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  • 2021-06-22 发布

2020年高中数学第六章推理与证明6

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‎6.3 数学归纳法(一)‎ ‎1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有 ‎(  )‎ A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在 n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.‎ ‎2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=(a≠1)”.在验证n=1时,左端计算所得项为 ‎(  )‎ A.1+a B.1+a+a2‎ C.1+a+a2+a3 D.1+a+a2+a3+a4‎ 答案 C 解析 将n=1代入a2n+1得a3,故选C.‎ ‎3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:‎ ‎(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是________.‎ 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符.‎ ‎4.当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+,‎ ‎(1)求S1,S2,T1,T2;‎ ‎(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.‎ 2‎ 解 (1)∵当n∈N*时,Sn=1-+-+…+-,Tn=+++…+.‎ ‎∴S1=1-=,S2=1-+-=,‎ T1==,T2=+=.‎ ‎(2)猜想Sn=Tn(n∈N*),即1-+-+…+-=+++…+(n∈N*).‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,已证S1=T1,‎ ‎②假设n=k时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*),‎ 即1-+-+…+-=+++…+,‎ 则Sk+1=Sk+-=Tk+- ‎=+++…++- ‎=++…+++ ‎=++…++ ‎=Tk+1.‎ 由①,②可知,对任意n∈N*,Sn=Tn都成立.‎ 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点:‎ ‎(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1;‎ ‎(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;‎ ‎(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.‎ 2‎