2020版高中数学 第二章 同步精选测试 数列的递推公式(选学) 5页

同步精选测试 数列的递推公式(选学)‎ ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于(　　)‎ A.　　　B.　　　C.－　　　D. ‎【解析】　a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.‎ ‎【答案】　C ‎2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　)‎ A.an＝an－1＋2(n≥2)‎ B.an＝2an－1(n≥2)‎ C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)‎ D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)‎ ‎【解析】　由条件可发现，n＞2时，an－an－1＝2，即an＝an－1＋2，又a1＝2，所以C正确.‎ ‎【答案】　C ‎3.设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C.4 D.0‎ ‎【解析】　∵an＝－32＋，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.‎ ‎【答案】　D ‎4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　) ‎ ‎【导学号：18082078】‎ A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln n C.2＋nln n D.1＋n＋ln n ‎【解析】　由题意可知：an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln(n＋1)－ln n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[ln n－ln(n－1)]＋[ln(n－1)－ln(n－2)]＋…＋(ln 2－ln 1)＋2＝2＋ln n.‎ 5‎ ‎【答案】　A ‎5.已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 016＝(　　) ‎ ‎【导学号：18082079】‎ A.3 B.－‎3 C.6 D.－6‎ ‎【解析】　由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，‎ a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，‎ a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，‎ a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，‎ ‎…‎ 故知{an}是周期为6的数列，‎ ‎∴a2 016＝a6＝－3.‎ ‎【答案】　B 二、填空题 ‎6.数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 016－a2 015＝_____________.‎ ‎【解析】　由已知得a2 016－a2 015－2 015＝0，‎ ‎∴a2 016－a2 015＝2 015.‎ ‎【答案】　2 015‎ ‎7.数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________.‎ ‎【解析】　因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，‎ a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.‎ ‎【答案】　255‎ ‎8.在数列{an}中，对任意n∈N＋，有an＋1＝.若a1＝1，则a10＝________.‎ ‎【解析】　法一：由已知，得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，…，a10＝＝.‎ 法二：由an＋1＝，得＝＋1，‎ 所以＝＋1，＝＋1，＝＋1，…，＝＋1，所以－＝9.‎ 又因为a1＝1，所以＝10，‎ 5‎ 所以a10＝.‎ ‎【答案】　 三、解答题 ‎9.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，求通项an. ‎ ‎【导学号：18082080】‎ ‎【解】　将an＋1＝两边同时取倒数得：‎ ＝，‎ 则＝＋，即－＝，‎ ‎∴－＝，－＝，…，－＝，‎ 把以上这(n－1)个式子累加，‎ 得－＝.‎ ‎∵a1＝1，∴an＝(n∈N＋).‎ ‎10.已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项. ‎ ‎【导学号：18082081】‎ ‎【解】　假设第n项an为最大项，则 即 解得即4≤n≤5，‎ 所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)‎ A.－165 B.－33‎ C.－30 D.－21‎ ‎【解析】　由已知得a2＝a1＋a1＝‎2a1＝－6，∴a1＝－3.‎ ‎∴a10＝‎2a5＝2(a2＋a3)＝‎2a2＋2(a1＋a2)‎ ‎＝‎4a2＋‎2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.‎ ‎【答案】　C ‎2.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 014的值为(　　)‎ 5‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由题意得，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又2014＝671×3＋1，∴a2 014＝a1＝.‎ ‎【答案】　A ‎3.对于数列{an}，若存在实数M，对任意的n∈N＋，都有an＞M，则称M为数列{an}的一个下界，数列{an}的最大下界称为下确界.已知数列{an}的通项公式为an＝，按此定义，则数列{an}的下确界是________.‎ ‎【解析】　由题意，an＝＝1＋.∵＞0，∴对任意n∈N＋，都有an＞1，易知1是数列{an}的最大下界，故数列{an}的下确界是1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎4.已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列的通项公式. ‎ ‎【导学号：18082082】‎ ‎【解】　法一：由an－an－1＝ ‎＝－(n≥2)，‎ 则an－1－an－2＝－，‎ ‎…‎ a3－a2＝－，‎ a2－a1＝1－.‎ 将上式相加得an－a1＝1－(n≥2)，‎ 又a1＝1，∴an＝2－.a1＝1也适合，‎ ‎∴an＝2－(n∈N＋).‎ 法二：由已知得an－an－1＝－(n≥2)，‎ 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－＋－＋－＋…＋1－＋1＝2－(n≥2).‎ 5‎ a1＝1也适合，‎ ‎∴an＝2－(n∈N＋).‎ 5‎