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- 2021-06-22 发布
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6.3 数学归纳法(一)
1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有
( )
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
答案 C
解析 由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在
n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.
2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=(a≠1)”.在验证n=1时,左端计算所得项为
( )
A.1+a B.1+a+a2
C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4
答案 C
解析 将n=1代入a2n+1得a3,故选C.
3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________.
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符.
4.当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+,
(1)求S1,S2,T1,T2;
(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.
2
解 (1)∵当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+.
∴S1=1-=,S2=1-+-=,
T1==,T2=+=.
(2)猜想Sn=Tn(n∈N*),即1-+-+…+-=+++…+(n∈N*).
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,已证S1=T1,
②假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),
即1-+-+…+-=+++…+,
则Sk+1=Sk+-=Tk+-
=+++…++-
=++…+++
=++…++
=Tk+1.
由①,②可知,对任意n∈N*,Sn=Tn都成立.
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点:
(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1;
(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;
(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
2
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