2020年高中数学第二章平面与平面平行的性质 6页

‎2.2.3‎‎-2.2.4 平面与平面平行的性质 ‎ [课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知直线l1，l2，平面α，l1∥l2，l1⊂α，则l2与α的位置关系是(　　)‎ A．l2∥α　　　　　　　 B．l2⊂α C．l2∥α或l2⊂α D．l2与α相交 解析：当l2⊄α时，才有l2∥α，否则l2⊂α，所以l2⊂α或l2∥α.‎ 答案：C ‎2．若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为它们的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为(　　)‎ A．平行 B．可能相交 C．相交 D．可能垂直 解析：因为N，P分别为BC，CD的中点，所以NP∥BD.因为NP⊂平面MNP，BD⊄平面MNP，所以BD∥平面MNP.故选A.‎ 答案：A ‎3．如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是(　　)‎ A．平面α内有且只有一直线与a平行 B．平面α内有无数条直线与a平行 C．平面α内不存在与a平行的直线 D．平面α内的任意直线与直线a都平行 答案：B ‎4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 解析：根据图1和图2可知α与β平行或相交．‎ 答案：C ‎5．如图，下列正三棱柱ABCA1B‎1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB 6‎ ‎∥平面MNP的是(　　)‎ 解析：在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.‎ 答案：C ‎6．如图(1)所示，已知正方形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，则BF与平面AED的位置关系是________．‎ 解析：由图(1)可知BF∥ED，由图(2)可知，BF⊄平面AED，ED⊂平面AED，故BF∥平面AED.‎ 答案：平行 ‎7.如图所示，长方体ABCDA1B‎1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A‎1C1和平面A1B都平行的棱是________．‎ 解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A‎1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A‎1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是DC.‎ 答案：平面A‎1C1与平面AD1　平面AD1　DC ‎8．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB和BC上的点，且AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．‎ 解析：如图，连接AC，‎ ‎∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，‎ ‎∴AC∥EF.‎ ‎∵AC⊄平面DEF，‎ EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.‎ 答案：平行 6‎ ‎9．如图所示，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．‎ 求证：PD∥平面MAC.‎ 证明：如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.‎ ‎∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，‎ ‎∴PD∥平面MAC.‎ ‎10．如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．求证：平面AB1D1∥平面EFG.‎ 证明：在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ 连接BD，∵DD1∥B1B，DD1＝B1B，‎ ‎∴四边形DD1B1B为平行四边形，‎ ‎∴D1B1∥DB.‎ ‎∵E，F分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，∴EF∥D1B1.‎ ‎∵EF⊂平面EFG，D1B1⊄平面EFG，‎ ‎∴D1B1∥平面EFG.‎ 同理AB1∥平面EFG.‎ 6‎ ‎∵D1B1∩AB1＝B1，‎ ‎∴平面 AB1D1∥平面EFG.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形 解析：易证EF∥平面BCD.‎ 由AE∶EB＝AF∶FD，可知EF綊BD.‎ 又因为H、G分别为BC、CD的中点，所以HG綊BD.‎ 综上可知，EF∥HG，EF≠HG，‎ 所以四边形EFGH是梯形．‎ 答案：B ‎2．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)‎ A．l∥β，l⊂α⇒α∥β B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β 解析：如图所示，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB∥CD，‎ 则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，‎ 所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B‎1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B‎1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B‎1C1，AD⊂平面AC，B‎1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．‎ 答案：D ‎3．若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线(　　)‎ A．只有1条 B．只有2条 C．只有4条 D．有无数条 解析：如图所示，要使过点A的直线m与平面α平行，则经过直线m 6‎ 的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，故可推出n∥k.由线面平行可进一步推出直线n和直线k与两平面α和β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．‎ 答案：A ‎4．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．‎ 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，‎ ‎∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，‎ ‎∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，‎ ‎∴MN∥平面ADE.‎ 答案：平行 ‎5.如图所示，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．‎ 解析：当点F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.‎ 证明：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.‎ ‎∵FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，‎ ‎∴FM∥平面AEC，由EM＝PE＝ED，得E是MD的中点．连接BM，BD，设BD∩AC＝O，‎ 则O是BD的中点，所以BM∥OE.‎ ‎∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，‎ ‎∴BM∥平面AEC.‎ ‎∵FM∩BM＝M，∴平面BFM∥平面AEC.‎ 又BF⊂平面BFM，∴BF∥平面AEC.‎ ‎6．已知三棱锥PABC中，G1、G2、G3分别是侧面△PAB，△PCB，△PAC的重心．‎ ‎(1)求证：平面G‎1G2G3∥平面ABC；‎ 6‎ ‎(2)求S△G‎1G2G3∶S△ABC.‎ 解析：(1)证明：如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别交AB、BC、AC于点D、E、F.‎ 连接DE、EF、FD.‎ ‎∵G1、G2、G3分别是侧面△PAB，‎ ‎△PCB，△PAC的重心，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴G‎1G2∥DE.‎ 又G‎1G2⊄平面ABC，DE⊂平面ABC，‎ ‎∴G‎1G2∥平面ABC，同理：G‎3G2∥平面ABC，‎ 又∵G‎1G2∩G‎3G2＝G2，‎ ‎∴平面G‎1G2G3∥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)知：＝＝，∴G‎1G2＝DE，‎ 又DE＝AC，∴G‎1G2＝AC，‎ 同理：G‎3G2＝AB，G‎1G3＝BC，‎ ‎∴△G‎1G2G3∽△ABC，且相似比为，‎ ‎∴S△G‎1G2G3∶S△ABC＝1∶9.‎ 6‎