高考数学专题复习练习：综合检测卷(一) 14页

综合检测卷(一) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共 4 页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上． 3．本次考试时间 120 分钟，满分 160 分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在题中横线上) 1．(2016·南通模拟)若全集 U＝{x|x≥2，x∈N}，集合 A＝{x|x2≥5，x∈N}，则∁UA＝________. 2．下列命题中，真命题的个数是________． ①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行； ④经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直． 3．(2016·北京朝阳区一模)执行如图所示的流程图，则输出的 S 值为________． 4．(2016·无锡一模)已知函数 f(x)＝sin(2x－π 6)的图象 C1 向左平移π 4 个单位长度得到图象 C2， 那么 C2 在[0，π]上的单调减区间是____________． 5．从 5 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人．要求 这 3 位老师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种． 6．(2016·泰州模拟)已知直线 x＋y＝a 与圆 O：x2＋y2＝8 交于 A，B 两点，且OA→ ·OB→ ＝0，则 实数 a 的值为____________． 7．已知实数 x，y 满足 4 3 0, 4 0, 1, x y x y x          则 xy x2＋y2 的最大值为________． 8．(x＋1)2(1 x －1)5 的展开式中常数项为________． 9．(2016·徐州模拟)已知抛物线 y2＝8x 上的点 P 到双曲线 y2－4x2＝4b2 的上焦点的距离与到 直线 x＝－2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为______________． 10．(2016·江苏启东中学阶段检测)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函 数为“互为生成”函数，给出下列函数： ①f1(x)＝sin x＋cos x；②f2(x)＝ 2sin x＋ 2；③f3(x)＝ 2(sin x＋cos x)；④f4(x)＝sin x； ⑤f5(x)＝2cos x 2(sin x 2 ＋cos x 2)． 其中“互为生成”函数的有________．(请填写序号) 11．已知函数 f(x)＝ 2 cos , 0, ( ), 0. x x x x a x x      若关于 x 的不等式 f(x)<π的解集为 (－∞，π 2)，则实数 a 的取值范围是____________． 12．已知向量AB→，AC→ 的夹角为 120°，|AB→|＝5，|AC→ |＝2，AP→＝AB→＋λAC→ ，若AP→⊥BC→ ，则λ ＝________. 13．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2nπ 2 )an＋sin2nπ 2 ，则该数列的前 12 项和为 ________． 14．已知直线 y＝ 11x 与椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若椭圆上存在点 P， 使得△ABP 是等边三角形，则椭圆 C 的离心率 e＝________.第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14 分)(2016·盐城检测)已知函数 f(x)＝－sin 2x－ 3(1－2sin2x)＋1. (1)求 f(x)的最小正周期及其单调递减区间； (2)当 x∈[－π 6 ，π 6]时，求 f(x)的值域. 16.(14 分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低 碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施 了机动车尾号限行政策，某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了 50 人， 将调查情况进行整理后制成下表： 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取 2 人进行追踪调查，求恰有 2 人不赞 成的概率； (2)在(1)的条件下，令选中的 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布 和均值. 17．(14 分)(2016·扬州模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AD＝PD ＝2，PA＝2 2，∠PDC＝120°，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 在线段 AB 上． (1)若 AF＝1 2 ，求证：CD⊥EF； (2)设平面 DEF 与平面 DPA 所成二面角的平面角为θ，试确定点 F 的位置，使得 cos θ＝ 3 4 . 18.(16 分)(2016·连云港模拟)设 n∈N*，数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝Sn＋an＋2，且 a1，a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn an ＝( 2)1＋an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 19.(16 分)(2016·徐州模拟)已知椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点与上顶点关于直线 y＝ －x 对称，又点 P( 6 2 ，1 2)在 E 上． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M(1,0)作 l 的垂线，垂足为 Q，试证点 Q 总在定圆上. 20.(16 分)已知函数 f(x)＝xln x－mx2(m 为常数)． (1)当 m＝0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若x2－x fx ＞1 对任意 x∈[ e，e2]恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)若 x1，x2∈(1 e ，1)，x1＋x2＜1，求证：x1x2＜(x1＋x2)4. 答案解析 1．{2} 解析 A＝{x|x≥ 5或 x≤－ 5，x∈N}，∁UA＝{2}． 2．2 解析 在①中，由平行公理得：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是 真命题；在②中，经过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直，故②是假命题；在③中， 由面面平行的判定定理得经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，故③是真命题； 在④中，经过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故④是假命题． 3．19 解析 依次执行结果如下： S＝2×1＋1＝3，i＝1＋1＝2，i＜4； S＝2×3＋2＝8，i＝2＋1＝3，i＜4； S＝2×8＋3＝19，i＝3＋1＝4，i≥4； 所以 S＝19. 4．[ π 12 ，7π 12](开闭均可) 解析 将图象 C1 向左平移π 4 个单位长度后，得到的函数为 y＝sin[2(x＋π 4)－π 6]，即 y＝sin(2x ＋π 3)．因为 x∈[0，π]，所以 2x＋π 3 ∈[π 3 ，7π 3 ]，令π 2 ＋2kπ≤2x＋π 3 ≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得 kπ＋ π 12 ≤x≤kπ＋7π 12 ，k∈Z，即得 C2 的减区间是[ π 12 ，7π 12]． 5．270 解析 方法一 (直接法)：这三位教师中男、女教师都要有，分为两类，有一位女教师，有 二位女教师，有一位女教师的选法种数为 C25×C13＝30，有二位女教师的选法种数为 C15×C23＝ 15，共有 30＋15＝45(种)不同的选法，再分配到三个学校，故有 45A33＝270(种)不同的选派 方案． 方法二 (间接法)：从 5 名男教师和 3 名女教师中选出 3 位教师的不同选法有 C38＝56(种)， 三位老师全是男教师的选法有 C35＝10(种)，三位教师全是女教师的选法有 C33＝1(种)， 所以“这三位教师中男、女教师都要有”不同的选派方案有 56－10－1＝45(种)，再分配到 三个学校，故有 45A33＝270(种)不同的选派方案． 6．2 2或－2 2 解析 由OA→ ·OB→ ＝0，得OA→ ⊥OB→ ， ∴△OAB 为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离 d＝2， ∴由点到直线的距离公式，得|－a| 2 ＝2，即 a＝±2 2. 7.1 2 解析 由题意作出其平面区域如下， 由题意可得，A(13 5 ，7 5)，B(1,3)，则 7 13 ≤y x ≤3，则 2≤y x ＋x y ≤10 3 ，故 xy x2＋y2 ＝ 1 x y ＋y x 的最大值为1 2. 8．－1 解析 ∵(x＋1)2(1 x －1)5＝(x2＋2x＋1)(1 x －1)5， 根据二项式定理可知，(1 x －1)5 展开式的通项公式为 Cr5·(－1)r·xr－5， ∴(x＋1)2(1 x －1)5 的展开式中常数项由三部分构成， 分别由(x2＋2x＋1)与(1 x －1)5 展开式中各项相乘得到， 令 r＝3，则 C35·(－1)3·x－2，则 1×(－C35)＝－10； 令 r＝4，则 C45·(－1)4·x－1，则 2×C45＝10； 令 r＝5，则 C55·(－1)5·x0，则 1×(－1)＝－1； ∴常数项为－10＋10－1＝－1. 9.y2 4 －x2＝1 解析 抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)， ∵点 P 到双曲线 y2 4b2 －x2 b2 ＝1 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x＝－2 的距离之和的最小值 为 3，∴FF1＝3， ∴c2＋4＝9，c＝ 5. ∵4b2＋b2＝c2，∴b2＝1， ∴双曲线的方程为y2 4 －x2＝1. 10．①②⑤ 解析 f1(x)＝ 2sin(x＋π 4)，f3(x)＝2sin(x＋π 4)，f5(x)＝sin x＋cos x＋1＝ 2sin(x＋π 4)＋1，其中 ①②⑤中函数的图象都可以由 y＝ 2sin x 的图象平移得到，它们是“互为生成”函数，③④ 中函数的图象不能由 y＝ 2sin x 的图象平移得到，相互也不能平移得到，故答案为①②⑤. 11．(－2 π，＋∞) 解析 由题意知，当 x≥0 时，f′(x)＝2－sin x>0，所以 f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 则当 x＝π 2 时，f(x)＝2×π 2 ＋cos π 2 ＝π，所以当 x∈[0，π 2)时，f(x)<π恒成立．当 x<0 时，若 a≥0， 则 f(x)<0<π；若 a<0，则 f(x)max＝a2 4 ，令a2 4 <π，解得－2 π