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  • 2021-06-23 发布

安徽省合肥市第六中学2020届高三最后一卷数学(理)试题答案

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第1页,共 8 页 合肥六中 2020 届高三最后一卷 数学(理)参考答案(附解析和评分细则) 第Ⅰ卷(选择题 每题 5 分 共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D A A A C B B D A 1. },6|{},30|{ == xxBxxA }6|{ = xxBA  ,选 B 2. iziz +−=−−= 1,1 ,选 C 3. 10,1,0  cba ,选 B 4. 16 2 4)( 41 =+ aa ,得 74 =a ,选 D 5. 3 3232 2 1 3 1,3,5 ==== VABPB ,选 A 6. ) 42 sin() 2 ( 2 1sin 2 sin  −=−=→= xxyxy ,选 A 7. )(xfy = 为奇函数, )1,0(x 时, 0)( xf ,选 A 8. 设圆心为 M, 20)4(3684)6()6( 22222 +−=+−=+−=+−= xxxxxyxPM 当 4=x 时, 52min =PM , 152min −=PQ ,选 C 9. 根据空间点线面的位置关系,选 B 10. 16 9 44 3 3 2 4 1 4 =ACC ,选 B 11. ) 2 1( −= xmxe x ,结合图像设切点为 ),( 00 yx ,则 0 00 xexy = , ) 2 1( 00 −= xmy , )1()(,)( ' +== xexfxexf xx , mxex =+ )1( 0 0 ,联立方程解得: 10 =x , em 2= , 选 D 12. 新数列 }{ nb 为周期数列:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…, 201920202020344233 ,....., bbcbbcbbc −=−=−= , 120202202021202021 ... bbbbbbccc +=−++=+++ 34463362020 === + bbb , 4... 120202202021202021 =+=−++=+++ bbbbbbccc ,选 A 第2页,共 8 页 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 10 2 − 14. 2 15. 30 10 3+ 16. 2 10 13. )1,3( −=c , b 在上的投影为: 2 10 10 5 || −=−= c cb 14. 2 55 52 5 51 1)1()( r r rrrr r x a C ax xCT − − + == ,取 1,3 == rr ,得 ,11 1 53 3 5 a C a C = 2=a 15.在 BCD 中, 1012045 === CDBCDBDC ,,  ,由正弦定理得: 26 220 15sin 45sin10 − ==   BC ,在 ABC 中, 310303 26 22060tan += − == BCAB 16.在 21FAF 中, ,4,8 21 == MFMF 由角平分线性质得 2 2 1 2 1 == MF MF AF AF , 设 ,,2 21 xAFxAF == 由双曲线定义得: ,6=x ,6,12 21 == AFAF 在 21 AMFAMF  和 中, mAM = ,由余弦定理得: 0 42 64 82 128 222222 =  −++  −+ m m m m ,解得: 102=m 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ABC 中, 1cos 3 A = ,sin 2 cosBC= . (1)求 tan B 的值; (2)若 ABC 的面积为 2 ,求 ABC 的周长. 解:(1) 2 220 sin 1 cos 3 A A A   = − = ………………………1 分 1 2 2sin 2 cos 2 cos( ) 2( cos sin ) 33 B C A B B B= = − + = − − sin 2 cos tan 2B B B =  = ………………………5 分 (2) 63tan 2,0 sin ,cos 33 B B B B=    = = sin 3sin 2 cos cos 32 BB C C=  = = 6sin 3 C= ………………………8 分 不妨设 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 , 则 : : sin : sin : sin 2 : 3 : 3a b c A B C==. 第3页,共 8 页 令 2ax= ,则 3b c x== , 又 1 sin 2 1 2ABCS bc A x = =  = ………………………11 分 2 2 3ABC +的周长为 . ………………………12 分 18.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满500 元的顾客,可以获得一次抽奖机 会,有两种方案.方案一:在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球,3个白球,顾客 一次性摸出 2 个球,规定摸到 2 个黑球奖励50 元,1个黑球奖励 20 元,没有摸到黑球奖励15 元.方案二: 在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球,3个白球,顾客不放回地每次 摸出一个球,直到将所有黑球摸出则停止摸奖,规定 2 次摸出所有黑球奖励50 元,3次摸出 所有黑球奖励 30 元, 4 次摸出所有黑球奖励 20 元,5次摸出所有黑球奖励10 元. (1)记 X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数,求随机变量 X 的数学期望; (2)若你为一名要摸奖的顾客,请问你选择哪种方案进行抽奖,说明理由. 解:(1)易知 X 符合超几何分布, ~ (2,2,5)XH ,故 22( ) 0.8 5 EX ==. 另解: 2 2 2 5 1( 2) 10 CPX C = = = , 11 23 2 5 63( 1) 10 5 CCPX C = = = = , 02 23 2 5 3( 0) 10 CCPX C = = = , 1 3 3( ) 2 1 0 0.8 10 5 10 EX =  +  +  = ………………………4 分 (2)方案一:记 为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额,则 可取50 ,20 ,15 . 2 2 2 5 1( 50) 10 CPX C = = = , 11 23 2 5 63( 20) 10 5 CCPX C = = = = , 02 23 2 5 3( 15) 10 CCPX C = = = , 1 3 3( ) 50 20 15 21.5 10 5 10 EX =  +  +  = . ………………………7 分 方案二:记 为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额,则 可取50 ,30 ,20 ,10 . 2 2 2 5 1( 50) 10 AP A  = = = , 112 2 3 2 3 5 1( 30) 5 C C AP A  = = = , 1 2 3 2 3 3 4 5 3( 20) 10 C C AP A  = = = , 14 24 5 5 2( 10) 5 CAP A  = = = . ………………………10 分 1 1 3 2( ) 50 30 20 10 21 10 5 10 5 E  =  +  +  +  = . ………………………11 分 因此,我会选择方案一进行摸奖. ………………………12 分 19.在四棱锥 P ABCD− 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PCD ⊥ 平面 ABCD . (1)证明: PD ⊥ 平面 ABCD ; (2)若 E 为 PC 的中点, DE PC⊥ ,四边形 ABCD 为菱形且 60BAD=,求二面角 D BE C−−的余弦值. 解:(1)过 B 作 BF CD⊥ 于 F ,过 B 作 BG AD⊥ 于G . 平面 PCD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PCD 平面 =ABCD CD , BF  平面 ABCD , BF CD⊥ BF⊥平面 PCD BF PD⊥ . 同理可得 BG PD⊥ ,又 BG BF B= , PD ⊥ 平面 ABCD .………………………4 分 第4页,共 8 页 (2)以 DC 所在方向为 y 轴,DP 所在方向为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系, PD ⊥ 平面 ABCD , PD CD⊥ , 又 DE PC⊥ ,E 为 PC 的中点, PD DC= ………………………5 分 不妨假设 2PD = ,则 (0,0,0)D , ( 3,1,0)B , (0,1,1)E , (0,2,0)C . 可知 ( 3,0,1)BE =− , ( 3,0,1)DB = , ( 3,1,0)BC =− . ………………………7 分 设 ( , , )m x y z= 为平面 BDE 的法向量, 则 0 0 m BE m DB  = = 即 30 30 xz xy − + = += ,令 1x = ,得 3y =− , 3z = 可知平面 BDE 的一个法向量 (1, 3, 3)m =− , 同理可得平面 BEC 的一个法向量 (1, 3, 3)n = 1cos , 7 mnmn mn  = = , ………………………11 分 又二面角 D BE C−−为钝角, 二面角 D BE C−−的余弦值为 1 7 − . ………………………12 分 20.已知椭圆C : 22 221( 0)xy ab ab + =   的离心率为 1 2 ,过焦点且垂直于长轴的弦长为3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点(1,0) 的直线 l 交椭圆C 于 A , B 两点,在 x 轴上是否存在定点 P ,使得 PA PB 为 定值?若存在,求出点 P 的坐标和 PA PB 的值;若不存在,请说明理由. 解(1)∵椭圆C 的离心率为 1 2 ,∴ 1 2 c a = , 2 2 3 4 b a = ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为3, 22 3b a =,解得 2 2 4 3 a b  = = ∴椭圆C 的方程为 22 1 43 xy+=. ………………………4 分 (2)假设存在.设 ( ),0Pt , ( )11,A x y , ( )22,B x y , 当直线 l 与 x 轴不重合时,设 l 的方程: 1x my=+. 第5页,共 8 页 由 2 2 1 43 1 y x my x =+ += 得 ( )223 4 6 9 0m y my+ + − = , 易知 0 ,且 12 2 6 34 myy m + = − + , 12 2 9 34 yy m =− + ; ………………………6 分 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 2x x my my m y y+ = + + + = + + , 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1x x my my m y y m y y= + + = + + + , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( 1) ( )( ) 2 1 (6 15) 9 2 1 34 PA PB x t y x t y x x t x x t y y m y y m mt y y t t tm tt m   = −  − = − + + + = + + − + + − + −−= + − + + ………………………8 分 当 6 15 9 34 t −−= ,即 11 8 t = 时, PA PA 的值与 m 无关,此时 135 64 PA PB = − . ………………………10 分 当直线 l 与 x 轴重合且 11 8 t = 时, 11 11 1352,0 2,0 8 8 64 PA PB     = −  + = −       . ………………………11 分 ∴存在点 011, 8 P   ,使得 PA PB 为定值 135 64 − . ………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) ln( 1)f x a x x= + − . (1)讨论 ()fx的单调性; (2)当 0x  时, 2 1 ( )xe x f x− −  恒成立.求 a 的取值范围. 解:(1) ()fx的定义域为 ( )1, + , 2 ' 2 2 1( ) 2 11 a x xf x x xx − − += − = ++ , ………………………1 分 令 2( ) 2 2 1g x x x= − − + ,则 48a = + 且 ' ()fx与 ()gx的符号相同. ①当 0 即 1 2 a − 时, ( ) 0gx ,此时 ' ( ) 0fx ; ………………………2 分 ②当 0 即 1 2 a − 时,令 ( ) 0gx= 得 1 1 1 2 2 ax − − += , 2 1 1 2 2 ax − + += , 易知 2 1x − ………………………3 分 a 当 1 1x − 即 0a  时,当 ( )21,xx− 时, ( ) 0gx ,此时 ' ( ) 0fx ; 第6页,共 8 页 当 ( )2 ,xx + 时, ( ) 0gx ,此时 ' ( ) 0fx ; ………………………4 分 b 当 1 1x − 即 1 0 2 a−   时,当 ( ) ( )121, ,x x x − + 时, ( ) 0gx ,此时 ' ( ) 0fx ; 当 ( )12,x x x 时, ( ) 0gx ,此时 ' ( ) 0fx ; 综上,当 1 2 a − 时, ()fx的单减区间为 ( )1, + ,无单增区间; 当 0a  时, ()fx的单减区间为 1 1 2 , 2 a− + + +  ,单增区间为 1 1 21, 2 a− + +−  ; 当 1 0 2 a−   时, ()fx的单减区间为 1 1 21, 2 a− − +−  和 1 1 2 , 2 a− + + +  ,单增区间为 1 1 2 1 1 2, 22 aa− − + − + +   . ………………………5 分 (2) 2 1 ( )xe x f x− −  即 1 ln( 1) 0xe a x− − +  ; 令 ( ) 1 ln( 1)xh x e a x= − − + ,则 (0) 0h = , ' () 1 x ah x e x =− + ; ………………………6 分 当 0a  时, ' ( ) 0hx , 此时 ()hx 在 )0,+ 上单增, ( ) (0) 0h x h=,符合题意; ………………………7 分 当 01a时,由 xye= 和 1 ay x =− + 都是增函数可知 ' ()hx也为增函数, 故 ''( ) (0) 1 0h x h a = −  , 此时 ()hx 在 )0,+ 上单增, ( ) (0) 0h x h=,符合题意; ………………………9 分 当 1a  时,同理 ' ()hx也为增函数, ' (0) 1 0ha= −  ,当 x → + 时, ' ( ) 0hx , ' ()hx 在 )0,+ 上有唯一零点,不妨假设为 0x , 当  )00,xx 时, ' ( ) 0hx ,此时 ()hx 单减, 当 0(0, )xx 时, ( ) (0) 0h x h=,不合题意. ………………………11 分 综上所述, a 的取值范围为 ( ,1− . ………………………12 分 第7页,共 8 页 请考生在第 22-23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 221 21 xt yt  =−  =− ( t 为参数),以直角坐标系 的原点O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为 (2sin cos ) m  −=. (1)求曲线C 的普通方程; (2)若 l 与曲线C 有且仅有一个公共点,且 l 与坐标轴交于 ,AB两点,求以 AB 为直径的圆 的直角坐标方程. 解:(1)由 21yt=−,得 1 2 yt += , 2212 1 2( ) 1 2 yxt += − = − ,即 2( 1) 2( 1)yx+ = + , 故曲线C 的普通方程为 . ………………………5 (2)由 ,得 2y x m−= ,联立 2( 1) 2( 1) 2 yx y x m  + = +  −= 得 2 2 2 1 0y y m− + − = , 因为l 与曲线C 有且仅有一个公共点,所以 4 4(2 1) 0m = − − = , 1m = , 所以l 的方程为 21yx−=,不妨假设 1(0, ) 2 A ,则 ( 1,0)B − ,线段 AB 的中点为 11( , ) 24 − . 所以 5 2 AB = ,故以 为直径的圆的直角坐标方程为 2 2 21 1 5 5( ) ( ) ( ) 2 4 4 16 xy+ + − = = . ………………………10 分 23.已知 ( ) 1 2f x x x a= − + + . (1)当 1a = 时,求不等式 ( ) 3fx 的解集; (2)若函数 ()fx的最小值为 3,求实数 a 的值. 解:(1)当 1a = 时, ( ) 1 2 1f x x x= − + + , 当 1 2 x − 时, ( ) 3f x x=− ,此时解 ( ) 3fx 得 1x − ; 当 1 1 2 x−   时, ( ) 2f x x=+,此时解 ( ) 3fx 得无解; 当 1x  时, ( ) 3f x x= ,此时解 ( ) 3fx 得 1x  . 综上,不等式 ( ) 3fx 的解集为 | 1 1x x x − 或 . ………………………5 分 第8页,共 8 页 (2) ( ) 1 2 1 2 2 1 22 1 ( ( 1)( ) 0 ) 2 2 2 1 ( ) 22 f x x x a axx aax x x a a ax x x aax = − + + = − + + = − + + + +  + + + − +   + = − 当且仅当 时等号成立 当且仅当 时等号成立 可以知道 2 ax =−当 时 , ()fx有最小值 1 2 a+ , 由 13 2 a+=得 84a =− 或 . ………………………10 分