ‎(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但y变化时，sin α是定值．‎ ‎(3)正确．‎ ‎(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)‎ A．第一象限角　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]‎ ‎3．sinπ＝________.‎ 　[sinπ＝sin＝sin＝.]‎ ‎4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．‎ 7‎ 　[cos α＝x＝，sin α＝y＝，‎ 故cos α＋sin α＝.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 三角函数的定义及应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？‎ 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.‎ ‎2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？‎ 提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．‎ ‎　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．‎ ‎(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．‎ ‎[思路探究]　(1) ‎→ ‎(2)→ ‎(1)或　[(1)因为r＝，cos θ＝，‎ 所以x＝.‎ 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.‎ 又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．‎ 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.‎ 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，‎ 则sin θ＋tan θ＝.]‎ ‎(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；‎ 7‎ 在第四象限取直线上的点(1，－)，‎ 则r＝＝2，‎ 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.‎ 母题探究：1.将本例(2)的条件“x＋y＝‎0”‎改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？‎ ‎[解]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.‎ 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，‎ 由r＝|OQ|＝＝，得：‎ sin α＝＝－，cos α＝＝－，‎ tan α＝＝2.‎ ‎2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－‎3a,‎4a) (a≠0)”，求2sin α＋cos α.‎ ‎[解]　因为r＝ ‎＝5|a|，‎ ‎①若a>0，则r＝‎5a，角α在第二象限，‎ sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，‎ 所以2sin α＋cos α＝－＝1.‎ ‎②若a<0，则r＝－‎5a，角α在第四象限，‎ sin α＝＝－，cos α＝＝，‎ 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.‎ ‎[规律方法]　由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：‎ ‎(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：‎ ‎①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．‎ ‎②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．‎ ‎(2)当角α 7‎ 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.‎ 三角函数值符号的运用 ‎　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　) ‎ ‎【导学号：84352022】‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)判断下列各式的符号：‎ ‎①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.‎ ‎[思路探究]　(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．‎ ‎(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．‎ ‎(1)C　[(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]‎ ‎(2)①∵145°是第二象限角，‎ ‎∴sin 145°＞0，‎ ‎∵－210°＝－360°＋150°，‎ ‎∴－210°是第二象限角，‎ ‎∴cos(－210°)＜0，‎ ‎∴sin 145°cos(－210°)＜0.‎ ‎②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，‎ ‎∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，‎ ‎∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.‎ ‎[规律方法]　判断三角函数值在各象限符号的攻略：‎ (1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；‎ (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；‎ (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.‎ 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知角α的终边过点(‎3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．‎ ‎－2＜a≤3　[因为cos α≤0，sin α＞0，‎ 所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(‎3a－9，a＋2)，‎ 所以所以－2＜a≤3.]‎ ‎2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．‎ 7‎ 四　[角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，‎ ‎∵＝－sin，∴角是第四象限角．]‎ 诱导公式一的应用 ‎　求值：‎ ‎(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；‎ ‎(2)sincos＋tancos.‎ ‎[解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)‎ ‎＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°‎ ‎＝1－1＋＝.‎ ‎(2)原式＝sincos＋tan·cos ‎＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.‎ ‎[规律方法]　利用诱导公式一进行化简求值的步骤 ‎(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.‎ ‎(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．‎ ‎(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．化简下列各式：‎ ‎(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；‎ ‎(2)sin＋cosπ·tan 4π. ‎ ‎【导学号：84352023】‎ ‎[解]　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)‎ ‎＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°‎ ‎＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.‎ ‎(2)sin＋cosπ·tan 4π ‎＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．sin(－315°)的值是(　　)‎ 7‎ A．－　 B．－ C． D． C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.]‎ ‎2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在(　　)‎ A．第一或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第二象限 D．第二或第四象限 B　[因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0所以θ在第三象限或第一象限．]‎ ‎3．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)‎ A．1 B．－1‎ C． D．－ B　[由三角函数定义知tan α＝＝－1.]‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.‎ ‎－　[设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，‎ 则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，‎ 由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.]‎ ‎5．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.‎ ‎(2)cos＋tan. 【导学号：84352024】‎ ‎[解]　(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.‎ ‎(2)cos＋tan ‎＝cos＋tan ‎＝cos＋tan＝＋1＝.‎ 7‎