浙江专用2020高考数学二轮复习专题三数列与数学归纳法高考解答题的审题与答题示范三教案 2页

高考解答题的审题与答题示范(三)‎ 数列类解答题 ‎[思维流程]——数列问题重在“归”——化归 ‎[审题方法]——审结构 结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．‎ 典例 ‎(本题满分15分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).‎ 审题路线 ‎(1)要求{an}和{bn}的通项公式⇒需求{an}的首项a1和公差d；{bn}的首项b1和公比q.‎ ‎(2)由(1)知a2nb2n－1＝(3n－1)4n⇒分析a2nb2n－1的结构：{3n－1}是等差数列，{4n}是等比数列⇒符合错位相减法求和的特点.‎ 标准答案 阅卷现场 ‎(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.‎ 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，‎ 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎⑧‎ ‎⑨‎ ‎⑩‎ ‎⑪‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎8分 ‎7分 - 2 -‎ 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.①‎ 又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.②‎ 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8(ⅰ)‎ 化归成基本量.‎ 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16(ⅱ).‎ 联立(ⅰ)(ⅱ)，解得a1＝1，d＝3，③‎ 由此可得an＝3n－2.④‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，‎ 数列{bn}的通项公式为bn＝2n.⑤‎ ‎(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，⑥‎ 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)⑦‎ ‎4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，(**)⑧‎ ‎(*)－(**)得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n化归成等比数列－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.⑨‎ 得Tn＝×4n＋1＋.⑩‎ 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.⑪‎ 第(1)问踩点得分说明 ‎①正确求出q2＋q－6＝0得2分；‎ ‎②根据等比数列的通项公式求出通项公式bn＝2n得2分，通项公式使用错误不得分；‎ ‎③求出a1＝1，d＝3得2分；‎ ‎④根据等差数列的通项公式求出通项公式an＝3n－2得1分，通项公式使用错误不得分；‎ ‎⑤正确写出结论得1分.‎ 第(2)问踩点得分说明 ‎⑥正确写出a2nb2n－1＝(3n－1)×4n得1分；‎ ‎⑦正确写出Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n得1分；‎ ‎⑧正确写出4Tn得1分；‎ ‎⑨由两式相减得出－3Tn＝－(3n－2)×4n＋1－8正确得2分，错误不得分；‎ ‎⑩正确计算出Tn＝×4n＋1＋得1分；‎ ‎⑪正确写出结论得1分.‎ - 2 -‎