高考数学专题复习练习：2-2 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．f(x)＝3－x　　　　　　　B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|‎ ‎【解析】 当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．‎ ‎【答案】 C ‎2．已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(0，1] B．[1，2]‎ C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎【解析】 要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，∴a≥1.‎ ‎【答案】 C ‎3．(2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c ‎【解析】 因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．‎ ‎∵1＜2＜＜e，∴f(2)＞f＞f(e)，‎ ‎∴b＞a＞c.‎ ‎【答案】 D ‎4．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)‎ A．－3 B．－2‎ C．－1 D．1‎ ‎【解析】 ∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，‎ ‎∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.‎ ‎【答案】 B ‎5．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，‎ 当a≠0时，由得0＜a≤，‎ 综上a的取值范围是0≤a≤.‎ ‎【答案】 D ‎6．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________．‎ ‎【解析】 设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.‎ 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ 因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y＝在[0，＋∞)上单调递增．‎ 所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞)．‎ ‎【答案】 [3，＋∞)‎ ‎7．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【解析】 由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又ax－a是增函数，故a＞1，所以a的取值范围为1＜a≤2.‎ ‎【答案】 (1，2]‎ ‎8．(2015·厦门质检)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．‎ ‎【解析】 由于y＝在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.‎ ‎【答案】 3‎ ‎9．已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；‎ ‎(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)证明 任设x1＜x2＜－2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝.‎ ‎∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，‎ ‎∴f(x1)＜f(x2)，‎ ‎∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．‎ ‎(2)任设1＜x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝.‎ ‎∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，‎ 只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.‎ 综上所述，a的取值范围是(0，1]．‎ ‎10．(2017·浦东一模)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)证明：f(x)为单调递减函数；‎ ‎(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．‎ ‎【解析】 (1)令x1＝x2＞0，‎ 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，‎ 故f(1)＝0.‎ ‎(2)证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，‎ 则＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，‎ 所以f＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，‎ 因此f(x1)＜f(x2)，‎ 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．‎ ‎(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．‎ ‎∴f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)．‎ 由f＝f(x1)－f(x2)得，‎ f＝f(9)－f(3)，‎ 而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.‎ ‎∴f(x)在[2，9]上的最小值为－2.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎11．(2016·长春市质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1] B．(－∞，－1]‎ C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ ‎【解析】 因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，‎ 所以－a≥－1，解得a≤1.‎ ‎【答案】 A ‎12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．6 D．12‎ ‎【解析】 由已知，得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，‎ 当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.‎ ‎∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．‎ ‎∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.‎ ‎【答案】 C ‎13．(2015·山东)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．‎ ‎【解析】 由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时取等号．‎ ‎【答案】 ‎14．(2016·浙江)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ ‎(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围．‎ ‎(2)①求F(x)的最小值m(a)；‎ ‎②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a)．‎ ‎【解析】 (1)由于a≥3，故 当x≤1时，‎ ‎(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，‎ 当x＞1时，‎ ‎(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．‎ 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]．‎ ‎(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则 f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2.‎ 由F(x)的定义知m(a)＝min{f(1)，g(a)}，即 m(a)＝ ‎②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)；‎ 当2≤x≤6时，F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)}＝max{2，34－8a}＝max{F(2)，F(6)}．‎ 所以M(a)＝