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- 2021-06-21 发布
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压轴小题组合练
压轴小题组合练(A)
1.(2018·西宁模拟)设函数f′(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f′(x)cos x－f(x)sin x>0，若a＝f ，b＝0，c＝－f ，则a，b，c的大小关系是( )
A.a0在(0，π)上恒成立，
即g(x)在(0，π)上单调递增，
则g1，在同一坐标系内作出它们的图象如图：
要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需得a＞，故选C.
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}为递减数列，则λ的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，3)
C.(－∞，4) D.(－∞，5)
答案 A
解析 ∵Sn＝3n(λ－n)－6，①
∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n≥2，②
由①－②，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n≥2，n∈N*).
∵数列{an}为递减数列，
∴an＞an＋1，
∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)，
化为λ＜n＋2(n≥2)，
∴λ＜4.又a1＞a2，∴λ＜2.综上，λ＜2.
5.如果定义在R上的函数f(x)，对任意m≠n，均有mf(m)＋nf(n)－mf(n)－nf(m)>0成立，则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数：
①f(x)＝ln 2x－5；
②f(x)＝－x3＋4x＋3；
③f(x)＝2x－2(sin x－cos x)；
④f(x)＝其中是“H函数”的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 由题设，得(m－n)[f(m)－f(n)]>0(m≠n).
∴“H函数”就是函数f(x)是R上的增函数.
对于①，f(x)＝ln 2x－5，显然f(x)为R上的增函数；
对于②，当x＝0和x＝2时函数值相等，因此函数f(x)＝－x3＋4x＋3不可能是R上的增函数；
对于③，f′(x)＝2－2cos≥0在R上恒成立，则f(x)＝2x－2(sin x－cos x)是R上的增函数；
对于④，当x＝0和x＝1时函数值相等，因此函数f(x)＝不可能为R上的增函数，因此符合条件的函数个数为2.
6.(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a，对任意的x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤a－2恒成立，则a的取值范围为( )
A.[e2，＋∞) B.[e，＋∞)
C.[2，e] D.[e，e2]
答案 A
解析 由题意可得|f(x1)－f(x2)|max＝f(x)max－f(x)min≤a－2，且a>2，
由于f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝ln a＋2x，
所以当x>0时， f′(x)>0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，
则f(x)max＝f(1)＝a＋1－ln a，f(x)min＝f(0)＝1，
所以f(x)max－f(x)min＝a－ln a，
故a－2≥a－ln a，即ln a≥2，所以a≥e2，即a的取值范围为[e2，＋∞).
7.(2018·洛阳统考)在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.
答案 A
解析 ∵＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，
∵M，P，N 三点共线，∴＋＝1，
∵m>0，n>0，
∴m＋2n＝(m＋2n)·＝＋＋＋≥＋2＝3，
当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立.
8.(2018·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x2＋ex(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，e) B.
C. D.
答案 A
解析 由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0时有解，
即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，
令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，
则m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定义域上是增函数，且x→－∞时，m(x)<0，
当a≤0，x→a时，m(x)>0，
故ex－ln(－x＋a)＝0
在(－∞，0)上有解，
当a>0时，则ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化为e0－ln a>0，即ln a<1，故00，当t>1时，f′(t)<0，因此f(t)≤f(1)＝0，即ln t≤t－1，
所以ln(x＋2y－3)≤x＋2y－3－1，
ln(2x－3y＋5)≤2x－3y＋5－1，
因此ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)≤x＋2y－3－1＋2x－3y＋5－1＝3x－y，
因为3x－y≤ln(x＋2y－3)＋ln(2x－3y＋5)，
所以x＋2y－3＝1，2x－3y＋5＝1，所以x＝，y＝，
所以x＋y＝.
14.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f2(x)＋bf(x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝________.
答案 2
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得关于x的方程f(x)＝t的解有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有四个或五个根)，由f(x)＝1，可得x1，x2，x3的值分别为0，1，2，x1x2＋x2x3＋x1x3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.
15.设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝.设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且＝·＋λ·，则实数λ的值为________.
答案 －
解析 不妨取Sn＝3n2＋2n，Tn＝4n2＋5n，当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝6n－1，
验证得当n＝1时上式成立.
综上，an＝6n－1.
同理可得bn＝8n＋1，
即＝.
点P在直线BC上，设＝k，
＝＋＝＋k＝＋k(－)＝(1－k)＋k＝＋λ·，
即1－k＝，λ＝k＝－.
16.已知函数f(x)＝若f(x)的所有零点之和为1，则实数a的取值范围为________.
答案 (2e，e2＋1]
解析 当x<0时，易得f(x)的零点为x0＝－1，当x≥0时，f(x)的零点可转化为直线y＝a与函数g(x)＝ex＋e2－x在[0，＋∞)上的图象交点的横坐标，
∵g(x)＝g(2－x)，∴g(x)的图象关于直线x＝1对称，又g′(x)＝，当x>1时，g
′(x)>0，g(x)单调递增，当0≤x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且g(0)＝e2＋1，g(1)＝2e，数形结合(图略)可知当2e
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