2020年高中数学 第2章 平面向量单元评估验收 新人教A版必修4 9页

第2章 平面向量 单元评估验收(二)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，则下列结论正确的是(　　)‎ A．a·b＝1 B．|a|＝|b|‎ C．(a－b)⊥b D．a∥b 解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行 ，所以D不正确．‎ 答案：C ‎2．已知向量a，b不共线，若＝λ‎1a＋b，＝a＋λ2b，且A，B，C三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为(　　)‎ A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1‎ C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1‎ 解析：因为A，B，C三点共线，‎ 所以＝k(k≠0)，‎ 所以λ‎1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.‎ 又a，b不共线，‎ 所以 所以λ1λ2＝1.‎ 答案：C ‎3．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：原式＝＋＋＋＋＝.‎ 9‎ 答案：C ‎4．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)‎ A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|＞|b|‎ 解析：由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝(a－b)2，得a·b＝0，又a，b均为非零向量，故a⊥b.‎ 答案：A ‎5．已知＝(2，2)，＝(4，1)，＝(x，0)，则当·最小时，x的值是(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．－1 D．1‎ 解析：＝－＝(x－2，－2)，＝－＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1‎ 当x＝3时，·取到最小值．‎ 答案：B ‎6．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)‎ A．(2，16) B．(－2，－16)‎ C．(4，16) D．(2，0)‎ 解析：设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4)，‎ 所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．‎ 所以 所以故选A.‎ 答案：A ‎7．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ 9‎ D.＝－ 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝‎ －＝－＋.‎ 答案：A ‎8．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 解析：由＋＝0即＝可得四边形ABCD为平行四边形，由(－)·＝0即·＝0可得⊥，所以四边形一定是菱形．‎ 答案：C ‎9．设D为边长是2的等边△ABC所在平面内一点，＝3，则·的值是(　　)‎ A. B．－ C. D．4‎ 解析：由＝3可得，点D在△ABC外，在直线BC上且BD＝4CD，则||＝||＝，·＝(＋)·＝||2＋||||cos ＝4＋×2×＝.故选A.‎ 答案：A ‎10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是边BC上的一点，且·＝·，则·的值等于(　　)‎ A．－4 B．‎0 C．4 D．8‎ 解析：因为·＝·，‎ 所以·(－)＝0，‎ 所以·＝0，即AD⊥BC.‎ 所以∠ADB＝90°，‎ 在Rt△ADB中，∠B＝30°，‎ 9‎ 所以AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，‎ 所以·＝||||cos 60°＝2×4×＝4.‎ 答案：C ‎11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)‎ A．若a与b共线，则a⊙b＝0‎ B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)‎ D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2‎ 解析：根据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确；因为a⊙b＝mq－np，而b⊙a＝np－mq，故二者不相等，所以B错误；对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确，故选B.‎ 答案：B ‎12．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　)‎ A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 解析：因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，所以A>－B，且A，B∈，‎ 所以sin A>sin＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，故p，q的夹角为锐角．‎ 答案：A 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________．‎ 解析：由题意可得，－2×3＋‎3m＝0，所以m＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．‎ 解析：不妨令b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)，‎ 令y＝|a＋b|＋|a－b|‎ ‎＝＋ 9‎ ‎＝＋，‎ 则y2＝10＋2.‎ 因为25－16cos2θ∈[9，25]，‎ 所以y2∈[16，20]．‎ 又y＞0，‎ 所以y∈[4，2 ]．‎ 答案：4　2 ‎15．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，a＋c＝0，则c在b方向上的投影为________．‎ 解析：a＋c＝(2，3)＋c＝0，所以c＝(－2，－3)，‎ 设c与b夹角为θ，则c在b方向上的投影为|c|·cos θ＝‎ ‎|c|·＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎16．若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|＝|a||b|·sin θ，若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，则|a×b|＝________．‎ 解析：由|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4得cos θ＝－，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝.‎ 由此可得|a×b|＝1×5×＝3.‎ 答案：3‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量，.‎ 解：因为∥，||＝2||，‎ 所以＝2，＝.‎ ‎(1)＝＋＝e2＋e1.‎ 9‎ ‎(2)＝＋＋ ‎＝－－＋ ‎＝－e1－e2＋e1‎ ‎＝e1－e2.‎ ‎18．(本小题满分12分)不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范围．‎ 解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．‎ 因为0°<θ<120°.‎ 所以－