2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ） 25页

‎2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（　　）‎ A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}‎ ‎2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i ‎3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（　　）‎ A．5 B． C．2 D．1‎ ‎5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ ‎6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=　　．‎ ‎14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为　　．‎ ‎15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是　　．‎ ‎16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.‎ ‎17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．‎ ‎（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：++…+＜．‎ ‎18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．‎ ‎19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．‎ ‎（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：‎ ‎（Ⅰ）BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）AD•DE=2PB2．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．‎ ‎　‎ 六、解答题（共1小题，满分0分）‎ ‎24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（　　）‎ A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}‎ ‎【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，‎ ‎∴M∩N={1，2}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i ‎【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），‎ ‎∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，‎ ‎∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），‎ 则对应的复数，z2=﹣2+i，‎ 则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．5‎ ‎【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，‎ ‎∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，‎ 两式相减得4•=10﹣6=4，‎ 即•=1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（　　）‎ A．5 B． C．2 D．1‎ ‎【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．‎ ‎【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，‎ ‎∴S=acsinB=，即sinB=，‎ 当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，‎ 利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，‎ 当B为锐角时，cosB==，‎ 利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，‎ 此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，‎ 则AC=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•新课标Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　）‎ A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45‎ ‎【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．‎ ‎【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，‎ 解得p=0.8，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，‎ 组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．‎ 底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•新课标Ⅱ）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若x=t=2，‎ 则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，‎ 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，‎ 此时3≤2不成立，输出S=7，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎∴y′（0）=a﹣1=2，‎ ‎∴a=3．‎ 故答案选D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．10 B．8 C．3 D．2‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 由z=2x﹣y得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，‎ 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即C（5，2）‎ 代入目标函数z=2x﹣y，‎ 得z=2×5﹣2=8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．‎ ‎【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，‎ 则F（，0）．‎ ‎∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），‎ 即x=y+．‎ 联立 ，得4y2﹣12y﹣9=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则y1+y2=3，y1y2=﹣．‎ ‎∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，‎ ‎，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，‎ ‎∵BC=CA=CC1，‎ 设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，‎ 在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】由题意可得，f（x0）=±，且 =kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且 =kπ+，k∈z，即 x0=m．‎ 再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，‎ ‎∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4． ‎ 求得 m＞2，或m＜﹣2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎13．（5分）（2014•新课标Ⅱ）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=　　．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．‎ ‎【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•ar，‎ 令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，‎ ‎∴a=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为　1　．‎ ‎【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）‎ ‎=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ ‎=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，‎ 故函数f（x）的最大值为1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是　（﹣1，3）　．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，‎ ‎∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），‎ 即f（|x﹣1|）＞f（2），‎ ‎∴|x﹣1|＜2，‎ 解得﹣1＜x＜3，‎ 故答案为：（﹣1，3）‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），‎ 要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，‎ 则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，‎ 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，‎ 此时MN=1，‎ 图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，‎ ‎∴x0的取值范围是[﹣1，1]．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.‎ ‎17．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．‎ ‎（Ⅰ）证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）证明：++…+＜．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列； ‎ 再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．‎ ‎【解答】证明（Ⅰ）==3，‎ ‎∵≠0，‎ ‎∴数列{an+}是以首项为，公比为3的等比数列；‎ ‎∴an+==，即；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，‎ ‎∴当n=1时，成立，‎ 当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．‎ ‎∴对n∈N+时，++…+＜．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；‎ ‎（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，‎ ‎∵O为BD中点，E为PD中点，‎ ‎∴EO∥PB，（2分）‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥平面AMD，‎ ‎∵二面角D﹣AE﹣C为60°，‎ ‎∴∠CMD=60°，‎ ‎∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，‎ ‎∴PD=2，‎ E为PD的中点．AE=1，‎ ‎∴DM=，‎ CD==．‎ 三棱锥E﹣ACD的体积为：==．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，‎ ‎=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，‎ ‎∴===0.5，‎ ‎=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．‎ 将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：‎ ‎=0.5×9+2.3=6.8，‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．‎ ‎（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．‎ ‎【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；‎ ‎（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，‎ ‎∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），‎ 若直线MN的斜率为，‎ 即tan∠MF1F2=，‎ 即b2==a2﹣c2，‎ 即c2+﹣a2=0，‎ 则，‎ 即2e2+3e﹣2=0‎ 解得e=或e=﹣2（舍去），‎ 即e=．‎ ‎（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，‎ 设M（c，y），（y＞0），‎ 则，即，解得y=，‎ ‎∵OD是△MF1F2的中位线，‎ ‎∴=4，即b2=4a，‎ 由|MN|=5|F1N|，‎ 则|MF1|=4|F1N|，‎ 解得|DF1|=2|F1N|，‎ 即 设N（x1，y1），由题意知y1＜0，‎ 则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．‎ 即，即 代入椭圆方程得，‎ 将b2=4a代入得，‎ 解得a=7，b=．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．‎ ‎【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；‎ 对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞‎ ‎）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；‎ 对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2，‎ 即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，‎ ‎∴函数f（x）在R上为增函数．‎ ‎（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，‎ 则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]‎ ‎=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]‎ ‎=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．‎ ‎①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，‎ ‎∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，‎ 从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，‎ ‎∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．‎ ‎②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，‎ 又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．‎ 综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．‎ ‎（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，‎ 为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，‎ 得．‎ 当b=2时，由g（x）＞0，得，‎ 从而；‎ 令，得＞2，当时，‎ 由g（x）＜0，得，得．‎ 所以ln2的近似值为0.693．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：‎ ‎（Ⅰ）BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）AD•DE=2PB2．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，‎ ‎∵PC=2PA，D为PC的中点，‎ ‎∴PA=PD，‎ ‎∴∠PAD=∠PDA，‎ ‎∵∠PDA=∠CDE，‎ ‎∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴E是的中点，‎ ‎∴BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，‎ ‎∴PA2=PB•PC，‎ ‎∵PC=2PA，‎ ‎∴PA=2PB，‎ ‎∴PD=2PB，‎ ‎∴PB=BD，‎ ‎∴BD•DC=PB•2PB，‎ ‎∵AD•DE=BD•DC，‎ ‎∴AD•DE=2PB2．‎ ‎　‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．‎ ‎（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]‎ ‎，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．‎ 可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．‎ ‎（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，‎ ‎∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．‎ 故D的直角坐标为，即（，）．‎ ‎　‎ 六、解答题（共1小题，满分0分）‎ ‎24．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）≥2；‎ ‎（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．‎ ‎（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，‎ 故不等式f（x）≥2成立．‎ ‎（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，‎ ‎∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．‎ 当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．‎ 综上可得，a的取值范围（，）．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：maths；sllwyn；caoqz；qiss；任老师；静定禅心；刘长柏；尹伟云；沂蒙松（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日