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- 2021-06-23 发布
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2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.
1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )
A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
2.(5分)设复数z满足z+i=3﹣i,则=( )
A.﹣1+2i B.1﹣2i C.3+2i D.3﹣2i
3.(5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
4.(5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
5.(5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1 C. D.2
6.(5分)圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.2
7.(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
8.(5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
9.(5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )
A.7 B.12 C.17 D.34
10.(5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx
的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
11.(5分)函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12.(5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.(5分)已知向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,则m= .
14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 .
15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
16.(5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
18.(12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.
19.(12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD′;
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′﹣ABCFE体积.
20.(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
21.(12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积
(II) 当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
[选项4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
2016年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.
1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )
A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} B.{﹣2,﹣1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{1,2}
【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.
【解答】解:∵集合A={1,2,3},B={x|x2<9}={x|﹣3<x<3},
∴A∩B={1,2}.
故选:D.
【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.
2.(5分)设复数z满足z+i=3﹣i,则=( )
A.﹣1+2i B.1﹣2i C.3+2i D.3﹣2i
【分析】根据已知求出复数z,结合共轭复数的定义,可得答案.
【解答】解:∵复数z满足z+i=3﹣i,
∴z=3﹣2i,
∴=3+2i,
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算,共轭复数的定义,难度不大,属于基础题.
3.(5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin(2x﹣) B.y=2sin(2x﹣) C.y=2sin(x+) D.y=2sin(x+)
【分析】根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的A,ω,φ值,可得答案.
【解答】解:由图可得:函数的最大值为2,最小值为﹣2,故A=2,
=,故T=π,ω=2,
故y=2sin(2x+φ),
将(,2)代入可得:2sin(+φ)=2,
则φ=﹣满足要求,
故y=2sin(2x﹣),
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,确定各个参数的值是解答的关键.
4.(5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
【分析】先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积.
【解答】解:正方体体积为8,可知其边长为2,
正方体的体对角线为=2,
即为球的直径,所以半径为,
所以球的表面积为=12π.
故选:A.
【点评】本题考查学生的空间想象能力,体积与面积的计算能力,是基础题.
5.(5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1 C. D.2
【分析】根据已知,结合抛物线的性质,求出P点坐标,再由反比例函数的性质,可得k值.
【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点F为(1,0),
曲线y=(k>0)与C交于点P在第一象限,
由PF⊥x轴得:P点横坐标为1,
代入C得:P点纵坐标为2,
故k=2,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,反比例函数的性质,难度中档.
6.(5分)圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1,则a=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.2
【分析】求出圆心坐标,代入点到直线距离方程,解得答案.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为:(1,4),
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1,
解得:a=,
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程,点到直线的距离公式,难度中档.
7.(5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
【分析】空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的,写出表面积,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,做出圆柱的表面积,注意不包括重合的平面.
【解答】解:由三视图知,空间几何体是一个组合体,
上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4,
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π,
下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π,
故选:C.
【点评】本题考查由三视图求表面积,本题的图形结构比较简单,易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉,求表面积就有这样的弊端.
8.(5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率.
【解答】解:∵红灯持续时间为40秒,至少需要等待15秒才出现绿灯,
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯,
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.
故选:B.
【点评】本题考查概率的计算,考查几何概型,考查学生的计算能力,比较基础.
9.(5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )
A.7 B.12 C.17 D.34
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:∵输入的x=2,n=2,
当输入的a为2时,S=2,k=1,不满足退出循环的条件;
当再次输入的a为2时,S=6,k=2,不满足退出循环的条件;
当输入的a为5时,S=17,k=3,满足退出循环的条件;
故输出的S值为17,
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.
10.(5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案.
【解答】解:函数y=10lgx的定义域和值域均为(0,+∞),
函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;
函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;
函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;
函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求;
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域,熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域,是解答的关键.
11.(5分)函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式,可得y=1﹣2sin2x+6sinx,令t=sinx(﹣1≤t≤1),可得函数y=﹣2t2+6t+1,配方,结合二次函数的最值的求法,以及正弦函数的值域即可得到所求最大值.
【解答】解:函数f(x)=cos2x+6cos(﹣x)
=1﹣2sin2x+6sinx,
令t=sinx(﹣1≤t≤1),
可得函数y=﹣2t2+6t+1
=﹣2(t﹣)2+,
由∉[﹣1,1],可得函数在[﹣1,1]递增,
即有t=1即x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最大值5.
故选:B.
【点评】本题考查三角函数的最值的求法,注意运用二倍角公式和诱导公式,同时考查可化为二次函数的最值的求法,属于中档题.
12.(5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),若函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
【分析】根据已知中函数函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),分析函数的对称性,可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点关于直线x=1对称,进而得到答案.
【解答】解:∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2﹣x),
故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称,
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与 y=f(x) 图象的交点也关于直线x=1对称,
故xi=×2=m,
故选:B.
【点评】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的对称性质,难度中档.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.(5分)已知向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,则m= ﹣6 .
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可.
【解答】解:向量=(m,4),=(3,﹣2),且∥,
可得12=﹣2m,解得m=﹣6.
故答案为:﹣6.
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用,考查计算能力.
14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣5 .
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得B(3,4).
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z,
由图可知,当直线y=x﹣z过B(3,4)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为:3﹣2×4=﹣5.
故答案为:﹣5.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
15.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
【分析】运用同角的平方关系可得sinA,sinC,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得sinB,运用正弦定理可得b=,代入计算即可得到所求值.
【解答】解:由cosA=,cosC=,可得
sinA===,
sinC===,
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,
由正弦定理可得b=
==.
故答案为:.
【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式,以及同角的平方关系的运用,考查运算能力,属于中档题.
16.(5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 1和3 .
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2,或1和3,分别讨论这两种情况,根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字,这样便可判断出甲卡片上的数字是多少.
【解答】解:根据丙的说法知,丙的卡片上写着1和2,或1和3;
(1)若丙的卡片上写着1和2,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;
∴根据甲的说法知,甲的卡片上写着1和3;
(2)若丙的卡片上写着1和3,根据乙的说法知,乙的卡片上写着2和3;
又甲说,“我与乙的卡片上相同的数字不是2”;
∴甲的卡片上写的数字不是1和2,这与已知矛盾;
∴甲的卡片上的数字是1和3.
故答案为:1和3.
【点评】考查进行简单的合情推理的能力,以及分类讨论得到解题思想,做这类题注意找出解题的突破口.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案;
(Ⅱ)根据bn=[an],列出数列{bn}的前10项,相加可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a3+a4=4,a5+a7=6.
∴,
解得:,
∴an=;
(Ⅱ)∵bn=[an],
∴b1=b2=b3=1,
b4=b5=2,
b6=b7=b8=3,
b9=b10=4.
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式,等差数列的性质,难度中档.
18.(12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值.
【分析】
(I)求出A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数.总事件人数,即可求P(A)的估计值;
(Ⅱ)求出B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数.然后求P(B)的估计值;
(Ⅲ)利用人数与保费乘积的和除以总续保人数,可得本年度的平均保费估计值.
【解答】解:(I)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.事件A的人数为:60+50=110,该险种的200名续保,
P(A)的估计值为:=;
(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.事件B的人数为:30+30=60,P(B)的估计值为:=;
(Ⅲ)续保人本年度的平均保费估计值为==1.1925a.
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用,考查计算能力.
19.(12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(Ⅰ)证明:AC⊥HD′;
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′﹣ABCFE体积.
【分析】(1)根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可.
(2)根据条件求出底面五边形的面积,结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高,即可得到结论.
【解答】(Ⅰ)证明:∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,
∴EF∥AC,且EF⊥BD
将△DEF沿EF折到△D′EF的位置,
则D′H⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥HD′;
(Ⅱ)若AB=5,AC=6,则AO=3,B0=OD=4,
∵AE=,AD=AB=5,
∴DE=5﹣=,
∵EF∥AC,
∴====,
∴EH=,EF=2EH=,DH=3,OH=4﹣3=1,
∵HD′=DH=3,OD′=2,
∴满足HD′2=OD′2+OH2,
则△OHD′为直角三角形,且OD′⊥OH,
又OD′⊥AC,AC∩OH=O,
即OD′⊥底面ABCD,
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高.
底面五边形的面积S=+=+=12+=,
则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=.
【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断,以及空间几何体的体积,根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键.本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高.考查学生的运算和推理能力.
20.(12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
【分析】(I)当a=4时,求出曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率,即可求出切线方程;
(II)先求出f′(x)>f′(1)=2﹣a,再结合条件,分类讨论,即可求a的取值范围.
【解答】解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).
f(1)=0,即点为(1,0),
函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•﹣4,
则f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,
即函数的切线斜率k=f′(1)=﹣2,
则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;
(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),
∴f′(x)=1++lnx﹣a,
∴f″(x)=,
∵x>1,∴f″(x)>0,
∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.
①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(1)=0,满足题意;
②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.
综上所述,a≤2.
另解:若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
可得(x+1)lnx﹣a(x﹣1)>0,
即为a<,
由y=的导数为y′=,
由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=>0,
函数y在x>1递增,可得>0,
则函数y=在x>1递增,
则==2,
可得>2恒成立,
即有a≤2.
【点评】本题主要考查了导数的应用,函数的导数与函数的单调性的关系的应用,导数的几何意义,考查参数范围的求解,考查学生分析解决问题的能力,有难度.
21.(12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(I)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积
(II) 当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.
【分析】(I)依题意知椭圆E的左顶点A(﹣2,0),由|AM|=|AN|,且MA⊥NA,可知△AMN为等腰直角三角形,设M(a﹣2,a),利用点M在E上,可得3(a﹣2)2+4a2=12,解得:a=,从而可求△AMN的面积;
(II)设直线lAM的方程为:y=k(x+2),直线lAN的方程为:y=﹣(x+2),联立消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|xM﹣(﹣2)|=,|AN|==,
结合2|AM|=|AN|,可得=,整理后,构造函数f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,利用导数法可判断其单调性,再结合零点存在定理即可证得结论成立.
【解答】解:(I)由椭圆E的方程:+=1知,其左顶点A(﹣2,0),
∵|AM|=|AN|,且MA⊥NA,∴△AMN为等腰直角三角形,
∴MN⊥x轴,设M的纵坐标为a,则M(a﹣2,a),
∵点M在E上,∴3(a﹣2)2+4a2=12,整理得:7a2﹣12a=0,∴a=或a=0(舍),
∴S△AMN=a×2a=a2=;
(II)设直线lAM的方程为:y=k(x+2),直线lAN的方程为:y=﹣(x+2),由
消去y得:(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,∴xM﹣2=﹣,∴xM=2﹣=,
∴|AM|=|xM﹣(﹣2)|=•=
∵k>0,
∴|AN|==,
又∵2|AM|=|AN|,∴=,
整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0,
设f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,
则f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0,
∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8为(0,+∞)的增函数,
又f()=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣<0,f(2)=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6>0,
∴<k<2.
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解,考查构造函数思想与导数法判断函数单调性,再结合零点存在定理确定参数范围,是难题.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;
(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
【分析】(Ⅰ)证明B,C,G,F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补,由已知条件可知∠BCD=90°,因此问题可转化为证明∠GFB=90°;
(Ⅱ)在Rt△DFC中,GF=CD=GC,因此可得△GFB≌△GCB,则S四边形BCGF=2S△BCG,据此解答.
【解答】(Ⅰ)证明:∵DF⊥CE,
∴Rt△DFC∽Rt△EDC,
∴=,
∵DE=DG,CD=BC,
∴=,
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF,
∴△GDF∽△BCF,
∴∠CFB=∠DFG,
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,
∴∠GFB+∠GCB=180°,
∴B,C,G,F四点共圆.
(Ⅱ)∵E为AD中点,AB=1,∴DG=CG=DE=,
∴在Rt△DFC中,GF=CD=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,
∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=.
【点评】本题考查四点共圆的判断,主要根据对角互补进行判断,注意三角形相似和全等性质的应用.
[选项4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交与A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
【分析】(Ⅰ)把圆C的标准方程化为一般方程,由此利用ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,能求出圆C的极坐标方程.
(Ⅱ)由直线l的参数方程求出直线l的一般方程,再求出圆心到直线距离,由此能求出直线l的斜率.
【解答】解:(Ⅰ)∵圆C的方程为(x+6)2+y2=25,
∴x2+y2+12x+11=0,
∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα,
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0.
(Ⅱ)∵直线l的参数方程是(t为参数),
∴t=,代入y=tsinα,得:直线l的一般方程y=tanα•x,
∵l与C交与A,B两点,|AB|=,圆C的圆心C(﹣6,0),半径r=5,
圆心到直线的距离d=.
∴圆心C(﹣6,0)到直线距离d==,
解得tan2α=,∴tanα=±=±.
∴l的斜率k=±.
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法,考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线公式、圆的性质的合理运用.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
【分析】(I)分当x<时,当≤x≤时,当x>时三种情况,分别求解不等式,综合可得答案;
(Ⅱ)当a,b∈M时,(a2﹣1)(b2﹣1)>0,即a2b2+1>a2+b2,配方后,可证得结论.
【解答】解:(I)当x<时,不等式f(x)<2可化为:﹣x﹣x﹣<2,
解得:x>﹣1,
∴﹣1<x<,
当≤x≤时,不等式f(x)<2可化为:﹣x+x+=1<2,
此时不等式恒成立,
∴≤x≤,
当x>时,不等式f(x)<2可化为:﹣+x+x+<2,
解得:x<1,
∴<x<1,
综上可得:M=(﹣1,1);
证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,
(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
即a2b2+1>a2+b2,
即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
即(ab+1)2>(a+b)2,
即|a+b|<|1+ab|.
【点评】
本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,不等式的证明,难度中档.
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