2020高中数学 第三章 不等式 3 8页

‎3.1　不等关系与不等式 学习目标：1.了解不等式的性质(重点).2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系(难点)．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．不等符号与不等关系的表示：‎ ‎(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；‎ ‎(2)不等关系用不等式来表示．‎ ‎2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于 大于等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 ‎＞‎ ‎≥‎ ‎＜‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎≤‎ 思考：不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？‎ ‎[提示]　①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．‎ ‎②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab⇔bb，b>c⇒a>c 性质3(可加性)‎ a>b⇒a＋c>b＋c 推论 a＋b>c⇒a>c－b 性质4(可乘性)‎ a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6(不等式同向正数可乘性)‎ a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7(乘方性)‎ a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ 性质8(开方性)‎ a>b>0⇒‎ >(n∈N，n≥2)‎ 思考：关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？‎ ‎(1)a>b且c>d则a－c>b－d.‎ ‎(2)a>b则ac>bc.‎ ‎(3)a>b>0且c>d>0则>.‎ ‎(4)a>b>0则an>bn.‎ ‎(5)a>b则>.‎ ‎[提示]　对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，‎ ‎(1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错．‎ ‎(2)中当c≤0时，不成立．‎ ‎(3)中例如5>3且4>1，则>是错的，故(3)错．‎ ‎(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错．‎ ‎(5)因为>0，所以a·>b·，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)‎ ‎(2)若ab，则ac>bc一定成立．(　　)‎ ‎(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　‎ 提示：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.‎ ‎(2)正确．不等式a≤b表示ab，则ac>bc不一定成立．‎ ‎(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.‎ - 8 -‎ ‎2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　)‎ A．T<40　　　　　　　 B．T>40‎ C．T≤40 D．T≥40‎ C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]‎ ‎3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　)‎ ‎【导学号：91432263】‎ A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d D　[a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项．]‎ ‎4．设m＝‎2a2＋‎2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．‎ m≥n　[m－n＝‎2a2＋‎2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 用不等式表示不等关系 ‎　用一段长为‎30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长‎18 m，要求菜园的面积不小于‎110 m2‎，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系.‎ ‎【导学号：91432264】‎ ‎[解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为‎18 m，所以00，>0，(－)2≥0，‎ ‎∴≥0，‎ 当且仅当a＝b时等号成立．‎ ‎∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)．‎ 法二：(作商法)＝＝＝＝＝1＋≥1，当且仅当a＝b时取等号．‎ ‎∵＋>0，＋>0，‎ ‎∴＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)．‎ - 8 -‎ 法三：(平方后作差)∵2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎∴2－(＋)2＝.‎ ‎∵a>0，b>0，‎ ‎∴≥0，‎ 又＋>0，＋>0，故＋≥＋(当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：‎ ‎(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．‎ ‎(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算 性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．‎ ‎2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大 于1，等于1，还是小于1.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．‎ ‎[解]　(x3－1)－(2x2－2x)‎ ‎＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ‎ ‎＝(x－1)(x2－x＋1)‎ ‎＝(x－1).‎ 因为x<1，所以x－1<0.‎ 又2＋>0，‎ 所以(x－1)<0.‎ 所以x3－1<2x2－2x.‎ 不等式性质的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．小明同学做题时进行如下变形：‎ ‎∵2a>b>0，求证：>.‎ ‎【导学号：91432266】‎ 思路探究：①如何证明<？②由<怎样得到<？‎ ‎[解]　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.‎ 由⇒<，‎ ⇒>.‎ 母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>‎0”‎变为“a>b>0，c<‎0”‎证明：>.‎ - 8 -‎ ‎[证明]　因为a>b>0，所以ab>0，>0.‎ 于是a×>b×，即>.由c<0，得>.‎ ‎2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c>a>b>‎0”‎变为“已知－6b及c>d，推不出 ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等．‎ ‎(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为________．‎ 　[“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以]‎ ‎2．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a0，所以a＋b，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，故③错误．]‎ ‎3．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．‎ ‎<　[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－‎2a－15)－(a2－‎2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．]‎ ‎4．若80.求证：≤.‎ ‎【导学号：91432268】‎ ‎[证明]　因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，‎ 因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.‎ - 8 -‎