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- 2021-06-23 发布
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课时分层作业(四) 排列的综合应用
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.某天上午要排语文,数学,体育,计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A.6种 B.9种
C.18种 D.24种
C [先排体育有A种,再排其他的三科有A种,共有3×6=18(种).]
2.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )
【导学号:95032039】
A.720 B.360
C.240 D.120
C [因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人全排列共有A种排法,但甲、乙两人之间有A种排法.
由分步乘法计数原理知,共有AA=240种不同的排法.]
3.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )
A.36 B.30
C.40 D.60
A [奇数的个位数字为1,3或5,所以个位数字的排法有A种,十位数字和百位数字的排法种数有A种,故奇数有A·A=3×4×3=36个.]
4.5人排成一排,其中甲,乙至少一人在两端的排法种数为( )
【导学号:95032040】
A.6 B.84
C.24 D.48
B [5人全排列有A种,甲,乙都不在两端的排法有AA种,共有A-AA=84种不同的排法.]
5.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lgb的不同值的个数是( )
A.9 B.10
C.18 D.20
C [从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A=20,但lg 1-lg 3=lg 3-lg 9,lg 3-lg 1=lg 9-lg 3,所以不同值的个数为20-2=18,故选C.]
4
二、填空题
6.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种.(用数字作答)
【导学号:95032041】
36 [分三步分别选出文娱委员、学习委员、体育委员,共有AAA=36种选法.]
7.从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c中的参数a,b,c,可组成不同的二次函数共有________个.
18 [若得到二次函数,则a≠0,a有A种选择,故二次函数有AA=3×3×2=18(个).]
8.在所有无重复数字的四位数中,千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个.
【导学号:95032042】
448 [千位数字比个位数字大2,有8种可能,即(2,0),(3,1),…,(9,7)前一个数为千位数字,后一个数为个位数字.其余两位无任何限制,所以共有8A=448个.]
三、解答题
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?
(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?
[解] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法,故共有不同排法AA=14 400种.
(2)先不考虑排列要求,有A种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有AA种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A-AA=37 440种.
10.用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数;
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数;
(3)能组成多少个比1 325大的四位数.
【导学号:95032043】
[解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类:
第一类:0在个数时有A个;
第二类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选定1个有A种,十位和百位从余下的数字中选,有A种,于是有A·A个;
第三类:4在个位时,与第二类同理,也有A·A个.
4
由分类加法计数原理知,共有四位偶数A+A·A+A·A=156(个).
(2)五位数中是5的倍数的数可分为两类:个位数上的数字是0的五位数有A个;个位数上的数字是5的五位数有A·A个.
故满足条件的五位数的个数共有A+A·A=216(个).
(3)比1 325大的四位数可分为三类:
第一类:形如2,3,4,5的数,共A·A个;
第二类:形如14,15,共A·A个;
第三类:形如134,135,共A·A个.
由分类加法计数原理知,比1 325大的四位数共有A·A+A·A+A·A=270(个).
[能力提升练]
一、选择题
1.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,可以得到不同的三位数的个数为( )
A.30 B.48
C.60 D.96
B [“组成三位数”这件事,分2步完成:第1步,确定排在百位、十位、个位上的卡片,即为3个元素的一个全排列A;第2步,分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以得到A×2×2×2=48个不同的三位数.]
2.安排6名歌手演出的顺序时,要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数是( )
A.180 B.240
C.360 D.480
D [不同的排法种数先全排列有A,甲、乙、丙的顺序有A,乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙,甲丙乙,乙丙甲,丙乙甲,4种顺序,所以不同排法的种数共有4×=480种.]
二、填空题
3.由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________.
【导学号:95032044】
36 [将3,4两个数全排列,有A种排法,当1,2不相邻且不与5相邻时有A种方法,当1,2相邻且不与5相邻时有A·A种方法,故满足题意的数的个数为A(A+A·A)=36.]
4.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻, 且产品A与产品C
4
不相邻,则不同的摆法有________种.
36 [先考虑产品A与B相邻,把A,B作为一个元素有A种摆法,而A,B可交换位置,所以有2A=48种摆法,又当A,B相邻又满足A,C相邻,有2A=12种摆法,故满足条件的摆法有48-12=36种.]
三、解答题
5.有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)女生互不相邻.
【导学号:95032045】
[解] (1)法一:元素分析法.先排甲有6种,再排其余人有A种,故共有6·A=241 920(种)排法.
法二:位置分析法.中间和两端有A种排法,包括甲在内的其余6人有A种排法,故共有A·A=336×720=241 920(种)排法.
法三:等机会法.9个人全排列有A种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意得,甲不在中间及两端的排法总数是A×=241 920(种).
法四:间接法.A-3·A=6A=241 920(种).
(2)先排甲、乙,再排其余7人.
共有A·A=10 080(种)排法.
(3)插空法.先排4名男生有A种方法,再将5名女生插空,有A种方法,故共有A·A=2 880(种)排法.
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