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- 2021-06-23 发布
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第一课时 平 面
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)利用生活中的实物对平面进行描述;
(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图
(3)掌握平面的基本性质及作用;
(4)培养学生的空间想象能力.
2.过程与方法
(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感、态度与价值观
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣.
(二)教学重点、难点
重点:1、平面的概念及表示;
2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.
难点:平面基本性质的掌握与运用.
(三)教学方法
师生共同讨论法
教学过程 教学内容 师生互动 设计意图
新课导入
日常生活中有哪些东西给我
们以平面的形象?
师:生活中常见的如黑板、
平整的操场、桌面,平静的湖
面等,都给我们以平面的印象,
你们能举出更多的例子吗?
引导学生观察、思考、举例和
相交交流,教师对学生活动给
予评价,点出主题.
培 养 学 生
感性认识
探索新知
1.平面的概念
随堂练习 判定下列命题是否
正确:
①书桌面是平面;
②8 个平面重叠起来要比 6
个平面重叠起来厚;
③有一个平面的长是 50m,
师:刚才大家所讲的一些
物体都给我们以平面的印象,
几何里所说的平面就是从这
样的一些物体中抽象出来的,
但是,几何里的平面是向四周
无限伸展的,现在请大家判定
下列命题是否正确?
加 深 学 生
对 平 面 概
念的理解.
宽是 20m;
④平面是绝对的平,无厚度,
可以无限延展的抽象的数学概念.
生:平面是没有厚度,无
限延展的;所以①②③错误;
④正确.
探索新知
2.平面的画法及表示
(1)平面的画法
通常我们把水平的平面画成
平行四边形,用平行四边形表示
平面,其中平行四边形的锐角通
常画成 45°,且横边长等于其邻
边长的 2 倍.如果一个平面被另一
个平面遮挡住. 我们常把被遮挡
的部分用垂线画出来.
(2)平面的表示
法 1:平面 ,平面 .
法 2:平面 ABCD,平面 AC
或平面 BD.
(3)点与平面的关系
平面内有无数个点,平面可看成
点的集合. 点 A 在平面 内,记
作:A . 点 B 在平面外,记作:
B .
师:在平面几何中,怎样
画直线?(一学生上黑板画)
师:这位同学画的实质上
是直线的部分,通过想象两端
无限延伸而认为是一条直线,
仿照直线的画法,我们可以怎
样画一个平面?
生:画出平面的一部分,
加以想象,四周无限延展,来
表示平面.
师:大家画一下.
学生动手画平面,将有代
表性的画在黑板上,教师给予
点评,并指出一般画法及注意
事项(作图)
加 深 学 生
对 平 面 概
念的理解,
培 养 学 生
知 识 迁 移
能力,空间
想 象 能 力
和 发 散 思
想能力.
探索新知
3.平面的基本性质
公理 1:如果一条直线上的
两点在一个平面内,那么这条直
线在此平面内
(1)公理 1 的图
形如图
(2)符号表示为:
(3)公理 1 的作用:判断直线是否
在平面内.
公理 2 :过不在一条直线上的
三点有且只有一个平面.
师:我们下面学习平面的
基本性质的三个公理.所谓公
理,就是不必证明而直接被承
认的真命题,它们是进一步推
理的出发点和根据. 先研究下
列问题:将直线上的一点固定
在平面上,调整直线上另一点
的位置,观察其变化,指出直
线在何时落在平面内.
生:当直线上两点在一个
平面内时,这条直线落在平面
内.
师:这处结论就是我们要
讨论的公理 1(板书)
师:从集合的角度看,公
通过实验,
培 养 学 生
观察、归纳
能 力 . 加 深
学 生 对 公
理 的 理 解
与记忆.
加 强
α β
α
α∈
α∉
A l
B l lA
B
αα
α
∈
∈ ⇒ ⊂∈
∈
(1)公理 2
的图形如图
(2)符号表
示为:C 直线 AB 存在惟一
的平面 ,
使得
注意:(1)公理中“有且只
有一个”的含义是:“有”,是说
图形存在,“只有一个”,是说图
形惟一,“有且只有一个平面”的
意思是说“经过不在同一直线上
的三个点的平面是有的,而且只
有一个”,也即不共线的三点确定
一个平面.
“有且只有一个平面”也可以说
成“确定一个平面.”
(2)过 A、B、C 三点的平面可记
作“平面 ABC”
公理 3:如果两个不重合的
平面有一个公共点,那么它们有
理 1 就是说,如果一条直线
(点集)中有两个元素(点)
属于一个平面(点集),那么
这条直线就是这个平面的真
子集.
直线是由无数个点组成
的集合,点 P 在直线 l 上,记
作 P∈l;点 P 在直线 l 外,记
作 P l;如果直线 l 上所有
的点都在平面 内,就说直线
l 在平面 内,或者说平面
经过直线 l,记作 l ,否则
就说直线 l 在平面 外,记作
.
下面请同学们用符号表
示公理 1.
学生板书,教师点评并完
善.
大家回忆一下几点可以
确定一条直线
生:两点可确定一条直线.
师:那么几点可以确定上
个平面呢?
学生思考,讨论然后回答.
生 1:三点可确定一个平
面
师:不需要附加条件吗?
生 2:还需要三点不共线
师:这个结论就是我们要
讨论的公理 2
师投影公理 2 图示与符
号表示,分析注意事项.
师:下面请同学们观察教
室的天花板与前面的墙壁,思
考这两个平面的公共点有多
少个?它们有什么特点.
学 生 对 知
识的理解,
培 养 学 生
语言(符号
图形)的表
达能力.
学 生 在 观
察、实验讨
论 中 得 出
正确结论,
加 深 了 对
知 识 的 理
解,还培养
了 他 们 思
维 的 严 谨
性.
∉ ⇒
α
A
B
C
α
α
α
∈
∈
∈
∉
α
α α
α⊂
α
l α⊄
且只有一条过该点的公共直线.
(1)公理 3 的图形如图
(2)符号表示为:
(3)公理 3 作用:判断两个平面
是否相交.
生:这两个平面的无穷多
个公共点,且所有这些公共点
都在一条直线上.
师:我们把这条直线称为
这两个平面的公共直线.事实
上,如果两个不重合的平面有
一个公共点,那么它们有且只
有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线 .
(板书)这就是我们要学的
公理 3.
典例分析
例 1 如图,用符号表示下图
图形中点、直线、平面之间的位
置关系.
分析:根据图形,先判断点、
直线、平面之间的位置关系,然
后用符号表示出来.
解:在(1)中, ,
, .
在(2)中, , ,
, , .
学生先独立完成,让两个学生
上黑板,师生给予点评
巩 固
所学知识
随堂练习
1.下列命题正确的是( )
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确
定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条
直线确定一个平面
2.(1)不共面的四点可以确
定几个平面?
(2)共点的三条直线可以确
定几个平面?
3.判断下列命题是否正确,
学生独立完成
答案:
1.D
2.(1)不共面的四点可
确定 4 个平面.
(2)共点的三条直线
可确定一个或 3 个平面.
3.(1)×(2)√(3)
√(4)√
4.(1)A ,B .
(2)M ,M .
(3)a ,a .
巩 固
所学知识
lP P l
α βα β =∈ ⇒ ∈
lα β =
a Aα = a Bβ =
lα β = a α⊂
b β⊂ a l P= b l P=
α∈ α∉
α∉ α∈
α⊂ β⊂
正确的在括号内画“√”,错误的
画“×”.
(1)平面 与平面 相交,
它们只有有限个公共点. ( )
(2)经过一条直线和这条直
线外的一点,有且只有一个平面.
( )
(3)经过两条相交直线,有
且只有一个平面. ( )
(4)如果两个平面有三个不
共线的公共点,那么这两个平面
重合. ( )
4.用符号表示下列语句,并
画出相应的图形:
(1)点 A 在平面 内,但点
B 在平面 外;
(2)直线 a 经过平面 外的
一点 M;
(3)直线 a 既在平面 内,
又在平面 内.
归纳总结
1.平面的概念,画法及表示方法.
2.平面的性质及其作用
3.符号表示
4.注意事项
学生归纳、总结教学、补
充完善.
回顾、
反思、归纳
知识,提升
自 我 整 合
知 识 的 能
力,培养思
维 严 谨 性
固化知识,
提升能力.
课后作业 2.1 第一课时 习案 学生独立完成
备选例题
例 1 已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共面.
证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A,
但 A∉d,如图 1.∴直线 d 和 A 确定一个平面α.
又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G,
α β
α
α
α
α
β
则 A,E,F,G∈α.
∵A,E∈α,A,E∈a,∴a α.
同理可证 b α,c α.
∴a,b,c,d 在同一平面α内.
2o 当四条直线中任何三条都不共点时,如图 2.
∵这四条直线两两相交,则设相交直线 a,b 确定一个平
面α.
设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K,则 H,K∈α.
又 H,K∈c,∴c α.
同理可证 d α.
∴a,b,c,d 四条直线在同一平面α内.
说明:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先根据公理 3 或推论,由题给条件
中的部分线(或点)确定一个平面,然后再根据公理 1 证明其余的线(或点)均在这个平面内.本
题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话
的含义.
例 2 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于
点 M,求证:点 C1、O、M 共线.
分析:要证若干点共线的问题,只需证这些点同在两个相交平面内即可.
解答:如图所示 A1A∥C1C 确定平面 A1C
A1C 平面 A1C
又 O∈A1C
平面 BC1D∩直线 A1C = O
O∈平面 BC1D
O 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上.
⊂
⊂ ⊂
⊂
⊂
⇒
⊂
⇒
⇒
⇒ O∈平面 A1C
M
O
B1
C1
D1
A1
D C
BA
α
ba
d
cGFE
A
a b c
d
α
H K
图 1
图 2
AC∩BD = M M∈平面 BC1D
且 M∈平面 A1C
平面 BC1D∩平面 A1C = C1M
O∈C1M,即 O、C1、M 三点共线.
评析:证明点共线的问题,一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样,可
根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
⇒
⇒
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