安徽省合肥市第六中学2020届高三最后一卷数学（理）试题答案 8页

第1页，共 8 页 合肥六中 2020 届高三最后一卷 数学（理）参考答案（附解析和评分细则） 第Ⅰ卷（选择题 每题 5 分 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D A A A C B B D A 1. },6|{},30|{ == xxBxxA }6|{ = xxBA  ，选 B 2. iziz +−=−−= 1,1 ，选 C 3. 10,1,0  cba ，选 B 4. 16 2 4)( 41 =+ aa ，得 74 =a ，选 D 5. 3 3232 2 1 3 1,3,5 ==== VABPB ,选 A 6. ) 42 sin() 2 ( 2 1sin 2 sin  −=−=→= xxyxy ，选 A 7. )(xfy = 为奇函数， )1,0(x 时， 0)( xf ,选 A 8. 设圆心为 M， 20)4(3684)6()6( 22222 +−=+−=+−=+−= xxxxxyxPM 当 4=x 时， 52min =PM ， 152min −=PQ ，选 C 9. 根据空间点线面的位置关系，选 B 10. 16 9 44 3 3 2 4 1 4 =ACC ,选 B 11. ) 2 1( −= xmxe x ，结合图像设切点为 ),( 00 yx ，则 0 00 xexy = ， ) 2 1( 00 −= xmy ， )1()(,)( ' +== xexfxexf xx ， mxex =+ )1( 0 0 ，联立方程解得： 10 =x ， em 2= ， 选 D 12. 新数列 }{ nb 为周期数列：1,1,2,3,1,0,1,1，2,3,1,0，…， 201920202020344233 ,....., bbcbbcbbc −=−=−= ， 120202202021202021 ... bbbbbbccc +=−++=+++ 34463362020 === + bbb ， 4... 120202202021202021 =+=−++=+++ bbbbbbccc ，选 A 第2页，共 8 页 第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 10 2 − 14. 2 15. 30 10 3+ 16. 2 10 13. )1,3( −=c ， b 在上的投影为： 2 10 10 5 || −=−= c cb 14. 2 55 52 5 51 1)1()( r r rrrr r x a C ax xCT − − + == ，取 1,3 == rr ，得 ,11 1 53 3 5 a C a C = 2=a 15.在 BCD 中， 1012045 === CDBCDBDC ，，  ，由正弦定理得： 26 220 15sin 45sin10 − ==   BC ，在 ABC 中， 310303 26 22060tan += − == BCAB 16.在 21FAF 中， ,4,8 21 == MFMF 由角平分线性质得 2 2 1 2 1 == MF MF AF AF , 设 ,,2 21 xAFxAF == 由双曲线定义得： ,6=x ,6,12 21 == AFAF 在 21 AMFAMF  和 中， mAM = ，由余弦定理得： 0 42 64 82 128 222222 =  −++  −+ m m m m ，解得： 102=m 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 1cos 3 A = ，sin 2 cosBC= . （1）求 tan B 的值； （2）若 ABC 的面积为 2 ，求 ABC 的周长. 解：（1） 2 220 sin 1 cos 3 A A A   = − = ………………………1 分 1 2 2sin 2 cos 2 cos( ) 2( cos sin ) 33 B C A B B B= = − + = − − sin 2 cos tan 2B B B =  = ………………………5 分 （2） 63tan 2,0 sin ,cos 33 B B B B=    = = sin 3sin 2 cos cos 32 BB C C=  = = 6sin 3 C= ………………………8 分 不妨设 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ， 则 : : sin : sin : sin 2 : 3 : 3a b c A B C==. 第3页，共 8 页 令 2ax= ，则 3b c x== ， 又 1 sin 2 1 2ABCS bc A x = =  = ………………………11 分 2 2 3ABC +的周长为 . ………………………12 分 18.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500 元的顾客，可以获得一次抽奖机 会，有两种方案.方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球，3个白球，顾客 一次性摸出 2 个球，规定摸到 2 个黑球奖励50 元，1个黑球奖励 20 元，没有摸到黑球奖励15 元.方案二: 在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的 2 个黑球，3个白球，顾客不放回地每次 摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸奖，规定 2 次摸出所有黑球奖励50 元，3次摸出 所有黑球奖励 30 元， 4 次摸出所有黑球奖励 20 元，5次摸出所有黑球奖励10 元. （1）记 X 为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量 X 的数学期望； （2）若你为一名要摸奖的顾客，请问你选择哪种方案进行抽奖，说明理由. 解：（1）易知 X 符合超几何分布， ~ (2,2,5)XH ，故 22( ) 0.8 5 EX ==. 另解： 2 2 2 5 1( 2) 10 CPX C = = = ， 11 23 2 5 63( 1) 10 5 CCPX C = = = = ， 02 23 2 5 3( 0) 10 CCPX C = = = ， 1 3 3( ) 2 1 0 0.8 10 5 10 EX =  +  +  = ………………………4 分 （2）方案一：记 为1名顾客选择方案一进行摸奖获得的奖金数额，则 可取50 ，20 ，15 . 2 2 2 5 1( 50) 10 CPX C = = = ， 11 23 2 5 63( 20) 10 5 CCPX C = = = = ， 02 23 2 5 3( 15) 10 CCPX C = = = ， 1 3 3( ) 50 20 15 21.5 10 5 10 EX =  +  +  = . ………………………7 分 方案二：记 为1名顾客选择方案二进行摸奖获得的奖金数额，则 可取50 ，30 ，20 ，10 . 2 2 2 5 1( 50) 10 AP A  = = = ， 112 2 3 2 3 5 1( 30) 5 C C AP A  = = = ， 1 2 3 2 3 3 4 5 3( 20) 10 C C AP A  = = = ， 14 24 5 5 2( 10) 5 CAP A  = = = . ………………………10 分 1 1 3 2( ) 50 30 20 10 21 10 5 10 5 E  =  +  +  +  = . ………………………11 分 因此，我会选择方案一进行摸奖. ………………………12 分 19.在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PCD ⊥ 平面 ABCD . （1）证明： PD ⊥ 平面 ABCD ； （2）若 E 为 PC 的中点， DE PC⊥ ，四边形 ABCD 为菱形且 60BAD=，求二面角 D BE C−−的余弦值. 解：（1）过 B 作 BF CD⊥ 于 F ，过 B 作 BG AD⊥ 于G . 平面 PCD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PCD 平面 =ABCD CD ， BF  平面 ABCD ， BF CD⊥ BF⊥平面 PCD BF PD⊥ . 同理可得 BG PD⊥ ，又 BG BF B= ， PD ⊥ 平面 ABCD .………………………4 分 第4页，共 8 页 （2）以 DC 所在方向为 y 轴，DP 所在方向为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系， PD ⊥ 平面 ABCD ， PD CD⊥ ， 又 DE PC⊥ ，E 为 PC 的中点， PD DC= ………………………5 分 不妨假设 2PD = ,则 (0,0,0)D ， ( 3,1,0)B ， (0,1,1)E ， (0,2,0)C . 可知 ( 3,0,1)BE =− ， ( 3,0,1)DB = ， ( 3,1,0)BC =− . ………………………7 分 设 ( , , )m x y z= 为平面 BDE 的法向量， 则 0 0 m BE m DB  = = 即 30 30 xz xy − + = += ，令 1x = ，得 3y =− ， 3z = 可知平面 BDE 的一个法向量 (1, 3, 3)m =− ， 同理可得平面 BEC 的一个法向量 (1, 3, 3)n = 1cos , 7 mnmn mn  = = ， ………………………11 分 又二面角 D BE C−−为钝角， 二面角 D BE C−−的余弦值为 1 7 − . ………………………12 分 20.已知椭圆C ： 22 221( 0)xy ab ab + =   的离心率为 1 2 ，过焦点且垂直于长轴的弦长为3. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点(1,0) 的直线 l 交椭圆C 于 A ， B 两点，在 x 轴上是否存在定点 P ，使得 PA PB 为 定值？若存在，求出点 P 的坐标和 PA PB 的值；若不存在，请说明理由. 解（1）∵椭圆C 的离心率为 1 2 ，∴ 1 2 c a = , 2 2 3 4 b a = ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为3, 22 3b a =,解得 2 2 4 3 a b  = = ∴椭圆C 的方程为 22 1 43 xy+=. ………………………4 分 （2）假设存在.设 ( ),0Pt ， ( )11,A x y ， ( )22,B x y ， 当直线 l 与 x 轴不重合时，设 l 的方程： 1x my=+. 第5页，共 8 页 由 2 2 1 43 1 y x my x =+ += 得 ( )223 4 6 9 0m y my+ + − = ， 易知 0 ，且 12 2 6 34 myy m + = − + ， 12 2 9 34 yy m =− + ； ………………………6 分 1 2 1 2 1 21 1 ( ) 2x x my my m y y+ = + + + = + + ， 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1x x my my m y y m y y= + + = + + + ， 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( 1) ( )( ) 2 1 (6 15) 9 2 1 34 PA PB x t y x t y x x t x x t y y m y y m mt y y t t tm tt m   = −  − = − + + + = + + − + + − + −−= + − + + ………………………8 分 当 6 15 9 34 t −−= ，即 11 8 t = 时， PA PA 的值与 m 无关，此时 135 64 PA PB = − . ………………………10 分 当直线 l 与 x 轴重合且 11 8 t = 时， 11 11 1352,0 2,0 8 8 64 PA PB     = −  + = −       . ………………………11 分 ∴存在点 011, 8 P   ，使得 PA PB 为定值 135 64 − . ………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ln( 1)f x a x x= + − . （1）讨论 ()fx的单调性； （2）当 0x  时， 2 1 ( )xe x f x− −  恒成立.求 a 的取值范围. 解：（1） ()fx的定义域为 ( )1, + ， 2 ' 2 2 1( ) 2 11 a x xf x x xx − − += − = ++ ， ………………………1 分 令 2( ) 2 2 1g x x x= − − + ，则 48a = + 且 ' ()fx与 ()gx的符号相同. ①当 0 即 1 2 a − 时， ( ) 0gx ，此时 ' ( ) 0fx ； ………………………2 分 ②当 0 即 1 2 a − 时，令 ( ) 0gx= 得 1 1 1 2 2 ax − − += ， 2 1 1 2 2 ax − + += ， 易知 2 1x − ………………………3 分 a 当 1 1x − 即 0a  时，当 ( )21,xx− 时， ( ) 0gx ，此时 ' ( ) 0fx ； 第6页，共 8 页 当 ( )2 ,xx + 时， ( ) 0gx ，此时 ' ( ) 0fx ； ………………………4 分 b 当 1 1x − 即 1 0 2 a−   时，当 ( ) ( )121, ,x x x − + 时， ( ) 0gx ，此时 ' ( ) 0fx ； 当 ( )12,x x x 时， ( ) 0gx ，此时 ' ( ) 0fx ； 综上，当 1 2 a − 时， ()fx的单减区间为 ( )1, + ，无单增区间； 当 0a  时， ()fx的单减区间为 1 1 2 , 2 a− + + +  ，单增区间为 1 1 21, 2 a− + +−  ； 当 1 0 2 a−   时， ()fx的单减区间为 1 1 21, 2 a− − +−  和 1 1 2 , 2 a− + + +  ，单增区间为 1 1 2 1 1 2, 22 aa− − + − + +   . ………………………5 分 （2） 2 1 ( )xe x f x− −  即 1 ln( 1) 0xe a x− − +  ； 令 ( ) 1 ln( 1)xh x e a x= − − + ，则 (0) 0h = ， ' () 1 x ah x e x =− + ； ………………………6 分 当 0a  时， ' ( ) 0hx ， 此时 ()hx 在 )0,+ 上单增， ( ) (0) 0h x h=，符合题意； ………………………7 分 当 01a时，由 xye= 和 1 ay x =− + 都是增函数可知 ' ()hx也为增函数， 故 ''( ) (0) 1 0h x h a = −  ， 此时 ()hx 在 )0,+ 上单增， ( ) (0) 0h x h=，符合题意； ………………………9 分 当 1a  时，同理 ' ()hx也为增函数， ' (0) 1 0ha= −  ，当 x → + 时， ' ( ) 0hx ， ' ()hx 在 )0,+ 上有唯一零点，不妨假设为 0x ， 当  )00,xx 时， ' ( ) 0hx ，此时 ()hx 单减， 当 0(0, )xx 时， ( ) (0) 0h x h=，不合题意. ………………………11 分 综上所述， a 的取值范围为 ( ,1− . ………………………12 分 第7页，共 8 页 请考生在第 22-23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 221 21 xt yt  =−  =− （ t 为参数），以直角坐标系 的原点O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 (2sin cos ) m  −=. （1）求曲线C 的普通方程； （2）若 l 与曲线C 有且仅有一个公共点，且 l 与坐标轴交于 ,AB两点，求以 AB 为直径的圆 的直角坐标方程. 解：（1）由 21yt=−，得 1 2 yt += ， 2212 1 2( ) 1 2 yxt += − = − ，即 2( 1) 2( 1)yx+ = + ， 故曲线C 的普通方程为 ． ………………………5 （2）由 ，得 2y x m−= ，联立 2( 1) 2( 1) 2 yx y x m  + = +  −= 得 2 2 2 1 0y y m− + − = ， 因为l 与曲线C 有且仅有一个公共点，所以 4 4(2 1) 0m = − − = ， 1m = ， 所以l 的方程为 21yx−=，不妨假设 1(0, ) 2 A ，则 ( 1,0)B − ，线段 AB 的中点为 11( , ) 24 − ． 所以 5 2 AB = ，故以 为直径的圆的直角坐标方程为 2 2 21 1 5 5( ) ( ) ( ) 2 4 4 16 xy+ + − = = ． ………………………10 分 23.已知 ( ) 1 2f x x x a= − + + . （1）当 1a = 时，求不等式 ( ) 3fx 的解集； （2）若函数 ()fx的最小值为 3，求实数 a 的值. 解：（1）当 1a = 时， ( ) 1 2 1f x x x= − + + ， 当 1 2 x − 时， ( ) 3f x x=− ，此时解 ( ) 3fx 得 1x − ； 当 1 1 2 x−   时， ( ) 2f x x=+，此时解 ( ) 3fx 得无解； 当 1x  时， ( ) 3f x x= ，此时解 ( ) 3fx 得 1x  . 综上，不等式 ( ) 3fx 的解集为 | 1 1x x x − 或 . ………………………5 分 第8页，共 8 页 （2） ( ) 1 2 1 2 2 1 22 1 ( ( 1)( ) 0 ) 2 2 2 1 ( ) 22 f x x x a axx aax x x a a ax x x aax = − + + = − + + = − + + + +  + + + − +   + = − 当且仅当 时等号成立 当且仅当 时等号成立 可以知道 2 ax =−当 时 ， ()fx有最小值 1 2 a+ ， 由 13 2 a+=得 84a =− 或 . ………………………10 分