高中数学必修2教案：3_1_2两条直线平行与垂直的判定 (3) 5页

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2．过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数 形结合能力. 3．情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方 式，激发学生的学习兴趣. （二）教学重点、难点 重点：两条直线平行和垂直的条件. 难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关 系问题. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平 行与垂直的判定方法. 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 上一节课，我们已经学习了直 线的倾斜角和斜率的概念，而且知 道，可以用倾斜角和斜率来表示直 线相对于 x 轴的倾斜程度，并推导 出了斜率的坐标计算公式.现在，我 们来研究能否通过两条直线的斜率 来判断两条直线的平行或垂直. 由学生回忆上节课内 容，再由老师引入新课. 设置情境 引入新课 概念形成 1．特殊情况下，两条直线平行 与垂直. 两条直线中有一条直线没有斜 率，（1）当另一条直线的斜率也不 存在时，两直线的倾斜角都为 90°， 它们互相平行；（2）当另一条直线 的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角 为 90°，另一条直线的倾斜角为 0° ， 两直线互相垂直. 由学生讨论得出答案 概念深化 2．两条直线的斜率都存在时， 两直线的平行与垂直. 设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2.我们知道，两条直线的平行或 垂直是由两条直线的方向决定的， 而两条直线的方向又是由直线的倾 斜角或斜率决定的，所以我们下面 要研究的问题是：两条互相平行或 借助计算机，让学生通 过度量，感知 的关系. 通过斜 率相等判 定两直线 平行，是通 过代数方 法得到几 何结论，体 现了用代 1 2,α α 垂直的直线，它们的斜率有什么关 系？ 首先研究两条直线互相平行 （不重合）的情形.如果 l1∥l2（图）， 那么它们的倾斜角相等；a1 = a2. （借助计算机，让学生通过度量， 感知 a1，a2 的关系） ∴tga1 = tga2. 即 k1 = k2. 反过来，如果两条直线的斜率 相等：即 k1 = k2，那么 tga1 = tga2. 由于 0°≤a1＜180°，0°≤a ＜180°， ∴a1 = a2 又∵两条直线不重合， ∴l1∥l2. 结论：两条直线都有斜率而且 不重合，如果它们平行，那么它们 的斜率相等；反之，如果它们的斜 率相等，那么它们平行，即 l1∥l2 k1 = k2. 注意：上面的等价是在两条直 线不重合且斜率存在的前提下才成 立的，缺少这个前提，结论并不成 立.即如果 k1 = k2 那么一定有 l1∥l2； 反之则不一定. 数方法研 究几何问 题的思想. 下面我们研究两条直线垂直的 情形. 如果 l1⊥l2，这时 ，否则 两直线平行. 设 （图）甲图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上方；乙图的特 征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴下方；丙 图的特征是 l1 与 l2 的交点在 x 轴上， 无论哪种情况下都有 . 借助计算机，让学生通 过度量，感知 k1，k2 的关系， 并使 l1(或 l2)转动起来，但 仍保持 l1⊥l2，观察 k1，k2 的关系，得到猜想，再加以 验证，可使 为锐角，钝角 等. 通过计 算 机 的 演 示，培养学 生的观察、 猜想，归纳 的 数 学 思 想方法. ⇔ 1 2aα ≠ 2 1 α α< 1 290α α= + 1 α 因为 l1、l2 的斜率分别是 k1、 k2，即 ，所以 . ∴ . 即 或 k1k2 = –1， 反过来，如果 即 k1·k2 = –1 不失一般性，设 k1＜0. k2＞0， 那么 . 可以推出 a1 = 90°+ . l1⊥l2. 结论：两条直线都有斜率，如 果它们互相垂直，那么它们的斜率 互为负倒数；反之，如果它们的斜 率互为负倒数，那么它们互相垂直， 即 注意：结论成立的条件，即如 果 k1·k2 = –1，那么一定有 l1⊥l2； 反之则不一定. 例 1 已知 A (2,3)，B (–4,0)，P （– 3，1），Q（–1，2），试判断直 线 BA 与 PQ 的位置关系，并证明你 的结论. 借助计算机作图，使学 生通过观察猜想：BA∥PQ， 再 通 过 计 算 机 加 以 验 证 . （图略） 例 1 解：直线 BA 的 斜率 k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5， 直线 PQ 的斜率 k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5， 因为 k1 = k2 = 0.5，所以直线 BA∥PQ. 应用举例 借助计算机作图，使学 生通过观察猜想：四边形 ABCD 是平行四边形，再通 过计算加以验证. 通过例 题的讲解， 使 学 生 进 一 步 理 解 掌 握 直 线 平 行 与 垂 直的条件. 1 90α ≠  2 0α ≠  1 2 1 1(90 )tg tg tg α α α= + = − 1 2 1k k = − 1 2 1k k = − 1 2 2 1 (90 )tg tgtg α αα= − = + 2 α 1 2 1 1 2 2 1 1l l k k kk ⊥ ⇔ = − ⇔ = − 例 2 已知四边形 ABCD 的四个 顶点分别为 A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)， D (2,3)，试判断四边形 ABCD 的形 状，并给出证明. 例 3 已知 A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q (–2,6)，试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 例 4 已知 A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，试判断三角形 ABC 的形状. 分析：借助计算机作图，通过 观察猜想：三角形 ABC 是直角三角 形，其中 AB⊥BC，再通过计算加以 验证.（图略） 课堂练习 P94 练习 1、2. 例 2 解：直线 BA 的 斜率 k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5， 直线 PQ 的斜率 k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5， 因为 k1 = k2 = 0.5，所以 直线 BA∥PQ. 例 3 解：直线 AB 的 斜率 k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3， 直线 PQ 的斜率 k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2， 因为 k1·k2 = –1，所以 AB⊥PQ. 归纳总结 （1）两条直线平行或垂直的真 实等价条件； （2）应用条件，判定两条直线 平行或垂直. （3）应用直线平行的条件，判 定三点共线. 由学生归纳，教师再补 充完善. 培 养 学 生 的 概 括能力 课后作业 见习案 3.1 的第二课时 由学生独立完成 巩固深化 新学知识 备选例题 例 1 试确定 M 的值，使过点 A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点 C(–4，3)，D(0，5) 的直线平行. 【解析】由题意得： 由于 AB∥CD，即 kAB = kCD， 所以 ，所以 m = –2. 例 2 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第 四个顶点 D 的坐标. 【解析】设第四个顶点 D 的坐标为(x，y) 因为 AD⊥CD，AD∥BC 所以 kAD·kCD = –1，且 kAD = kBC ， 所以第四个顶点 D 的坐标为(2，3). 0 5 3 1,5 ( 1) 6 0 ( 4) 2AB CD m mk km m − −= = = =− − + − − − − 1 6 2 m m =− − 1 2, 10 3 1 2 0,0 3 1 y y x x y x − − = − − − − −  − − 所以 0 2( ), .1 3 x x y y = =   = =  解得 舍去 例 3 已知定点 A(–1，3)，B(4，2)，以 A、B 为直径的端点，作圆与 x 轴有交点 C，求 交点 C 的坐标. 【解析】以线段 AB 为直径的圆与 x 轴交点为 C. 则 AC⊥BC，设 C (x，0) 则 所以 所以 x = 1 或 2，所以 C (1，0)或(2，0) 3 2,1 4AC BCk kx x − −= =+ − 3 2 11 4x x − −⋅ = −+ −