2019年高考数学练习题汇总(五)空间向量与立体几何 5页

‎(五)空间向量与立体几何 ‎1．(2018·盐城模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，点M，N分别在PD，PC上，＝，PM＝MD.‎ ‎(1)求证：PC⊥平面AMN；‎ ‎(2)求二面角B－AN－M的余弦值．‎ ‎(1)证明　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 又∵PA＝AD＝2，‎ ‎∴P(0,0,2)，D(0,2,0)，‎ B(2,0,0)，‎ ‎∴M(0,1,1)，C(2,2,0)．‎ ‎∴＝(2,2，－2)，＝(0,1,1)．‎ ‎∵·＝0＋2－2＝0，‎ ‎∴PC⊥AM.‎ 设N(x，y，z)，∵＝，‎ 求得N.‎ ‎∵·＝＋－＝0，∴AN⊥PC.‎ 又AM∩AN＝A，AM，AN⊂平面AMN，‎ ‎∴PC⊥平面AMN.‎ ‎(2)解　设平面BAN的法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎∵即 令z＝－1，∴n＝(0,2，－1)．‎ ‎∵＝(2,2，－2)是平面AMN的法向量，‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝.‎ 由图知二面角B－AN－M为钝二面角，‎ ‎∴二面角B－AN－M的余弦值为－.‎ ‎2.如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．‎ ‎(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角A－BE－C的正弦值．‎ 解　(1)以O为原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)．‎ ＝(2，－1,0)，＝(0,2，－1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝－，‎ 又异面直线所成的角为锐角或直角，‎ ‎∴异面直线BE与AC所成角的余弦值为.‎ ‎(2)＝(2,0，－1)，＝(0,1，－1)，‎ 设平面ABE的法向量为n1＝(x，y，z)，‎ 则由n1⊥，n1⊥，‎ 得取n1＝(1,2,2)，‎ 平面BEC的法向量为n2＝(0,0,1)，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝，‎ ‎∴二面角A－BE－C的余弦值的绝对值为，‎ ‎∴sin θ＝，‎ 即二面角A－BE－C的正弦值为.‎ ‎3.三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．‎ ‎(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；‎ ‎(2)求二面角B1－A1D－C1的正弦值．‎ 解　(1)由题意知，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3)，则＝(1,2，－3)，＝(0,4,0)，＝(1，－2,3)．‎ 设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．‎ 由n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0，‎ 得y＝0，x＝3z，‎ 令z＝1，得x＝3，n＝(3,0,1)．‎ 设直线DB1与平面A1C1D所成的角为θ，‎ 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.‎ ‎(2)设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)，＝(2,0,0)．‎ 由m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，‎ 得a＝0,2b＝3c，‎ 令c＝2，得b＝3，m＝(0,3,2)．‎ 设二面角B1－A1D－C1的大小为α，‎ ‎|cos α|＝|cos〈m，n〉|＝＝，‎ sin α＝＝.‎ 所以二面角B1－A1D－C1的正弦值为.‎ ‎4.如图，在三棱锥S－ABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．‎ ‎(1)若D为棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；‎ ‎(2)求二面角S－BC－A的余弦值的大小．‎ 解　连结OB，由题意得OS，OB，OC两两垂直．‎ 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．‎ 由题意知∠SBO＝45°，SO＝3.‎ 所以O(0,0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，S(0,0,3)，‎ B(3,0,0)．‎ ‎(1)设＝λ(0≤λ≤1)，连结OD，‎ 则＝(1－λ)＋λ＝(3(1－λ)，0,3λ)，‎ 所以＝(3(1－λ)，－，3λ)．‎ 因为＝(3，，0)，CD⊥AB，‎ 所以·＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝.‎ 故当＝时，CD⊥AB.‎ ‎(2)平面ACB的法向量为n1＝(0,0,1)．‎ 设平面SBC的法向量n2＝(x，y，z)，‎ 由得 解得取z＝1，‎ 则n2＝(1，，1)，‎ 所以cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 显然所求二面角的平面角为锐角，‎ 故所求二面角的余弦值的大小为.‎