高考数学专题复习练习：4-7 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　　B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．－ ‎【解析】 因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcos C，cos C＝＝×≥×＝.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC中，a＝2，A＝45°，若此三角形有两解，则b的范围为(　　)‎ A．2＜b＜2 B．b＞2‎ C．b＜2 D.＜b＜ ‎【解析】 ∵在△ABC中，a＝2，A＝45°，且此三角形有两解，‎ ‎∴由正弦定理＝＝2，得b＝2sin B，B＋C＝180°－45°＝135°，‎ 由B有两个值，得到这两个值互补，‎ 若B≤45°，则和B互补的角B′≥135°，这样A＋B′≥180°，不成立，‎ ‎∴45°＜B＜135°.‎ 又若B＝90°，这样补角也是90°，一解，‎ ‎∴＜sin B＜1，∴2＜b＜2，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为4∶3两部分，则cos A＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ∵∠A∶∠B＝1∶2，即B＝2A，‎ ‎∴B＞A，∴AC ＞BC.‎ ‎∵角平分线CD把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC∶AC＝BD∶AD＝3∶4，‎ ‎∴由正弦定理＝得＝，整理得＝＝，则cos A＝.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于(　　)‎ A. B．16 C．8 D．16‎ ‎【解析】 ∵cos B＝，B为三角形内角，‎ ‎∴sin B＝＝.‎ ‎∵a＝10，△ABC的面积为42，‎ ‎∴acsin B＝42，即3c＝42，解得c＝14，‎ ‎∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝100＋196－224＝72，即b＝6.‎ 再由正弦定理可得＝＝＝10，∴b＋＝16，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则a＝________．‎ ‎【解析】 ∵A＝60°，∴S△ABC＝bcsin A＝10，‎ 即bc＝10，解得bc＝40.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 a2＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－120，‎ ‎∵△ABC的周长a＋b＋c＝20，‎ ‎∴b＋c＝20－a，得a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.‎ ‎【答案】 7‎ ‎7．(2016·北京)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．‎ ‎【解析】 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，‎ 将∠A＝，a＝c代入，‎ 可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，‎ 整理得2c2＝b2＋bc.‎ ‎∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，‎ 得2＝＋，即2＝＋.‎ 令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，‎ 解得t＝1或t＝－2(舍去)，‎ 故＝1.‎ ‎【答案】 1‎ ‎8．(2017·甘肃张掖二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acos B－bcos A＝c，则的值为________．‎ ‎【解析】 由acos B－bcos A＝c及正弦定理可得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，‎ 即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)，‎ 即5(sin Acos B－sin Bcos A)＝3(sin Acos B＋sin Bcos A)‎ 即sin Acos B＝4sin Bcos A，‎ 因此tan A＝4tan B，‎ 所以＝4.‎ ‎【答案】 4‎ ‎9．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.‎ ‎(1)证明：A＝2B；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．‎ ‎【解析】 (1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)‎ ‎＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，‎ 于是sin B＝sin(A－B)．‎ 因为A，B∈(0，π)，所以0＜A－B＜π，‎ 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B.‎ 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.‎ ‎(2)由S＝，得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B.‎ 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B.‎ 又因为B，C∈(0，π)，所以C＝±B.‎ 当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.‎ 综上，A＝或A＝.‎ ‎10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asin C－ccos A.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝1，△ABC的面积为，求b，c.‎ ‎【解析】 (1)由已知结合正弦定理，得 sin C＝sin Asin C－sin Ccos A.‎ ‎∵sin C≠0，‎ ‎∴1＝sin A－cos A＝2sin，‎ 即sin＝.‎ 又∵A∈(0，π)，∴A－∈，‎ ‎∴A－＝，∴A＝.‎ ‎(2)S＝bcsin A，即 ＝bc·，∴bc＝1.①‎ 又∵a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos，‎ 即1＝(b＋c)2－3，且b，c为正数，‎ ‎∴b＋c＝2.②‎ 由①②两式，解得b＝c＝1.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎【解析】 过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝BC，则CD＝BC，AB＝BC，AC＝BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，cos∠BAC＝＝＝－，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎12．(2017·河南洛阳期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为________．‎ ‎【解析】 由题意可得tan C＝－tan(A＋B)‎ ‎＝－＝－＝－1，‎ ‎∴C＝135°，c为最长边，故c＝1.‎ 又∵0＜tan B＝＜＝tan A，∴B为最小角，b为最短边，∵tan B＝，∴sin B＝，由正弦定理可得b＝＝.‎ ‎【答案】 ‎13．(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．‎ ‎【解析】 由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，所以∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝＝.‎ ‎【答案】 ‎14．(2016·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．‎ ‎【解析】 在△ABC中，cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A＝×＋×＝.∴由正弦定理＝，可得b＝＝1××＝.‎ ‎【答案】 ‎15．(2016·课标全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【解析】 (1)由已知及正弦定理得 ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ ‎2cos Csin(A＋B)＝sin C.‎ 故2sin Ccos C＝sin C.‎ 可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，得absin C＝.‎ 又 C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎